Сызықтық теңдеулер жүйесінің қалыпты псевдошешімі

Векторлық түрде берілген сызықтық алгебралық теңдеулер жүйесін қарастырайық:

(10)

Анықтама 1. векторы векторының байламсыздық векторы деп аталады.

Байламсыздықтың ұзындығы векторы жүйенің шешіміне қаншалықты жақын болатындығын сипаттайды. Егер жүйенің шешімі болса, онда байламсыздық нөлге тең. Егер жүйе үйлесімсіз болса, онда байламсыздық әр уақытта нөлдік емес болады. Бұл жағдайда мынадай есепті қоюға болады: шамасы ең кіші мән қабылдайтындай векторын табу керек. Мұндай ұсынысты (подход) еің кіші квадраттар әдісі деп атайды.

Анықтама 2. Байламсыздық ұзындығы минималды болатын векторы (10) жүйенің псевдошешімі деп аталады. Минималды ұзындықты псевдошешімді (10) жүйенің қалыпты псевдошешімі деп атайды.

Басқаша айтқанда, (10) жүйенің қалыпты псевдошешімі, байламсыздықтың ұзындығын минимумға әкелетін барлық векторлардың арасында ең кіші ұзындыққа ие болатыны.

Теорема 4. (10) жүйенің псевдошешімі әрқашанда бар болады және ол жалғыз, сонымен қатар ол келесі формуламен анықталады:

.

Дәлелдеу. Кез келген бағанын қарастырайық және айырымын келесі түрде келтірейік:

мұндағы

Онда

(11)

Мұндағы - векторының евклид ұзындығы. Алайда,

(12)

9-дәрістегі (1) скелеттік жіктеуден және (12) псевдокері матрицаның негізінде мынаны аламыз:

Сондықтан да (12) –ден

Алайда, онда

Сондықтан да (11) теңдіктен мынаны аламыз:

(13)

Бұдан кез келген үшін

Ендеше - (10) жүйенің псевдошешімі болады.

Псевдошешім қалыпты болатындығын дәлелдейік. Айталық

болатындай болсын. Онда (13) теңдікке сәйкес

(14)

Басқа жағынан

(15)

Енді екнін ескерсек (14) негізінде мынаны аламыз:

Бірақ онда

Сондықтан да (15) теңдіктен мынаны аламыз:

Ендеше бұдан

сонымен қатар, теңдік болғанда ғана орындалады, яғни , мұндағы .

Мысал 3. (Қалыпты псевдошешім).

(16)

теңдеудің қалыпты шешімін және оның байламсыздығының ұзындығын табу керек.

Алдымен (16) теңдеудің үйлесімділігін тексерейік. Ол үшін 3-теоремадағы (6) шартты қолданайық. Алдыңғы дәрісте псевдокері матрицаны табу мысалында анықталған нәтижені пайдаланайық, сонда мынаны аламыз:

Демек (16) жүйе үйлесімсіз.

Енді (16) жүйенің қалыпты псевдошешімін табайық. 4-теоремаға сәйкес мынаны аламыз:

(16) үйлесімсіз жүйенің минималды байламсыздығының ұзындығы мынаған тең

және осындай байламсыздық шамасын беретін векторларының арасында векторының ұзындығы минималды және ол мынаған тең:

Дәріс 13,14

Матрицалық теңдеулер

1. AX=XB түріндегі теңдеулер

AX=XB (1)

түріндегі матрицалық теңдеуді қарастырайық, мұндағы A, B берілген квадрат матрицалар (әр түрлі өлшемді), X – ізделінді тік бұрышты матрица: .

С өрісінде А матрицасының элементар бөлгіштерін:

және осы өрісте В матрицасының элементар бөлгіштерін қарастырайық:

деп матрицаларының қалыпты Жордан формасын, ал деп сәйкес көшу матрицаларын белгілейік:

(2)

Онда

Мұнда

-А матрицасының Жордан торы;

-бірлік матрица;

(3)

- -ші ретті нильпотентті Жордан торы.

(1) теңдіктегі матрицаларының орнына (2) өрнекті қойсақ, мынаны аламыз:

(4)

(4)-ші теңдіктің екі жағында сол жағынан -ге, ал оң жағынан -ға көбейтейік:

(5)

Жаңа белгілеулер еңгізіп:

, (6)

(5)-ші теңдеуді былай жазайық:

(7)

Егер біз (7) теңдеуді -қа қатысты шеше алатын болсақ, онда (1) теңдеудің де шешімі -ке қатысты оңай табылады, себебі (6)-дан

(8)

болатындығы шығады.

