Унитар матрицалардың қасиеттері.

1. Кез келген унитар (ортогональды) матрицалары үшін көбейтіндісі сондай-ақ унитар (ортогональды) болады.

2. Унитар матрицалардың барлық меншікті мәндері модулі бойынша 1-ге тең.

Анықтама 3. Алмастыру матрицасы деп әрбір жолында және әрбір бағанында тек қана нөлден өзгеше және 1-ге тең болатын бір ған элементі бар квадрат матрицаны айтамыз.

Мысалы, берілген А матрицасын

Алмастыру матрицасына сол жағынан көбейткенде бірінші және екінші жол орнымен ауысады, ал оң жағынан көбейткенде – бірінші және екінші баған орнымен ауысады.

3. Кез келген ауыстыру матрицасы – унитарлы.

4. Унитар матрицаның анықтауышы модуль бойынша 1-ге тең

5. Біріңғай ретті унитар матрицалар көбейту бойынша группа құрайды.

3. Қалыпты матрицалар

Анықтама 4. матрицасы қалыпты деп аталады, егер ол өзінің түйіндес матрицасымен ауыстырымды болса:

Мысал 6. (Қалыпты матрицалар).

1. Егер матрицасы унитар болса, онда ; сондықтан да барлық унитар матрицалар қалыпты болады.

2. Егер ( матрицасы эрмиттік) болса, онда болады. сондықтан да барлық эрмиттік матрицалар қалыпты болады.

3. Егер (матрица косоэрмитті) болса, онда . Сондықтан да барлық косоэрмиттік матрицалар да қалыпты болады.

4. Симметриялы және кососимметриялы матрицалар қалыпты болып табылады.

5. матрицасы қалыпты және ол жоғарыда айтылған бірде – бір классқа жатпайды.

Қалыпты матрицалардың қасиеттері

1. Қалыпты блокты-үшбұрышты матрицасы блокты-диагональды болып табылады.

2. Диагональды матрица қалыпты болып табылады.

3. Айталық - кез келген матрица, болсын. онда матрицасы қалыпты болып табылады.

4. Айталық А - қалыпты матрица болсын. Кез келген полиномы үшін матрицасы қалыпты болады.

5. Егер А - қалыпты ерекше емес матрица болса, онда -да қалыпты болады.

Анықтама 5. матрицасы унитарлы диагональданатын деп аталады, егер ол қандай да бір диагональды матрицаға унитарлы ұқсас болса. Дәл осылай ортогональды диагональданатын матрица түсінігі еңгізіледі.

Осылайша, унитарлы диагональданатын матрица үшін

(7)

қатынасы орындалады, мұндағы -диагональды, ал - унитар матрица, сонымен қатар марицасының диагональды элементтері А матрицасының спектрін құрайды.

Анықтама 6. (7) түріндегі өрнекті А матрицасының спектральді жіктелуі деп атайды.

Теорема 7. (Қалыпты матрицалар үшін спектральді теорема). меншікті мәндері бар матрицасы үшін төмендегі тұжырымдар тепе-тең:

1. А матрицасы қалыпты;

2. А матрицасы унитарлы диагональданатын;

3. 

4. А матрицасы үшін меншікті векторлардан құралған ортонормаланған жүйе бар болады.

Салдар 3. Қалыпты матрицаның (7) спектральді жіктелудегі - унитар матрицаның бағандары А матрицасының ортонормаланған меншікті векторы болып табылады.

Мысал 7. (Қалыпты матрицаның спектральді жіктелуі). 6-мысалдағы А матрицасы е) – қалыпты, ендеше унитарлы диагональданатын. 3-салдарды қолданып, А матрицасының (7) спектральді жіктелуін құрайық.

А матрицасы меншікті векторларына ие болады және оларға сәйкес келетін нормаланған меншікті векторлары

болады. Диагоналында А матрицасының меншікті мәндері тұратын (7)-гі диагональды матрицасы мына түрге ие болады:

.

ал А матрицасын матрицасына ұқсас түрлендіруді жүзеге асыратын - унитар матрица А матрицасының нормаланған меншікті векторларынан тұрады және мына түрге ие болады:

болатындығы тікелей тексеріледі.

Мысал 8 (Диагоналдандыру).

Матрицасы минималды полиномға ие боладығ ол сызықтық көбейткіштерге жіктеледі. Бұдан А матрицасы диагональданатын болатындығы шығады. А матрицасын диагональдауды жүзеге асыратын ұқсас түрлендіру ерекше емес матрицаның көмегімен орындалады:

А матрицасы қалыпты емес, себебі

Ендеше қалыпты матрицалар үшін спектральді теоремаға сәйкес А матрицасы унитарлы диагональданбайтын болып табылады.

Анықтама 7. тік бұрышты матрицаның сингулярлы саны – бұл немесе матрицасының меншікті мәндерінен алынған теріс емес квадрат түбірлер:

Теорема 8. Қалыпты матрицаның сингулярлы сандары модулі бойынша сәйкес сипаттауыш сандарға тең:

Дәлелдеуі. А матрицасы қалыпты, ендеше, унитарлы диагональдандырылады: , мұндағы , - унитарлы матрица. Онда

Ұсынылған әдебиеттер:

1. Тыртышников Е.Е. Матричный анализ и линейная алгебра, М., 2004-2005

2. Ланкастер П., Теория матриц, М., 1973

3. Беллман Р. Введение в теорию матриц

4. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. 1967

5. Хорн Р., Джонсон Ч. Матричный анализ

6. Цехан О.Б. Матричный анализ, 2010