Показатели относительной интенсивности колебаний.

Показатели относительной интенсивности вариации рассчи­тываются как отношение ее абсолютных показателей к посто­янной средней величине, относительной интенсивности колебаний - как отношение индивидуальных отклонений от­дельного периода к уровню тренда за этот же период, а обобщающие показатели - как отношение обобщающих показателей силы колебаний за весь ряд к обобщающему показателю уров­ней ряда - среднему уровню.

Напомним, что при криволинейном тренде средний уровень не равен свободному члену уравнения тренда, так же как и при прямолинейном тренде, но при отсчете периодов от начала, а не от середины ряда. В этих случаях делить обобщающий по­казатель силы колебаний S(t) нужно не на свободный член урав­нения, а на средний уровень изучаемого показателя. Аналогично коэффициенту пространственной вариации отношение среднего квадратического отклонения от тренда к среднему уровню временного ряда называют коэффициентом колеблемости, который обозначается для отличия от коэф­фициента пространственной вариации, как V(t). Его формула для оценки генеральной величины:

(7.45).

В заключение необходимо подчеркнуть, что любая погреш­ность в определении типа тренда или при расчете его пара­метров приводит к преувеличению показателей силы и интенсивности колебаний. Так как реальные временные ряды всегда отклоняются от строго линейной, параболической, эк­споненциальной или иной любой линии, то колеблемость всегда несколько преувеличивается за счет неполного соответствия истинной тенденции динамики какому-либо принятому типу линии тренда. Например, навер­няка часть колеблемости численности населения Земли на самом деле объясняется тем, что «истинная» тен­денция роста населения не являлась за 1950-2000 гг. строго экспоненциальной.

7.9. Представление синусоидальных колебаний в форме тригонометрического уравнения Фурье.

Выдающийся французский математик Жан Батист Жозеф Фурье (1768-1830) предложил метод преобразования перио­дических функций в ряд тригонометрических уравнений, на­зываемых гармониками. Этот метод подходит для аналитического выражения сезонных колебаний, имеющих синусоидальную форму. Исходным рядом для преобразова­ния Фурье лучше всего принять не первичный ряд за несколь­ко лет, а усредненный ряд месячных уровней, в котором исключен тренд и (или) в основном погашены случайные ко­лебания. Рассмотрим сезонные колебания рыночной цены некоторой акции (табл. 7.14).

Таблица 7.14.

Преобразование сезонных колебаний в ряд Фурье

Месяц	Рыночная цена акции	, градусов	cos	sin
Январь	230	0	1,000	0,000	230	0	229	1
Февраль	260	30	0,866	0,500	225	130	264	-4
Март	315	60	0,500	0,866	157,5	273	311	4
Апрель	352	90	0,000	1,000	0	352	357	-5
Май	392	120	-0,500	0,866	-196	339	391	1
Июнь	403	150	-0,866	0,500	-349	201,5	404	-1
Июль	398	180	-1,000	0,000	-398	0	391	7
Август	352	210	-0,866	-0,500	-305	-176	356	-4
Сентябрь	308	240	-0,500	-0,866	-154	-267	309	-1
Октябрь	262	270	0,000	-1,000	0	-262	263	-1 — 1
Ноябрь	225	300	0,500	-0,866	112,5	-195	229	-4
Декабрь	223	330	0,866	-0,500	193	-111,5	216	7
	3720	-	0,000	0,000	-484	284	3720	0

Тригонометрическое уравнение ряда Фурье для его первой гармоники, которой здесь и ограничимся, имеет форму:

(7.46),

где ; ; (7.47).

Смысл уравнения состоит в том, что без сезонных колеба­ний все уровни были бы равны среднемесячному, т.е. ; коле­бания же в равной мере разнесены на sin(t) и cos(t). В первом квадранте (т.е. от января до апреля) косинус является положи­тельной величиной и снижается от 1 до 0, синус тоже положите­лен и возрастает от 0 до 1 . Во втором квадранте (апрель - июль) косинус отрицателен и снижается от 0 до -1, синус положителен и снижается от 1 до 0. В третьем квадранте (июль - октябрь) косинус отрицателен, но возрастает от -1 до 0, а синус снижает­ся от 0 до -1 . В четвертом квадранте косинус возрастает от 0 до 1 (к декабрю до 0.866), а синус возрастает от -1 до 0 (к декабрю до -0,5). Цикл завершается новым январем. За счет комбинации изменений косинуса и синуса при разных значениях парамет­ров и удается отобразить, как показывает табл. 7.14 (графа ), любое синусоидальное колебание уровней временного ряда. Имеем: = -484/6 = -80,7; = 284/6 = 47,3. Уравнение сезонных колебаний рыночных цен акций имеет вид:

,

где в январе, а месяц равен 30 градусам.

Отклонения фактических уровней (но усредненных за ряд лет) от расчетных по ряду Фурье очень малы: максимальное от­клонение 7, среднее (по модулю) 3.33, что составляет лишь 1.07%. Такая точность вполне достаточна для прогнозов и дру­гих расчетов. Если же отклонения оказались значительными, следует на основании ряда отклонений повторить расчет, т.е. рассчитать вторую гармонику, и тогда окончательные уровни модели (ряда Фурье) будут представлять собой сумму всех гармоник:

,

где m - число гармоник; k - номер гармоники. Однако если колебания явно не имеют синусоидальной фор­мы, то требуется много гармоник, расчет становится трудоем­ким и этим методом лучше не пользоваться.