10.Миноры и алгебраические дополнения. Теорема разложения.

Минор

Определение

Минором   к элементу   определителя  -го порядка называется определитель  -го порядка, полученный из исходного вычеркиванием  -той строки и  -того столбца.

Пример

Задание. Найти минор   к элементу   определителя   .

Решение. Вычеркиваем в заданном определителе вторую строку и третий столбец:

тогда 

Ответ. 

Алгебраическое дополнение

Определение

Алгебраическим дополнением   к элементу   определителя  -го порядка называется число

Пример

Задание. Найти алгебраическое дополнение   к элементу   определителя   .

Решение. 

Ответ. 

11.Определители. Теорема аннулирования.

1.Если каждый элемент какой-либо строки (столбца) определителя представлен в виде суммы двух слагаемых, то определитель равен сумме двух определителей, в первом из которых в этой строке записано первое слагаемое, во втором – второе, а все остальные строки (столбцы) этих двух определителей совпадают с соответствующими строками (столбцами) исходного определителя.

►Доказательство проводим для строк. Применяя разложение по i-й строке, получаем:

   =

=   +   = =   

2. Если в определителе все элементы какой-либо строки (столбца) умножить на число, то определитель умножится на это число (общий множитель строки или столбца можно выносить за знак определителя).

►Доказательство снова проводим для строк. Разлагаем определитель по i-й строке:

3. Если определитель содержит строку или столбец, полностью состоящий из нулей, то он равен нулю.

Доказательство вытекает из 2-го свойства.

4. Если определитель содержит две одинаковые строки (столбца), то он равен нулю.

►Доказательство вытекает из леммы 1.5: если две одинаковые строки поменять местами, то, с одной стороны, определитель не изменится, с другой стороны, он поменяет знак.

5. Если определитель содержит две пропорциональные строки (столбца), то он равен нулю.

Доказательство вытекает из второго и четвертого свойств.

6. основное свойство определителей). Если к какой-либо строке (столбцу) определителя прибавить другую его строку (столбец), умноженную на число, то определитель при этом не изменится.

►Прибавим к i-й строке определителя k-ю строку, умноженную на   . На основании 1-го свойства имеем:

   = 

(так как второй определитель обращается в 0 на основании 5-го свойства).

7. Определитель матрицы, комплексно сопряженной данной, равен числу, комплексно сопряженному ее определителю.

Доказательство легко проводится методом математической индукции, используя разложение, например, по первой строке.

8. пределитель произведения матриц равен произведению их определителей, т. е.   .

►Для простоты доказательство проведем для квадратных матриц второго порядка (для матриц n-го порядка оно точно такое же). Пусть

 .

Обозначим

квадратную матрицу четвертого порядка и преобразуем ее следующим образом: прибавим к первой строке третью, умноженную на   , и четвертую, умноженную на   , а ко второй – третью, умноженную на   , а четвертую – на   . Получим матрицу

 .

Заметим, что в ее правом верхнем углу получилась именно матрица   . Вычислим определители матриц   и   по теореме Лапласа, в обоих случаях выделяя первые две строки:

 ,   .

Теорема (аннулирования). Сумма произведений какой-либо строки (столбца) определителя на алгебраические дополнения соответствующих элементов другой его строки (столбца) равна нулю.