7.10. Доверительные границы тренда.

Если уравнение тренда рассматривается как выборочное, имеющее ошибки репрезентативности своих параметров, то мож­но рассчитать доверительные границы, внутри которых с задан­ной, достаточно большой вероятностью, проходит линия тренда в генеральной совокупности. Рассмотрим этот случай на приме­ре простейшего, линейного тренда. Оба его параметра - свобод­ный член «а» и среднее изменение за единицу времени «b» имеют ошибки репрезентативности выборочных оценок. Свободный член уравнения тренда - это выборочная средняя величина уровней временного ряда, средняя ошибка репрезентативности кото­рой определяется по формуле: . Средняя ошибка репрезентативности параметра «b» равна: .

Свободный член уравнения линейного тренда и среднее из­менение за единицу времени - величины независимые, а следо­вательно, согласно теореме сложения дисперсий независимых величин, дисперсия их суммы равна сумме дисперсий слагае­мых, а среднее квадратическое отклонение (средняя ошибка) - корню квадратному из суммы дисперсий, т.е. из суммы квадра­тов ошибок и . Однако мы рассматриваем ошибку не в статике, а в динамике. Средняя ошибка положения линии трен­да за счет ошибки свободного члена - это константа для любой точки линии тренда, а средняя ошибка изменения уровня трен­да за счет ошибки параметра b - это величина переменная, ибо в разных точках линии тренда его уровень равен а + bt и ошибка параметра b возрастет в t раз по сравнению с ошибкой в точке, где t = 1. Следовательно, ошибка линии тренда минимальна в середине базы его расчета - в середине временного ряда. В этой точке, где t = 0, средняя ошибка положения линии тренда рав­на ошибке его свободного члена, т.е. , а в любой иной точке тренда его средняя ошибка вычисляется по формуле:

(7.48).

Таким образом, ошибка тренда возрастает от середины базы его расчета (середина ряда) к его краям, образуя конусообраз­ную зону вероятных значений генерального тренда. Если эту зону мы хотим определить с достаточно большой вероятностью, то среднюю ошибку следует умножить на вели­чину t-критерия Стыодента для соответствующей вероятности. Чем сильнее колеблемость уровней и чем меньше база рас­чета тренда, тем шире доверительная зона генерального трен­да и тем быстрее она расширяется от середины ряда к его концам. Зона для параболического тренда расширяется при этом гораздо сильнее, чем для линейного тренда.

7.11. Методы измерения устойчивости уровней ряда.

Устойчивость временного ряда - понятие многоплановое. Его следует рассматривать с двух позиций:

• устойчивости уровней временного ряда;

• устойчивости тенденции (тренда).

Вопрос определения понятия устойчивость невозможно решить без статистической теории динамического ряда, разра­ботанной известными статистиками А.М. Обуховым, Н.С. Чет­вериковым, Альб. Л. Вайнштейном, С.П. Бобровым, Б.С. Ястремским. Согласно этой теории статистический показатель содержит в себе элементы необходимого и случайного. Необходимость проявляется в форме тенденции динамического ряда, случайность - в форме колебаний уровней относитель­но кривой, выражающей тенденцию. Тенденцией характери­зуется процесс эволюции. В явном виде невозможно видеть все причины, порождающие тенденцию (тренд). Полное раз­деление элементов случайного и необходимого существует только в виде научной абстракции.

Расчленение динамического ряда на составляющие элемен­ты - условный описательный прием. Тем не менее, несмотря на взаимозависимость тенденции и колеблемости, решающим фактором, обусловливающим тенденцию, является целенап­равленная деятельность человека, а главной причиной колеб­лемости - изменение условий жизнедеятельности. Исходя из вышеизложенного можно отметить следующее. Устойчивость не означает обязательное повторение одинакового уровня из года в год; такое понимание устойчивости приравнивало бы ее к застойному состоянию изучаемого явления. Слишком уз­ким и жестким было бы понятие устойчивости ряда - как пол­ное отсутствие в динамическом ряду всяких колебаний, так как полностью устранить влияние случайных факторов на по­казатель невозможно. Сокращение колебаний уровней ряда - одна из главных задач при повышении устойчивости, но этим она не исчерпывается, необходимо развитие явления. Отсюда и следует, что устойчивость временного ряда - понятие не про­стое, а многоплановое.

