Блокты-үшбұрышты матрица анықтауышы
ретті блокты-үшбұрышты матрицаны қарастырайық:
Алғашқы бағанның (немесе жолдың) жүйесі үшін Лаплас теоремасының қолданылуы келесі маңызды формуланы береді:
.
ДӘРІС 9, 10
Скелеттік жіктеу
Айнымалыларды ажырату және матрицалар
Екі
айнымалының функциясын оқыған кезде
айнымалысы ажыратылған
функциясының немесе мынадай функциялардың қосындысы түріндегі
айнымалысы ажыратылған функциялардың маңызы зор.
Айталық
өлшемді матрица берілсін. Оның
элементтерін
дискретті айнымалыларынан алынған
функция ретінде қарастыруға болады.
Бұл жағдайда айнымалыларды ажырату
дегеніміз,
білдіреді.
Бұдан
жол мен бағанның көбейтіндісі болатындығы
шығады:
,
.
Скелеттік жіктеу
Айталық,
болсын. Бұл жерде
– «бағанды жолға» түріндегі
матрицалардың қосындысы:
Ал бұл екі матрицаның көбейтіндісі түріндегі теңдікті береді:
(*)
бұны
матрицасының скелеттік жіктелуі деп
атайды. Яғни
матрицасының әрбір бағаны
матрицасының бағанының сызықты
комбинациясын, ал
матрицасының әрбір жолы
матрицасының жолының сызықты комбинациясын
құрайды дегенді білдірерді. Бұдан келесі
теорема шығады.
Теорема. матрицасының бағанына созылған сызықты қабықшаның өлшемі оның жолына созылған сызықтық қабықшаның өлшемімен сәйкес келеді:
.
Матрицаны скелеттік жіктеу
Анықтама
1.
Айталық
болсын.
матрицасының скелеттік жіктелуі деп
(1)
көрінісін
айтады, мұндағы
.
Лемма 1. (1) скелеттік жіктеуде
(2)
болады.
Дәлелдеуі. Расында да сызықты алгебрадан білетініміздей, екі матрицаның көбейтіндісінің рангы көбейткіштердің рангынан артпайды. Сондықтан да,
.
(3)
Алайда,
болады,
себебі
–
матрицаларының өлшемдерінің бірі болып
табылады. Бұдан (3)-тен (2) шығады.
Лемма
2.
Кез келген
матрицасы үшін скелеттік жіктеу бар
болады.
Дәлелдеуі.
(1) жіктеуді алу үшін
матрцасының бағаны ретінде
матрицасының кез келген
сызықты –тәуелсіз бағанын, немесе
матрицасының бағаны өрнектелетін кез
келген
сызықты –тәуелсіз бағанды алу жеткілікті
болып табылады. Онда
матрицасының кез келген
–шы бағаны коэффициенттері
болатын
матрицасының бағандарының сызықтық
комбинациясын құрайды. Осы коэффициенттер
матрицасының
–шы бағанын
құрайды:
Ескерту.
Егер
матрицасы баған бойынша толық рангы
болса
(немесе жол бойынша толық рангы болса:
,
онда
матрицасы ретінде
матрицасының өзін (
матрицасын) алу, ал
матрицасы ретінде
матрицасын (
матрицасын) алу ыңғайлы.
Мысалы 1. (Скелеттік жіктеу).
матрицасын
қарастырайық, оның рангы
және бұның (1) түріндегі скелеттік
жіктеуін құрайық. (1) сәйкес
матрицасының өлшемі
, ал
матрицасының өлшемі
болады.
матрицаларының бағанын сәйкесінше
былай белгілейік:
матрицасын
матрицасының алғашқы екі сызықты-тәуелсіз
бағанынан құрауға болады:
матрицасын
табайық. Ол үшін
теңдеуін
-ға
қатысты шешейік:
Нәтижесінде мынаны аламыз: