Часть 3 статическое моделирование экономических систем

3.1. Теоретические основы метода

Метод статистического моделирования (или метод Монте-Кар­ло) – это способ исследования поведения вероятностных систем (экономических, технических и т. д.) в условиях, когда не извест­ны в полной мере внутренние взаимодействия в этих системах.

Этот метод заключается в воспроизведении исследуемого физи­ческого процесса при помощи вероятностной математической мо­дели и вычислении характеристик этого процесса. Одно такое вос­произведение функционирования системы называют реализацией или испытанием. После каждого испытания регистрируют сово­купность параметров, характеризующих случайный исход реализа­ции. Метод основан на многократных испытаниях построенной модели с последующей статистической обработкой полученных данных с целью определения числовых характеристик рассматрива­емого процесса в виде статистических оценок его параметров. Про­цесс моделирования функционирования экономической системы сводится к машинной имитации изучаемого процесса, который как бы копируется на ЭВМ со всеми сопровождающими его случайно­стями.

Первые сведения о методе Монте-Карло были опубликованы в конце 40-х гг. Авторами метода являются американские математи­ки Дж. Нейман и С. Улам. В нашей стране первые работы были опубликованы в 1955-1956 гг. В.В. Чавчанидзе, Ю.А. Шрейдером и B.C. Владимировым.

Основой метода статистического моделирования является за­кон больших чисел. Закон больших чисел в теории вероятностей доказывает для различных условий сходимость по вероятности средних значений результатов большого числа наблюдений к неко­торым постоянным величинам.

Под законом больших чисел понимают ряд теорем. Например, одна из теорем П.Л. Чебышева формулируется так: «При неограни­ченном увеличении числа независимых испытаний п среднее ариф­метическое свободных от систематических ошибок и равноточных результатов наблюдений случайной величины , имеющей ко­нечную дисперсию , сходится по вероятности к математичес­кому ожиданию этой случайной величины». Это можно запи­сать в следующем виде:

, (3.1)

где – сколь угодно малая положительная величина.

Теорема Бернулли формулируется так: «При неограниченном увеличении числа независимых испытаний в одних и тех же усло­виях частота наступления случайного события А сходится по вероятности к его вероятности Р», т. е.

. (3.2)

Согласно данной теореме, для получения вероятности какого-либо события, например вероятности состояний некоторой систе-

*

мы , вычисляют частоты для одной реализации (испытания), далее проводят подобные вычисления для числа реализаций, равного п. Результаты усредняют и этим самым с не­которым приближением, получают искомые вероятности состоя­ний системы. На основании вычисленных вероятностей определя­ют другие характеристики системы. Следует отметить, что чем больше число реализаций я, тем точнее результаты вычисления ис­комых величин (вероятностей состояний системы).

Последнее утверждение легко доказать. Предположим, что тре­буется найти неизвестную величину т. Подберем такую случайную величину , чтобы и . Рассмотрим n случайных величин , распределение которых совпадает с рас­пределением . Если п достаточно велико, то согласно центральной предельной теореме распределение суммы будет приближенно нормальным с параметрами .

Из правила «трех сигм»

(3.3)

Следует, что

.

Разделим неравенство, стоящее в фигурной скобке, на n и получим эквивалентное неравенство с той же вероятностью:

.

Это соотношение можно записать в виде

. (3.4) Соотношение (3.4) определяет метод расчета т и оценку по­грешности. В самом деле, найдем п значений случайной величины . Из выражения (3.4) видно, что среднее арифметическое этих зна­чений будет приближенно равно т. С вероятностью Р = 0,997 ошибка такого приближения не превосходит величины . Очевидно, эта ошибка стремится к нулю с ростом п, что и требовалось доказать.

Решение любой задачи методом статистического моделирования состоит в:

• разработке и построении структурной схемы процесса, выявле­нии основных взаимосвязей;

• формальном описании процесса;

• моделировании случайных явлений (случайных событий, случайных величин, случайных функций), сопровождающих функционирование исследуемой системы;

• моделировании (с использованием данных, полученных на предыдущем этапе) функционирования системы – воспроизведении процесса в соответствии с разработанной структурной схемой и формальным описанием;

• накоплении результатов моделирования, их статистической об­работке, анализе и обобщении.