Устойчивость временного ряда - это наличие необходимой тенденции изучаемого статистического показателя с минималь­ным влиянием на него неблагоприятных условий.

Из этого вытекают основные требования устойчивости:

• минимизация колебаний уровней временного ряда;

• наличие определенной, необходимой для общества тенденции изменения.

Устойчивость временного ряда можно оценивать на различ­ных явлениях. При этом в зависимости от явления будут ме­няться показатели, которые используются в качестве форм выражения существа исследуемого процесса, но содержание понятия устойчивость будет оставаться неизменным.

Наиболее простым, аналогичным размаху вариации при из­мерении устойчивости уровней временного ряда, является раз­мах колеблемости средних уровней за благоприятные и неблагоприятные, в отношении к изучаемому явлению, перио­ды времени:

(7.49).

Причем к благоприятным периодам времени относятся все периоды с уровнями выше тренда, к неблагоприятным - ниже тренда.

Отношение средних уровней за благоприятные периоды вре­мени к средним уровням за неблагоприятные также может служить показателем устойчивости уровней. Чем ближе отношение к единице, тем меньше колеблемость и соответствен­но выше устойчивость. Назовем это отношение индексом устой­чивости уровней динамических рядов и обозначим:

(7.50)

- отношение средней уровней выше тренда к средней уровней ниже тренда (при тенденции роста).

Основными абсолютными показателями являются среднее линейное и среднее квадратическое отклонения:

среднее линейное отклонение (7.51),

среднее квадратическое отклонение (7.52),

где - фактический уровень; - выравненный уровень; n - число уровней; р - число параметров тренда; i - номера лет (знак отклонения от тренда).

Эти показатели выражаются в единицах измерения анали­зируемых уровней и не могут служить для сравнения колеба­ний различных динамических рядов. Сравнение средних линейных и квадратических отклонений по базам скольжения при многократном аналитическом выравнивании дает инфор­мацию о снижении или о повышении устойчивости уровней за период исследования.

Снижение колеблемости во времени будет равнознач­но повышению устойчивости уровней. Для характеристики устойчивости (неустойчивости) статистики рекомендуют следующие показатели:

1. Процентный размах колеблемости:

, где (7.53).

Процентный размах колеблемости оценивает разность между максимальным и минималь­ным относительными приростами в процентах.

2. Показатель скользящее среднее (Moving Average) – МА, который оценивает величину среднего отклонения от уровня скользящих средних:

; (7.54),

где r = (n - 1)/2; m - период скользящей средней.

3. Коэффициент колеблемости: , где - средний уровень ряда.

4. Коэффициентом устойчивости:

(7.55).

Такое определение коэффициента устойчивости интерпретируется как обеспече­ние устойчивости уровней ряда относительно тренда лишь в случаях. Если составил 0.9, это означает, что среднее колебание составляет 10% среднего уровня. Однако ве­роятность того, что отдельное колебание (т.е. отклонение от тренда в отдельном периоде) не превзойдет средней величины колебаний , составляет лишь 0.68, если распределение ко­лебаний по их величине близко к нормальному.

Наиболее простым показателем устойчивости тенденции временного ряда является коэффициент Спирмена:

(7.56),

где d - разность рангов уровней изучаемого ряда и рангов номеров периодов или моментов времени в ряду ; n - число таких периодов или моментов.

Для определения коэффициента Спирмена величины уров­ней изучаемого явления нумеруются в порядке возрастания, а при наличии одинаковых уровней им присваивается опреде­ленный ранг, равный частному от деления суммы рангов, при­ходящихся на эти значения, на число этих равных значений.

Коэффициент рангов периодов времени и уровней динами­ческого ряда может принимать значения в пределах от 0 до ± 1 .

Интерпретация этого коэффициента такова: если каждый уровень ряда исследуемого периода выше, чем предыдущего, то ранги уровней ряда и номера лет совпадают, = + 1 . Это озна­чает полную устойчивость самого факта роста уровней ряда, не­прерывность роста.

Чем ближе к + 1 , тем ближе рост уровней к непрерывно­му, выше устойчивость роста. При =0 рост совершенно не­устойчив. При отрицательных значениях, чем ближе к -1, тем устойчивее снижение изучаемого показателя.