26.Декартовая и полярная системы координат на плоскости. Расстояние между точками. Деление отрезка в данном отношении.

Декартова система координат.

Под прямоугольной (декартовой) системой координат понимают пару взаимно перпендикулярных прямых с заданными направлением и масштабом. Вертикальная прямая – ось (ось ординат); горизонтальная – ось (ось абсцисс). Система координат используется для однозначного определения положения объектов на плоскости. Это делается с помощью координат точек. Каждая точка на плоскости определяется двумя числами , (рис. 1), называемыми координатами . Точки и расположены на плоскости в соответствии с своими координатами.

Полярная система координат.

Полярная система координат состоит из точки которая называется полюсом, и оси, задающей некоторое первоначальное направление. Как правило, оно совпадает с направлением оси Тогда положение любой точки определяется расстоянием от неё до полюса и углом между прямой, содержащей точку и проходящей через полюс, и первоначальным направлением (рис. 2). Так точка в полярной системе координат имеет положение, указанное на рис. 3.

Связь между декартовой и полярной системами можно установить, совместив их начала координат и выразив координаты произвольной точки в обеих системах (рис. 4). Так, если точка имеет в декартовой системе координаты , а в полярной – , то , . Отсюда следует и обратное выражение , .

Расстояние между двумя точками на плоскости.

Пусть в декартовой системе координат даны две точки и (рис. 5). Тогда расстояние можно найти из прямоугольного треугольника . По теореме Пифагора

Отсюда

.

Пример 1. Даны точки и Найти расстояние между ними.

Решение. По формуле расстояния между двумя точками имеем

Деление отрезка в данном отношении.

Пусть в декартовой системе координат даны две точки - и (рис. 6). Требуется на отрезке найти координаты точки , такой, что . Для решения этой задачи через точку проведем прямые и . Тогда для угла по теореме Фалеса или

Отсюда

=λ λ = + λ или

и окончательно

Рассуждая аналогично, можно найти и координату точки по оси ,

Пример 2. Даны точки и . Требуется найти координаты середины отрезка .

Решение. В нашем случае (рис. 7) Поэтому Ответ: Искомая точка имеет координаты .

27. Общее уравнение прямой - основные сведения

Пусть на плоскости введена прямоугольная декартова система координат Оxy.

Теорема.

Всякое уравнение первой степени вида , где А, В и С – некоторые действительные числа, причем А и В одновременно не равны нулю, задает прямую линию в прямоугольной системе координат Oxy на плоскости, и любая прямая в прямоугольной системе координат Oxy на плоскости задается уравнением вида при некотором наборе значений A, B и C.

Уравнение вида есть общее уравнение прямой на плоскости в прямоугольной системе координат Oxy.

Из доказанной теоремы следует, что в фиксированной прямоугольной декартовой системе координат Oxy на плоскости прямая линия и ее общее уравнение прямой неразделимы. Иными словами, заданной прямой соответствует ее общее уравнение прямой, а этому общему уравнению прямой соответствует заданная прямая.

Из доказательства теоремы также видно, что коэффициенты А и В при переменных x и y являются соответствующими координатами нормального вектора прямой, заданной общим уравнением прямой вида .

Приведем пример общего уравнения прямой.

Уравнению соответствует прямая линия в заданной прямоугольной декартовой системе координат Oxy. Ее изображение представлено на чертеже. Нормальным вектором этой прямой линии является вектор .

С другой стороны, прямая линия, изображенная на рисунке, в прямоугольной системе координат Oxy задается общим уравнением прямой вида , так как координаты любой точки этой прямой удовлетворяют записанному уравнению.

Следует заметить, что уравнение вида , полученное из общего уравнения прямой умножением его обеих частей на отличное от нуля число , эквивалентно уравнению , следовательно, определяет ту же самую прямую на плоскости в фиксированной прямоугольной системе координат.

Общее уравнение– , где , так как нормальный вектор прямойL: не равен нулю и перпендикулярен прямойL.

Возможны два случая.

Если , то уравнение имеет вид , причем , т. е. . Это есть уравнение прямой, параллельной оси и проходящей через точку .

Если , то получаем уравнение . Это есть уравнение прямой с угловым коэффициентом =tg= .

Есть частные случаи общего уравнение прямой:

1. Если , то уравнение приводится к виду . Это есть уравнение прямой, параллельной оси ;

2. Если , то прямая параллельна оси ;

Если , то получаем . Уравнению удовлетворяют координаты точки , прямая проходит через начало координат.