Пример.

В прямоугольной системе координат Oxyz в трехмерном пространстве заданы точки  . Вычислите расстояние от точки М₁ до плоскости АВС.

Решение.

Сначала напишем уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки :

Таким образом, решаемая задача эквивалентна предыдущей. Следовательно, искомое расстояние от точки М₁ до плоскости АВС равно  .

Пример3.

Найдите расстояние от точки   до координатной плоскости Oyz и до плоскости  .

Решение.

Координатной плоскости Oyz соответствует неполное общее уравнение плоскости вида  . Это же уравнение является нормальным уравнением плоскости Oyz. Подставив в левую часть записанного уравнения значение   и взяв модуль, получаем искомое расстояние от точки   до заданной плоскости:  .

Нормальное уравнение плоскости   имеет вид  . Поэтому, искомое расстояние от точки   до плоскости   равно  .

Ответ:

расстояние от точки   до координатной плоскости Oyz равно 3, а до плоскости   равно  .

40. Условия параллельности, перпендикулярности. Угол между плоскостями.

Даны две плоскости, заданные общими уравнениями:

A₁x + B₁y + C₁z + D₁ = 0,

A₂x + B₂y + C₂z + D₂ = 0.

Условие параллельности двух плоскостей.

Две плоскости α₁ и α₂ параллельны тогда и только тогда, когда их нормальные векторы  (А1;В1;АС1) и  (А2; В2; С2) параллельны(коллинеарны), а значит  .

Итак, две плоскости параллельны друг другу тогда и только тогда, когда коэффициенты при соответствующих координатах пропорциональны:

 или 

Условие перпендикулярности плоскостей.

Ясно, что две плоскости перпендикулярны тогда и только тогда, когда их нормальные векторы перпендикулярны, а следовательно,  или  .

Таким образом,  .

УГОЛ МЕЖДУ ПЛОСКОСТЯМИ

Р ассмотрим две плоскости α₁ и α₂, заданные соответственно уравнениями:

Под углом между двумя плоскостями будем понимать один из двугранных углов, образованных этими плоскостями. Очевидно, что угол между нормальными векторами   и   плоскостей α₁ и α₂ равен одному из указанных смежных двугранных углов   или  . Поэтому  . Т.к.  и  , то

.

Пример. Определить угол между плоскостями x+2y-3z+4=0 и 2x+3y+z+8=0.

Пример.

1. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку

M(-2; 1; 4) параллельно плоскости 3x+2y-7z+8=0.

Уравнение плоскости будем искать в виде Ax+By+Cz+D=0. Из условия параллельности плоскостей следует, что:  . Поэтому можно положить A=3, B=2, C=-7. Поэтому уравнение плоскости принимает вид3x+2y-7z+D=0.

Кроме того, так какMΠα, то-6+2-28+D=0, D=32.

Итак, искомое уравнение 3x+2y-7z+32=0.

2. Составить уравнение плоскости, проходящей через точки M₁(1; 1; 1), 

M₂(0; 1; -1) перпендикулярно плоскости x+y+z=0.

Так как M₁Πα, то используя уравнение плоскости, проходящей через заданную точку, будем иметь A(x-1)+B(y-1)+C(z-1)=0.

Далее, так как M₂Πα, то подставив координаты точки в выписанное уравнение, получим равенство -A-2C=0 или A+2C=0.

Учтем, что заданная плоскость перпендикулярна искомой. Поэтому A+B+C=0.

Выразим коэффициенты A и B через C: A=-2C, B=C и подставим их в исходное уравнение: -2C(x-1)+C(y-1)+C(z-1)=0.

Окончательно получаем -2x+y+z=0.

3. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку M(-2; 3; 6) перпендикулярно плоскостям 2x+3y-2z-4=0 и 3x+5y+z=0.

Так как MΠα, то A(x+2)+B(x-3)+C(z-6)=0.

По условию задачи  , поэтому

Итак уравнение плоскости принимает вид 13(x+2)-8(y-3)+z-6=0 или 13x-8y+z+44=0.