3.2. Моделирование систем массового обслуживания с использованием метода Монте-Карло

Рассмотренные в работе «Бережная Е.В., Бережной В И. Математические методы моделирования экономических систем: учеб. пособие. – М.: Финансы и статистика, 2003. – 368 с.» аналитические методы анализа систем массового обслуживания (СМО) ис­ходят из предположения, что входящие и исходящие потоки требо­ваний являются простейшими. Зависимости, используемые в этих методах для определения показателей качества обслуживания, спра­ведливы лишь для установившегося режима функционирования СМО. Однако в реальных условиях функционирования СМО име­ются переходные режимы, а входящие и исходящие потоки требо­ваний являются далеко не простейшими. В этих условиях для оцен­ки качества функционирования систем обслуживания широко ис­пользуют метод статистических испытаний (метод Монте-Карло). Основой решения задачи исследования функционирования СМО в реальных условиях является статистическое моделирование входя­щего потока требований и процесса их обслуживания (исходящего потока требований).

Для решения задачи статистического моделирования функциони­рования СМО должны быть заданы следующие исходные данные:

• описание СМО (тип, параметры, критерии эффективности рабо­ты системы);

• параметры закона распределения периодичности поступлений требований в систему;

• параметры закона распределения времени пребывания требования в очереди (для СМО с ожиданием);

• параметры закона распределения времени обслуживания требо­ваний в системе.

Решение задачи статистического моделирования функционирова­ния СМО складывается из следующих этапов.

1. Вырабатывают равномерно распределенное случайное чис­ло .

2. Равномерно распределенные случайные числа преобразуют в величины с заданным законом распределения:

• интервал времени между поступлениями требований в систему ( ):

• время ухода заявки из очереди (для СМО с ограниченной дли­ной очереди);

• длительность времени обслуживания требования каналами ( )

3. Определяют моменты наступления событий:

• поступление требования на обслуживание;

• уход требования из очереди;

• окончание обслуживания требования в каналах системы.

4. Моделируют функционирование СМО в целом и накаплива­ют статистические данные о процессе обслуживания.

5. Устанавливают новый момент поступления требования в систему, и вычислительная процедура повторяется в соответствии с изложенным.

6. Определяют показатели качества функционирования СМО путем обработки результатов моделирования методами математи­ческой статистики.

Методику решения задачи рассмотрим на примере моделирова­ния СМО с отказами.

Пусть система имеет два однотипных канала, работающих с от­казами, причем моменты времени окончания обслуживания на пер­вом канале обозначим через , на втором канале – через t_2i. Закон распределения интервала времени между смежными поступающи­ми требованиями задан плотностью распределения f₁(t_T). Продол­жительность обслуживания также является случайной величиной с плотностью распределения f₂ (t_T)-

Процедура решения задачи будет выглядеть следующим обра­зом:

1. Вырабатывают равномерно распределенное случайное число .

2. Равномерно распределенное случайное число преобразуют в величины с заданным законом распределения, используя формулы табл. 3.1. Определяют реализацию случайного интервала времени ( ) между поступлениями требований в систему.

3. Вычисляют момент поступления заявки на обслуживание:

.

4. Сравнивают моменты окончания обслуживания предшествующих заявок на первом и втором каналах.

5. Сравнивают момент поступления заявки t,- с минимальным моментом окончания обслуживания (допустим, что ^:

а) если , то заявка получает отказ и вырабатыва­ют новый момент поступления заявки описанным способом;

б) если , то происходит обслуживание.

6. При выполнении условия 5 б) определяют время обслуживания i-й заявки на первом канале путем преобразования случай­ной величины , в величину (время обслуживания i-й заявки) с за­данным законом распределения.

7. Вычисляют момент окончания обслуживания i-й заявки на первом канале t_u — [/|(j_d + Д/|,-1-

8. Устанавливают новый момент поступления заявки, и вычислительная процедура повторяется в соответствии с изложенным.

9. В ходе моделирования СМО накапливаются статистические данные о процессе обслуживания.

10. Определяют показатели качества функционирования систе­мы путем обработки накопленных результатов моделирования ме­тодами математической статистики.