Ізделінді матрицасының құрылымын зерттейік. матрицаларының блокты – диагоналды түріне сәйкес матрицасы блоктарға бөлінеді:

мұндағы

Блокты-диагональды матрицаларға көбейту ережесін қолданып, (7) көбейтуді орындайық:

ал бұл мынаған тепе-тең:

(9)

(9) теңдеудің әр қайсысы үшін төмендегі екі жағдайдың бірі орындалуы мүмкін.

1.

Теңдіктің екі жағын көбейтіп және (9)-ға сәйкес -ны -мен алмастырып мынаны аламыз:

.

мұндағы

Осы амалды рет қайталап, мынаны аламыз:

(10)

Мынаны ескерейік:

(11)

Егер болса, онда

қатынастарының ең болмағанда біреуі орындалады, сондықтан да (11) теңдіктің негізінде не , не және (10) теңдік мына түрге ие болады:

(12)

Қарастырылып отырған жағдайда болғандықтан, онда (11) теңдіктен

(13)

болатындығы шығады.

2. 

Бұл жағдайда (9) теңдеу мына түрге ие болады:

(14)

Мұндағы матрицалары арнайы құрылымға ие болады: яғни, бірінші диагональ астындағы элементтер бірге, ал қалғандары нөлге тең. Осыны ескере отырып, және мәндеріне сәйкес мынаны аламыз:

1. Онда

(15)

Яғни теңдеудің шешімі квадрат матрица болады, оның бас диагональінің астындағы барлық элементтер нөлге, бас диагональінің элементтері – қандай да бір параметріне, бірінші диагональ астындағы элементтер – қандай да бір параметріне және т.с.с. тең болады.

2. Онда

(16)

2.3. Бұл жағдайда

(17)

(15)-(17) матрицалары дұрыс жоғары үшбұрышты формаға ие болады деп атайды. Олардағы кез келген параметрлердің саны тең.

Мысал 1. (Дұрыс жоғары үшбұрышты формадағы матрица).

Сонымен, (14) теңдеудің шешімі ретінде кез келген дұрыс жоғары үшбұрышты матрицаны аламыз.

Мынадай белгілеу еңгізейік:

,

Мұндағы

Ендеше -ғы кез келген параметрлер саны (онда -ғы да)

тең.

(7) теңдеудің шешімін деп белгілейік. Онда алынған нәтижені былай тұжырымдауға болады.

Теорема 1. AX=XB (1) , мұндағы

түріндегі теңдеудің жалпы шешімі формуласымен табылуы мүмкін.

Мұндағы –

теңдеуінің жалпы шешімі

.

Егер болса, онда болады, егер болса, онда - кез келген дұрыс жоғары үшбұрышты матрица болады.

матрицасы N кез келген параметрлеріне тәуелді:

мұндағы

- -тен алынады, егер параметріне 1 мәнін , ал қалғандарына нөл мәнін берсек, онда ол (1) теңдеудің дербес шешімі болады. Нөлдік емес шешімі үшін дербес шешімдері сызықтық тәуелсіз болады және фундаментальді шешімдер жүйесін құрады. Расында да, егер бұлай болмаса, онда тривиалды емес, яғни матрицасының қандай да бір параметрінің нөлдік емес мәнінде, сызықтық комбинациясы бар болады, ендеше нөлге тең болады, ал бұлай болу мүмкін емес.

Салдар 1. Егер матрицаларының меншікті мәндері бірдей болмаса, онда AX=XB (1) теңдеудің тек нөлдік шешімдері ғана боладлы, яғни X=0.

Мысал 2. (AX=XB теңдеуінің шешімі).

Теңдеудің жалпы шешімін табу керек:

А матрицасы үшін жорданның қалыпты формасын және U көшу(көшіру) матрицасын табайық. Матрицаның сипаттауыш теңдеуі мынаған тең:

Ендеше, еселігі 3-ке тең жалғыз ғана меншікті мәні болады.

Меншікті мәнді сипаттауыш матрицаға қояйық:

Демек, меншікті мәніне сәйкес келетін меншікті векторлар кеңістігінің базисін құрайтын векторлардың саны тең.

меншікті мәніне сәйкес келетін меншікті векторлар кеңістігі мына түрге ие болады:

Меншікті векторға қосылған вектор болатындай шартты іздейік:

Бұдан, егер болса, онда жүйенің шешімі болады.

деп алайық, онда меншікті вектор болады, ал оған қосылған вектор ретінде векторын, екінші меншікті вектор ретінде векторын аламыз. Осылайша жордан базисін аламыз:

Бұдан

А матрицасының элементар бөлгіштер жүйесі:

және табамыз:

Бұдан .

Демек

Жордан базисі ретінде меншікті векторларын алуға болады.

В матрицасының элементар бөлгіштер жүйесі:

,

жорданның қалыпты формасына көшу матрицасы

табайық:

бұдан,

Енді -ті табатын болсақ:

(18)