Тема 1. Прямоугольные координаты на плоскости

Параллельный перенос системы координат. Расстояние между точками

Понятие системы прямоугольных координат Oxy на плоскости известно. Как изменятся координаты точки A(x, y), если начало координат О сместить в точку O'(x₀, y₀), не изменяя направления осей координат?

Говорят, что система прямоугольных координат Oxy

перенесена параллельно в точку O' , в результате

y A чего получена система координат O' x' y'.

y₀ Напомним формулу для расстояния d между двумя

точками и :

x₀ x .

Технически удобнее находить квадрат расстояния

, а затем, если нужно, само расстояние .

Деление отрезка в данном отношении

Пусть на плоскости с системой координат Oxy даны две точки и . Найдём координаты x, y точки А, делящий отрезок в отношении от точки к точке .

Пусть отрезок не параллелен оси y. Спроектируем точки на ось x. ₂

А₁

B₁(x₁) B(x) B₂(x₂)

Имеем: . Так как проекции имеют те же абсциссы, что и точки , то , , где абсолютная величина нужна, т.к. отрезок может быть расположен иначе.

Следовательно, . Поскольку точка B лежит между , то разности одного знака, поэтому . Отсюда находим

,

Если отрезок вертикален, то . Что даст формула (1)?

Таким образом, формула (1) справедлива при любом расположении отрезка.

Ордината точки А находится аналогично:

Если А - середина отрезка , т.е. λ=1, то формулы (1), (2) дают

Замечание: в формулах (1), (2) отношение положительно, т.е. .

Имеют смысл два особых случая:

Упражнение 1. Говорят, что точка А делит внешним образом отрезок в отношении , если эта точка лежит на прямой, соединяющей точки , вне отрезка , и отношение расстояний её от точек равно Показать, что координаты точки А через координаты точек выражаются по формулам:

которые совпадают с формулами (1), (2) при отрицательном отношении λ= . Значит, формулы (1), (2) имеют смысл и при отрицательном λ (λ ), т.е. при λ Выяснить, чем отличаются случаи λ и

λ и придать смысл значению λ .

Покажем, что координаты любой точки прямой, соединяющей точки и , можно представить в виде

Преобразуем формулу (1):

Положим , тогда , , что даёт формулу (3). Внутренним точкам отрезка прямой соответствуют значения .

Неявные уравнения кривых

Пусть на плоскости xy дана некоторая кривая.

Уравнение

называется уравнением кривой в неявной форме, если ему удовлетворяют координаты x, y любой точки этой кривой и, наоборот, любая пара чисел, удовлетворяющая уравнению (1), представляет собой координаты определённой точки кривой.

В аналитической геометрии часто рассматриваются две задачи:

1. по заданному геометрическому свойству кривой составить её уравнение,

2. по данному уравнению кривой выяснить её свойства и форму.

Пример. Составить каноническое уравнение гиперболы, т.е. геометрического места точек плоскости xy, разность расстояний которых от двух данных точек , называемых фокусами, постоянна и равна 2a. Показать, что уравнение приводится к виду

.

Гипербола имеет следующую форму:

При a=b гипербола называется равносторонней. При повороте равносторонней гиперболы на 45˚ против часовой стрелки получим «школьную» гиперболу.

Упражнение 2. Составить уравнение геометрического места точек, отношение расстояний которых от двух данных точек постоянно и равно λ. Что представляет собой это множество?

Упражнение 3. Составить каноническое уравнение параболы, т.е. геометрического места точек плоскости xy, равноудалённых от точки F( ), называемой фокусом, и прямой , называемой директрисой.

Показать, что уравнение имеет вид .

Упражнение 4. Составить каноническое уравнение эллипса, т.е. геометрического места точек плоскости xy, сумма расстояний которых от двух данных точек , называемых фокусами, постоянна и равна 2а. Показать, что уравнение приводится к виду

.

Эллипс имеет следующую форму:

При a=b эллипс вырождается в окружность.