Унитар ұқсастық
Унитар
матрица үшін
болса, онда
анықталған
түрлендіруі ұқсас болып табылады, ол
унитар ұқсастық деп аталады.
Анықтама
2.
матрицасы
матрицасына унитар
ұқсас
деп аталады, егер
болатындай
унитар матрицасы бар болса. Егер
-
ды нақты етіп таңдап алуға болса(ендеше
ортогоналды болатындай), онда
матрицасы А
матрицасына
ортогональ
ұқсас
деп аталады.
Унитар матрицалардың екі арнайы түрін қарастырайық, олар унитар ұқсастық түрлендіруін жүзеге асырады, бұл меншікті мәндерді есептеу үшін маңызды.
Мысал
4.
(Жалпақ (тегіс) айналу).
2-мысалдағы
матрицасы жазықтықта
координатының (
бұрышқа) айналуын жүзеге асырады. Егер
матрица сол жағынан
-ға
көбейтілсе, ендеше мұнда тек қана
-ші
және
-ші
жол өзгереді, ал егер матрица оң жағынан
көбейтілсе, онда тек қана
-ші
және
-ші
баған өзгереді. Осылайша,
көмегімен жүзеге асырылатын унитар
ұқсас матрицаға көшкенде тек қана
және
нөмірлі жол және бағандар өзгереді.
Тегіс айналу көмегімен алынатын унитар
ұқсастық меншікті мәндерді есептеген
кезде қолданылады.
Мысал
5.
(Хаусхолдер түрлендіруі).
Кез келген нөлдік емес
векторын алайық және матрица құрайық
мұндағы
.
-бұл оң скаляр,
- матрица екендігін ескерейік. Егер
векторы нормаланған
болса, онда
2-ге тең болуы керек, ал
матрицасы мына түрге ие болу керек:
.
Әдетте матрицасын алдын ала нормаланған векторын таңдап алу арқылы құрады.
Кез келген матрицасы Хаусхолдер түрлендіруі деп аталады.
Теорема
4.
-ға тиісті А
және В
унитарлы
ұқсас матрицалары үшін келесі теңдік
орындалады:
Дәлелдеуі ұқсас үрлендіруге қатысты матрица ізінің инварианттылығының негізінде алынатын төмендегі теңдіктер тізбегінен алынады:
Теорема
5.
(Унитар
триангулярлау
жайлы Шур теоремасы).
Айталық
матрицасы берілсін және оның қандай да
бір
меншікті мәндерінің реті бекітілсін.
Онда
диагоналында
элементі тұратын жоғары үшбұрышты
матрица болатындай
унитар матрицасы бар болады. сонымен
қатар, егер
және оның барлық меншікті мәндері нақты
болса, онда
-ды
ортогонал етіп таңдап алуға болады.
басқаша айтқанда, кез келген комплексті матрица ұқсас үшбұрышты матрицаға унитарлы болады.
Мысалы,
төмендегі
және
матрицалары
түрлендіруінің унитар матрицасымен
унитар ұқсас:
Салдар
1.
Айталық
болсын.
үшін
әр түрл меншікті мәні бар (ендеше,
диагоналданатын) және
болатындай
матрицасы бар болады.
Басқаша айтқанда, кез келген матрица үшін оған соншалықты жақын диагональданатын матрица бар болады.
Салдар
2.
Айталық
болсын.
үшін
жоғары үшбұрышты
матрица және
үшін
болатындай, ерекше емес
матрицасы бар болады.
Басқаша айтқанда, кез келген матрица кез келген кішкентай диагональдан тыс элементтері бар жоғары үшбұрышты матрицаға ұқсас болады.
Теорема
6.
Егер
матрицасы
меншікті мәндеріне (еселігін ескергенде)
ие болса, онда
Дәлелдеуі.
Шур теоремасын қолданып
деп жазамыз. Онда іздің және матрицаның
анықтауышының ұқсас түрлендіруге
қатысты инварианттылығын ескерсек
мынаны аламыз:
(5)
(6)
ал бұл дәлелдеуді аяқтайды.