Уравнения прямой в пространстве

Любую прямую можно задать как пересечение двух плоскостей. Следовательно, прямую можно определить системой уравнений:

124Equation Section (Next)1313\* MERGEFORMAT ()

Обратно, любая совместная система двух независимых уравнений (1) представляет собой уравнения некоторой прямой.

Пусть - фиксированная точка прямой, - произвольная точка прямой и - ненулевой вектор, параллельный прямой. Тогда векторы и параллельны, следовательно, их координаты пропорциональны:

1414\* MERGEFORMAT ()

Эти, по существу, два уравнения, называют каноническими уравнениями прямой.

Пусть прямая задана уравнениями (1). Составим её уравнения в канонической форме. Для этого достаточно найти какую-нибудь точку на прямой и вектор , параллельный прямой. Всякий вектор , параллельный прямой, будет параллелен каждой из плоскостей системы (1), а значит, перпендикулярен их нормальным векторам и . Имеем: , , тогда, в качестве можно взять, например, их векторное произведение

. 1515\* MERGEFORMAT ()

Замечание 1: Канонические уравнения (2), как и уравнения прямой (1) в виде пересечения двух плоскостей, определяются неоднозначно для данной прямой.

От канонических уравнений прямой (2) можно прийти к её уравнениям в параметрической форме. Обозначим

.

Избавимся от знаменателей и перенесем свободные члены вправо:

. 1616\* MERGEFORMAT ()

Это самые удобные параметрические уравнения прямой.

Выясним особенности расположения прямой, если некоторые из коэффициентов в канонических или параметрических уравнениях равны нулю. Так как вектор параллелен прямой, то при прямая параллельна плоскости . Аналогично, при прямая параллельна плоскости , при - плоскости . Если и , то прямая параллельна оси z, при и - оси y, при и - оси х.

Замечание 2: Уравнениями (1), (2) и (4) прямая задается не только в декартовой, но и в аффинной системе координат.

Упражнение 39. Показать, что геометрическое место точек, равноудаленных от трех попарно непараллельных плоскостей, есть прямая.

Упражнение 40. Показать, что геометрическое место точек, равноудаленных от вершин треугольника, есть прямая. Составить её уравнение, если заданы координаты вершин треугольника в пространстве.

Упражнение 41. Показать, что через каждую точку поверхности проходят две прямые, целиком лежащие на поверхности.

Взаимное расположение прямой и плоскости, двух прямых

Пусть имеем прямую и плоскость, заданные уравнениями:

, .

Так как вектор параллелен прямой, а вектор перпендикулярен плоскости, то прямая и плоскость будут параллельны, если эти векторы перпендикулярны: ,

. 175Equation Section (Next)1818\* MERGEFORMAT ()

Если при этом координаты точки , принадлежащей прямой, удовлетворяют уравнению плоскости , то прямая лежит в плоскости.

Прямая и плоскость перпендикулярны, если векторы и параллельны:

. 1919\* MERGEFORMAT ()

Можно получить условия параллельности и перпендикулярности прямой и плоскости, если прямая задана пересечением двух плоскостей, т.е. системой:

.

Векторы и перпендикулярны соответствующим плоскостям, а вектор параллелен линии их пересечения. Имеем: ,

следовательно, , , . Теперь достаточно воспользоваться условиями (1) и (2).

Пусть две прямые заданы уравнениями в канонической форме:

2020\* MERGEFORMAT ()

Поскольку вектор параллелен первой прямой, а вектор - второй прямой, то прямые параллельны, если , т.е. . В частности, прямые совпадают, если при этом координаты точки одной прямой, например, удовлетворяют уравнениям другой прямой:

.

Прямые перпендикулярны, если векторы и перпендикулярны: , .

Если две прямые заданы уравнениями (3), то легко найти угол между ними вне зависимости от того, пересекаются они, либо скрещиваются. Достаточно найти угол между векторами и , параллельными прямым. Для одного из двух углов между прямыми получаем:

. 2121\* MERGEFORMAT ()

Упражнение 42. Найти расстояние между двумя прямыми, заданными уравнениями (3) в канонической форме.

Упражнение 43. Найти уравнение конической поверхности с вершиной , образующие которой пересекают плоскость под углом .

Упражнение 44. Составить уравнение конической поверхности с вершиной в точке , если она проходит через окружность, задаваемую пересечением сферы с плоскостью . Что представляет собой пересечение этой конической поверхности с плоскостью ?