В отличие от описанных ранее математических моделей, результаты которых отражали устойчивое во времени поведение сис­темы, результаты, получаемые при статистическом моделировании, подвержены экспериментальным ошибкам. Это означает, что лю­бое утверждение, касающееся характеристик моделируемой систе­мы, должно основываются на результатах соответствующих статис­тических проверок.

Экспериментальные ошибки при статистическом моделирова­нии в значительной степени зависят от точности моделирования случайных явлений, сопровождающих функционирование исследу­емой системы.

Известно, что при изучении вероятностных систем случайные явления могут интерпретироваться в виде случайных событий, слу­чайных величин и случайных функций. Следовательно, моделиро­вание случайных явлений сводится к моделированию случайных событий, случайных величин и случайных функций. Так как слу­чайные события и случайные функции могут быть представлены через случайные величины, то и моделирование случайных собы­тий и случайных функций производится с помощью случайных ве­личин. В связи с этим рассмотрим сначала способы моделирования случайных величин.

Моделирование случайных величин

Для моделирования случайной величины необходимо знать ее закон распределения. Наиболее общим способом получения последовательности случайных чисел, распределенных по произвольно­му закону, является способ, в основе которого лежит их формиро­вание из исходной последовательности случайных чисел, распреде­ленных в интервале [0,1] по равномерному закону.

Равномерно распределенные в интервале [0,1] последовательности случайных чисел можно получить тремя способами:

• использование таблиц случайных чисел;

• применение генераторов случайных чисел;

• метод псевдослучайных чисел.

При решении задачи без применения ЭВМ чаще всего исполь­зуют таблицы случайных чисел. В таблицах случайных чисел слу­чайные цифры имитируют значения дискретной случайной вели­чины с равномерным распределением:

При составлении таких таблиц выполняется требование, чтобы каждая из этих цифр от 0; 1;...; 9 встречалась примерно одинаково часто и независимо от других с вероятностью .

Самая большая из опубликованных таблиц случайных чисел содержит 1 000 000 цифр. Таблицы случайных чисел составить не так просто. Они требуют тщательной проверки с помощью специаль­ных статистических тестов.

При решении задач на ЭВМ для выработки случайных чисел, равномерно распределенных в интервале [0,1|, могут применяться генераторы случайных чисел. Данные генераторы преобразуют ре­зультаты случайного физического процесса в двоичные числа. В качестве случайного физического процесса обычно используют соб­ственные шумы (случайным образом меняющееся напряжение).

Недостатки данного способа получения случайных чисел следующие:

1. Трудно проверить качество вырабатываемых чисел.

2. Случайные числа не воспроизводимы (если их не запоминать), и, как следствие, нельзя повторить расчет на ЭВМ для исключения случайного сбоя.

Получение псевдослучайных чисел с равномерным законом рас­пределения заключается в выработке псевдослучайных чисел. Псев­дослучайные числа – это числа, полученные по какой-либо форму­ле и имитирующие значения случайной величины. Под словом «имитирующие» подразумевается, что эти числа удовлетворяют ря­ду тестов так, как если бы они были значениями этой случайной величины.

Первый алгоритм для получения псевдослучайных чисел пред­ложил Дж. Нейман. Это так называемый метод середины квадратов, который заключается в следующем:

и т.д.

Алгоритм себя не оправдал: получилось больше, чем нужно, малых значений γ_i – случайных чисел. В настоящее время разрабо­тано множество алгоритмов для получения псевдослучайных чисел.

Назовем достоинства метода псевдослучайных чисел.

1. На получение каждого случайного числа затрачивается не­сколько простых операций, так что скорость генерирования слу­чайных чисел имеет тот же порядок, что и скорость работы ЭВМ.

