Матрицаларды канондау

(28) теңдікті (37) ескері п блоктар бойынша жазайық:

Анықтама 4. Рангы r –ға тең оң жағынан және сол жағынан төмендегі формула бойынша біруақытта көбейтілген, рангы r –ға тең А матрицасын бірлік матрицасына әкелетін , және тік бұрышты матрицаларын сәйкесінше сол жақ және оң жақ канонизаторы деп атаймыз:

(40)

Сол жақ және оң жақ канонизаторлар жол және бағанның сәйкесінше барлық сызықты тәуелсіз комбинациясын сипаттайды.

(24) қасиетке сәйкес нөлдік бөлгіштерді тапқанда канонизаорлардың әрқайсысы сәйкес канонизаторлар жиынының элементі болып табылады, яғни

мұндағы - кез келген элементтері бар қажетті өлшемді матрицалар.

Мысал 10. (сан матрицасының канонизаторы). (39) қолданып және сәйкес есептеулерді орындап, қарастырылып отырған (21) марица үшін (40) теңдікті қанағаттандыратындығына көз жеткізуге болады, яғни

Анықтама 5. өлшемді және рангы r –ға тең тік бұрышты А матрицасының жинақтылық канонизаторы деп А матрицасының оң жақ және сол жақ канонизаторының көбейтіндісіне тең өлшемді матрицаны айтады:

(42)

Жинақтылық канонизатор жолдар мен бағандар жиынтығының барлық сызықық тәуелсіз комбинациясын сипаттайды.

Мысал 11. (Сандық матрицаның сводный канонизаторы). 5-мысалдағы (21) матрица үшін сводный канонизатор (39), (42) –ге сәйкес мына түрге ие болады:

.

Осылайша, кез келген А матрицасына жалпы жағдайда, құрамында максималды рангты сол жақ және оң жақ нөлдік бөлгіштер және сондай-ақ сводный канонизатор болатын, жалғыз емес матрицалар үштігін, яғни

(43)

және (қажет болған жағдайда) матрицалар төрттігін

(44)

сәйкес қоюға болады.

Кез келген матрицаның бұлай берілуін матрицаны канондау деп атаймыз.

Дәріс 15,16

Түйіндес бейнелеу

1. Түйіндес кеңісік

Айталық, - R өрісіндегі сызықтық векторлық кеңістік болсын және .

Анықтама 1. Аргументтері -ға және мәндері R өрісінен алынған сандық функциясы кеңістігіндегі сызықтық функция деп аталады, егер:

(1)

Айталық кеңістігінде базисі берілсін. Онда кез келген векторы осы базис бойынша жіктелуі мүмкін:

(2)

ал сызықтық функционалдың векторындағы мәні (1) сәйкес мынадай жіктелу түрінде беріледі:

(3)

(3) байқайтынымыздай, бекітілген Е базисінде кез келген - сандар жиынтығына жалғыз ғана сызықтық функциясы сәйкес келеді. Егер векторының координаттық бағанын Е базисінде

деп белгілесек, ал - функциясының вектор-жолы болса, онда (3) –ден мына өрнекті аламыз:

(4)

Сызықтық функциялар жиынында функцияларды қосу және функцияны санға көбейту амалдарын анықтайық:

Егер функциясы Е базисінде сандарымен, ал функциясы Е базисінде сандарымен анықталса, онда функциясы сандарымен, ал функциясы – сол базистағы сандарымен анықталады.

векторлық кеңістігінде анықталған сызықтық функциялар кеңістігі кеңісігіне түйіндес кеңістік деп аталады және деп белгіленеді.

кеңістікерінің изоморфтылығынан

,

болатындығы шығады.

кеңістіктерінде қосу және санға көбейту алгебралық амалдары төмендегі қатынастармен байланысады:

(5)

жазылуында функционал функция рөлін, ал вектор – аргументтің рөлін атқарып тұрғандығының еш маңызы жоқ. Сондықтан да функциясының векторындағы мәнін жазу үшін кейде мынадай белгілеуді қолданады:

(6)

кеңістігінен алынған функцияларды ковекторлар деп, ал векторының өзін вектордың ковектормен скаляр көбейтіндісі деп атайды.

(6)-шы скаляр көбейтінді бисызықтылық қасиетіне ие болады: яғни ол бірінші аргумент бойынша сызықты және екінші аргумент бойынша да сызықты. Бұл (5) қатынастан шығады, оны енді мына түрде жазамыз:

(7)

Геометриялық кеңістіктегі векторлардың скаляр көбейтіндісімен салыстырғанда (6) түрдегі скаляр көбейтінді симметриялы болмайды: мұнда аргументтер әр түрлі кеңістіктерге тиісті және олардың орындарын ауыстыруға болмайды. (6) скаляр көбейтіндіде ковекторлар ылғи сол жақта, ал векторлар оң жақта жазылады.