7. Линейное пространство.

Множество L  называется линейным или векторным пространством, если для всех элементов (векторов) этого множества определены операции сложения и умножения на число и справедливо:

1. Каждой паре элементов x и y из L отвечает элемент x + y из L, называемый суммой x и y, причём:

x + y = y + x − сложение коммутативно;

x + (y + z) = (x + y) + z − сложение ассоциативно;

x + 0 = x − существует единственный нулевой элемент 0 ( x + 0 = x для любого x из L);

x + (− x) = 0 − для каждого элемента x из L существует единственный противоположный элемент −x ( x + (−x) = 0 для любого x из L).

2. Каждой паре x и α, где α − число, а x элемент из L, отвечает элемент α·x, наываемый произведением α и x, причём:

α·(β·x) = (α·β)·x − умножнение на число ассоциативно: ;

1·x = x − для любого элемента x из L.

3. Операции сложения и умножения на число связаны соотношениями:

α·(x + y) = α·x + α·y − умножнение на число дистрибутивно относительно сложения элементов;

(α + β)·x = α·x + β·x − умножнение на вектор дистрибутивно относительно сложения чисел.

Линейная зависимость векторов.

          Линейной  комбинацией  векторов    с  коэффициентами   называется вектор  .

             Линейная комбинация векторов образуется из них с помощью операций умножения на число и сложения, следовательно, она также является вектором. По определению n-мерный  вектор     разлагается  по  системе  векторов  , если можно подобрать такие числа  , что векторы    и    равны, т. е.  . Числа   называются коэффициентами разложения.

  Система векторов   называется линейно зависимой, если из этих векторов можно составить нулевую (равную нулю) линейную комбинацию, т. е.  , причем хотя бы один из коэффициентов линейной комбинации отличен от нуля. В противном случае система векторов   называется линейно независимой.

Теорема 1.1. Система векторов   линейно зависима тогда и только тогда, когда хотя бы один из них можно представить в виде линейной комбинации остальных.

Теорема 1.2. Если среди векторов   имеется нулевой вектор, то эти векторы линейно зависимы.

Теорема 1.3. Если часть векторов системы векторов   является линейно зависимой, то и все векторы системы линейно зависимы.

Пусть заданы две системы векторов

                                                         ,                                        (1.1)

                                                         .                                        (1.2)

Говорят, что система векторов (1.2) линейно выражается через систему векторов (1.1), если каждый вектор системы (1.2) линейно выражается через векторы системы (1.1).

Теорема 1.4. Если система векторов (1.2) линейно выражается через векторы системы (1.1) и  , то система (1.2) – линейно зависимая.

Теорема 1.5. В n-мерном векторном пространстве любые   векторов линейно зависимы.

Ортогональная система ненулевых векторов линейно независима. Исходя из линейно независимой системы векторов   можно построить ортогональную систему ненулевых векторов   по следующим формулам:

       Приведенный способ построения ортогональной системы векторов     по заданной линейно независимой системе   называется процессом ортогонализации системы векторов  .