2. Малый объем памяти ЭВМ для программирования.

3. Любое из чисел легко воспроизвести.

4. Качество генерируемых случайных чисел достаточно прове­рить один раз.

Подавляющее число расчетов по методу Монте-Карло осуще­ствляется с использованием псевдослучайных чисел. От последова­тельности случайных чисел, равномерно распределенных в интер­вале [0,1], нетрудно перейти к последовательности случайных чи­сел с произвольным заданным законом распределения.

Существует основное соотношение, связывающее случайные числа с заданным законом распределения и случайные числа с рав­номерным законом распределения в интервале [0,1]. Суть его со­стоит в том, что для преобразования последовательности случай­ных чисел с равномерным законом распределения в интервале [0,1] в последовательность случайных чисел с заданной функцией рас­пределения F(x) необходимо из совокупности случайных чисел с равномерным законом распределения в интервале [0,1] выбрать случайное число , и решить уравнение:

(3.5)

относительно х.

Решение уравнения представляет собой случайное число из со­вокупности случайных чисел, имеющих функцию распределения F(x),

В случае, когда вместо функции распределения F(x) задана плот­ность вероятности f(х), соотношение (3.5) принимает вид:

(3.6)

Для ряда законов распределения, наиболее часто встречающих­ся в реальной экономике, получено аналитическое решение урав­нения (3.6), результаты которого приведены в табл. 3.1.

Закон распределения случайной величины	Плотность распределения	Формула для моделирования случайной величины
Экспоненциальный
Вейбула
Гамма-распределение (η – целые числа)
Нормальное

Параметры закона распределения Вейбула выбираются по табли­цам приложения.

Пример 3.1. В результате статистической обработки экспери­ментальных данных получены следующие значения характеристик случайной величины X: = 40,7 и = 30,2. Установлено, что ве­личина X распределена в соответствии с законом Вейбула.

Определите параметры данного закона.

Решение.

1. Вычислим коэффициент вариации случайной величины X:

.

2. Исходя из значения коэффициента вариации, определим по таблицам приложения параметры а и С_а. Величины параметров при V= 0,742 равны а = 1,4; С_а = 0,659.

3. Вычислим параметр b по формуле:

. (3.7)

Параметры гамма-распределения вычислим по следующим формулам:

; (3.8) . (3.9)

Пример 3.2. Время обслуживания пассажира в кассе Аэрофлота подчинено гамма-распределению. При этом известно среднее зна­чение времени обслуживания = 42 мин.; среднее квадрата чес кое отклонение времени равно 14,8 мин.

Вычислите параметры закона распределения.

Решение

1. Вычислим параметр

.

2. Величину параметра \] определим по следующей формуле:

Пример 3.3. Для ПК интенсивность потока отказов = 1,2 отк/сутки. Требуется определить последовательность значений про­должительности интервалов между отказами ПК. Известно, что эти интервалы описываются показательным законом распределения.

Решение

Определим продолжительность интервала между отказами , используя формулу для моделирования случайной величины, рас­пределенной в соответствии с экспоненциальным законом:

.

Значения определим по таблицам случайных чисел.

Допустим = 0,7182; = 0,4365; = 0,1548; = 0,8731.

Тогда

суток;

суток;

суток;

суток;

Моделирование случайных событий

Моделирование случайного события заключается в воспроиз­ведении факта появления или непоявления случайного события в соответствии с заданной его вероятностью. Моделирование пол­ной группы несовместных событий А_ь А₂, ..., А„, вероятности ко­торых , и известны, можно свести к моделирова­нию дискретной случайной величины Y, имеющей закон распре­деления

,

где вероятности ее возможных значений

.

Очевидно, что принятие в испытании дискретной случайной величиной Y возможного значения равносильно появлению в ис­пытании события А_i. При практической реализации данного спосо­ба на единичном отрезке числовой оси откладывают интервалы (рис. 3.1).

Рис. 3.1. Интервалы

Вырабатывают равномерно распределенное на интервале [0,1] случайное число и проверяют условие

. (3.10)

При выполнении условия (3.10) считают, что при испытании наступило событие А_k.

