Шешімдер кеңістігінің базисі ретінде

матрицаларын алуға болады.

AX=XA түріндегі теңдеулер

(1)-ші теңдеудің болғанда дербес жағдайын қарастырайық:

(19)

(19) теңдеудің жалпы шешімін табу есебі А матрицасымен ауыстырымды барлық матрицаларды табумен тепе – тең.

1-теореманы дербес түрдегі (19) теңдеу үшін тұжырымдайық.

Теорема 2. (19), мұндағы

,

теңдеудің жалпы шешімі формуласымен табылуы мүмкін.

Мұндағы - теңдеуінің жалпы шешімі,

Егер болса, онда , егер болса, онда – кез келген дұрыс жоғары үшбұрышты матрица. матрицасы кез келген параметрге тәуелді, , мұндағы

Мысал 3. ( теңдеуінің шешімі). матрицасы келесі элементар бөлгіштерден тұрады:

Онда теңдеуінің шешімі мына түрге ие болады:

А матрицасының инвариантты көбейткіштерін қарастырайық:

Айталық, болсын, онда

Әрбір тривиальды емес инвариантты көбейткіш бірнеше қос-қостан өзара жай элементар бөлгіштердің көбейтіндісі болып табылады, онда (19) теңдеудің шешімі келесі формуламен анықталуы мүмкін:

мұндағы .

Бұдан мынаны аламыз:

Осылайша төмендегі теорема дәлелденді.

Теорема 3. матрицасымен ауыстырымды сызықтық тәуелсіз матрицалардың саны

формуласымен анықталады, мұндағы - матрицасының тұрақты емес инвариантты көбейткіші,

Ескерту 1. болатындығы түсінікті. Бұдан болады, сонымен қатар теңдігі тепе-тең, яғни матрицасының барлық элементар бөлгіштері өзара жай болады.

Мысал 4. (ауыстырымды матрицалар саны). Айталық матрица келесі элементар бөлгіштерден тұрсын:

Ендеше матрицасының тривиалды емес инвариантты көбейткіштері мына түрге ие болады:

Онда 3-теоремаға сәйкес матрицасымен ауыстырымды сызықтық тәуелсіз матрицалардың саны

3. Түріндегі теңдеулер

Айталық, түріндегі теңдеу берілсін, мұндағы

.

Бұл матрицасының элементтеріне қатысты сызықтық теңдеулер жүйесіне эквивалентті матрицалық теңдеу.

Сәйкес біртекті теңдеуді қарастырайық:

.

1-теоремаға сәйкес, егер матрицаларының біріңғай меншікті мәндері болмаса, онда теңдеуінің жалғыз ғана шешімі болады. егер де матрицалары біріңғай меншікті мәнге ие болса, онда -ға қатысты екі жағдай болуы мүмкін

1. Теңдеудің шешімі жоқ.

2. , мұндағы - теңдеуінің кез келген дербес шешімі, ал - теңдеуінің жалпы шешімі.

4.Канондау әдісі

Бұл бөлімде матрицалық коэффициенттерді канондық базиске келтіруге негізделген матрицалық теңдеуді шешу әдісі қарастырылады.

Нөлдің бөлгіштері

Анықтама 1. Айталық - өлшемді матрица болсын. өлшемді матрицасы – оның оң жақ бөлгіші деп аталады, егер

(20)

теңдігі орындалса.

Егер (20) теңдік нөлдік матрица болғанда ғана орындалса, онда матрицасының оң жақ нөлдік бөлгіші жоқ деп айтады.

Мысал 5. (матрицалық нөлдік бөлгіштер). Тік бұрышты

(21)

матрицасы үшін оң жақ нөлдік бөлгіш

нөлдік бағанның бар болуынан шығады.

Анықтама 2. Рангы r-ға тең матрицасы үшін максималды рангты оң жақ нөлдік бөлгіш деп рангы n-r тең болатын, төмендегі теңдікті қанағаттандыратын матрицасын айтады:

(22)

Анықтама 3. Рангы r-ға тең матрицасы үшін максималды рангты сол жақ нөлдік бөлгіш деп рангы тең болатын, төмендегі теңдікті қанағаттандыратын матрицасын айтады:

(23)

Сол жақ нөлдік бөлгіштер жолдың барлық сызықты тәуелсіз комбинациясын, ал оң жағы – бағандардың барлық сызықты тәуелсіз комбинациясын сипаттайды.