Белгілеу еңгізейік

(13)

Онда келесі теңдіктер орындалады:

,

Ал бұдан

бұл (13) сәйкес мынаған тепе – тең

.

Осылайша, псевдокері матрицаның жалғыз болатындығы, және 1-теорема да дәлелденді.

1-теорема псевдокері матрицаны матрицасын скелеттік жіктеу бойынша есептеу әдісін береді.

Мысалы 2. (Псевдокері матрица). 1-мысалдағы матрицасы үшін оның 1-мысалда қолданылған скелеттік жіктеуін және (12) қолданып, псевдокері матрицасын табайық.

Біз әрбір матрицасы үшін жалғыз ғана Мур-Пенроуздың псевдокері матрицасы болатындығын дәлелдедік, және де егер матрицасы өзінің (1) скелеттік жіктелуімен берілсе , онда (6) түрге ие болады.

матрицасының кейбір қасиеттерін қарастырайық:

Теорема 2. (Мур-Пенроуздың псевдокері матрицасының қасиеттері). Келесі қасиеттер орынды:

3. , яғни матрицасы – эрмитті.

4. , яғни матрицасы – эрмитті.

5. .

6. , матрицалардың рангтары бірдей болады.

7. болады, егер жол бойынша толық рангқа ие болса.

8. болады, егер баған бойынша толық рангқа ие болса.

9. .

ДӘРІС 11, 12

Сызықтық алгебралық теңдеулер жүйесін шешу үшін Мур –Пенроуздың матрицасын қолдану

Мур – Пенроуз түрлендіруінің ең негізгі қасиеттерінің бірі бұл сызықтық алгебралық теңдеулер жүйесінің нақты шешімін табу мүмкіндігі болып табылады.

Теорема 1.

(1)

біртекті жүйенің жалпы шешімі

(2)

теңдігімен беріледі, мұндағы - белгілі өлшемді кез келген вектор.

Дәлелдеу. Біріншіден, кез келген векторы үшін

(3)

теңдігі орынды. Бұл - (1) жүйенің шешімі дегенді білдіреді. Екіншіден, (1) жүйенің кез келген шешімі үшін векторы табылады, мұнда (2) түрге ие болады. Расында да, деп қоюға болады, себебі

(4)

Осымен дәлелдеу аяқталды.

Салдар 1. (1) жүйенің шешімі жалғыз болады сонда тек сонда ғана, егер матрицасы баған бойынша толық рангқа ие болса.

Дәлелдеу. Расында да, бұл жағдайда алдыңғы дәрістегі 8-қасиет бойынша және (2)-ден болатындығы шығады.

Мысал 1. (сызықтық алгебралық біртекті теңдеулерді шешу).

матрицасы бар теңдеуінің шешімін табайық. Шешімді (2) түрінде құрамыз. Алдыңғы дәрісте псевдокері матрицаны табу мысалында анықталған матрицасын қолданайық. Сонда мынаны аламыз:

мұндағы - кез келген парметрлер.

Енді

(5)

біртексіз жүйесін қарастырайық.

Теорема 2. Айталық өлшемді матрицасы және өлшемді векторы берілсін. Келесі тұжырымдар эквивалентті:

1. векторлық теңдеуінің шешімі бар болады,

2. 

3. .

Дәлелдеу. 1) мен 2) тұжырымның эквиваленттілігі бұл Кронекер –Капелли теоремасының тұжырымына сәйкес келеді. 1) мен 3) тұжырымның эквиваленттілігін дәлелдейік. Айталық теңдеуі үйлесімді болсын делік. Бұл дегеніміз болатындай векторы бар болады. Бұдан

Яғни 3) дұрыс. Айталық енді болсын. деп алайық. Онда

.

Теорема 3. (5) векторлық теңдеудің шешім бар болу үшін

(6)

болуы қажетті және жеткілікті. Бұл жағдайда жалпы шешім

(7)

түрінде берілуі мүмкін, мұндағы - белгілі өлшемді кез келген вектор.

Дәлелдеу. (6) теңдіктің орындалуының қажеттілігі мен жеткіліктілігі 2-теоремадан шығады. Енді жалпы шешімі (7) теңдікпен берілетіндігін көрсетейік. (7) теңдік орындалсын делік және

(8)

векторын анықтайық.

Онда келесі тепе-теңдіктер тізбегі орындалады:

1-теореманың негізінде

теңдігі орындалады, ал бұл (8) ескеретін болсақ

теңдігіне эквивалентті.

(7) теңдіктің бірінші қосылғышы (5) біртексіз теңдеудің дербес шешімі, ал екінші қосылғышы (1) біртекті теңдеудің жалпы шешімі болады.

Мысал 2. (біртексіз теңдеудің жалпы шешімі). Келесі біртексіз теңдеудің жалпы шешімін табайық:

(9)

Алдымен (9) теңдеудің үйлесімділігін тексерейік. Ол үшін 3-теоремадағы (6) шартты қолданайық. Алдыңғы дәрісте псевдокері матрицаны табу мысалында анықталған нәтижені пайдаланайық, сонда мынаны аламыз:

Демек (9) жүйе үйлесімді. Оның шешімін (7) түрінде құрайық. (7) –ң бірінші қосылғышын табайық:

(7)-ң екінші қосылғышы бұл зерттеліп отырған біртексіз жүйеге сәйкес келетін біртекті жүйенің жалпы шешімі болады. онда біртексіз жүйенің жалпы шешімі келесі түрге ие болады:

мұндағы - кез келген парметрлер.

(5)-ші жүйе кез келген үшін үйлесімді болады, егер матрицасы жол бойынша толық рангке ие болса. Егер жүйе үйлесімді болса, онда оның шешімі жалғыз болады, егер матрицасы баған бойынша толық ранке ие болса. Егер матрицасы жол бойынша толық ранке және баған бойынша толық рангке ие болса, онда ол ерекше емес матрица болады және бұл жағдайда жалғыз ғана шешімі бар.