Нетрудно заметить, что моделирование факта появления одно­го события А, имеющего вероятность Р(А), сводится к моделирова­нию полной группы двух несовместных событий, т. е. противопо­ложных событий с вероятностями и .

Пример 3.4. Вероятность появления события А в каждом испы­тании Р(А) = 0,75.

Смоделируйте три испытания и определите последовательность реализации события А.

Решение

Отложим на единичном отрезке числовой оси точку Е = 0,75 и будем считать, что если случайное число , то в испытании на­ступило событие А. В противном случае при наступило собы­тие , т. е. событие А не имело места.

Пусть из таблицы выбраны равномерно распределенные на ин­тервале [0,11 случайные числа = 0,925; ~ 0,135; ⁼ 0,088. Тогда при трех испытаниях_получим следующую последователь­ность реализации событий: ; А; А.

Моделирование совместных (зависимых и независимых) событий можно выполнить двумя способами.

Первый способ. На первом этапе моделирования определяют все возможные исходы появления совместных событий в испыта­нии (находят полную группу несовместных событий и вычисляют их вероятности). На последующем этапе работ поступают так же, как и при моделировании полной группы несовместных со­бытий.

Пример 3.5. Пусть при испытании могут иметь место зависимые и совместные события А и В, при этом известно, что Р{А) = 0,7; Р(В) = 0,5; Р(АВ) = 0,3.

Смоделируйте появление событий А и В в двух испытаниях.

Решение

При каждом испытании возможны четыре несовместных исхода, т.е. наступление четырех событий:

1. С₁ = АВ, при этом по условию Р(С₁) = Р(АВ) = 0,3.

2. С₂ = ,

при этом Р(С₂) = Р(АВ) = Р(А) -Р(ВА) = 0,7 - 0,3 = 0,4.

3. С₃ = АВ,

при этом Р{С₃) = Р( ) = Р(В) - Р(АВ) = 0,5 - 0,3 = 0,2.

4. С₄ = ,

при этом Р(С₄) = = 1 - (0,3 + 0,4 + 0,2) = 0,1.

Смоделируем полную группу событий C₁, С₂, С₃, С₄ в двух ис­пытаниях. Предварительно на единичном отрезке числовой оси (рис. 3.2) откладываем интервалы .

Рис. 3.2. Интервалы

Пусть получены (взяты из таблицы) случайные числа = 0,68 и ⁼ 0,95. Случайное число принадлежит интервалу Δ₂, поэто­му при первом испытании имело место событие А, а событие В не наступило. При втором испытании случайное число принадле­жит интервалу Δ₄. Оба события А и В не имели места.

Второй способ. Моделирование совместных событий состоит в разыгрывании факта появления каждого из совместных событий отдельно, при этом, если события зависимые, необходимо пред­варительно определить условные вероятности.

Пример 3.6. Используя условия примера 3.5, смоделируйте раз­дельное появление событий А и В в одном испытании.

Решение

События А и В зависимы, поэтому предварительно находим ус­ловные вероятности Р(В/А) и Р(В/ ):

Для моделирования события А выработаем случайное число Пусть = 0,96, так как > Р(А). Событие А в испытании не на­ступило.

Теперь разыграем событие В при условии, что событие А в ис­пытании не имело место. Пусть случайное число = 0,22, тогда, т. е. . Событие В при испытании наступило.

Понятие о моделировании случайных функций

Для моделирования случайных функций используют два спосо­ба. В первом из них применяются специальные физические датчи­ки, вырабатывающие непрерывные реализации случайной функ­ции. Физические датчики с помощью специальных фильтров пре­образуют собственные шумы в случайные функции с заданными характеристиками.

В основе второго способа моделирования случайных функций лежит использование случайных чисел. При этом получают значения изолирован­ных точках. Сущность способа состоит в том, что воспроизведение реализации случайной функции сводится к моделированию систе­мы коррелированных случайных величин.