Рассмотрим теперь вторую задачу для кривой, заданной уравнением

Это уравнение можно преобразовать:

1. 

Кривая является окружностью с центром и радиусом R;

2. 

Уравнение точки или окружности нулевого радиуса с центром в этой точке.

3. множество или окружность с мнимым радиусом

Параметрические уравнения кривой

Представим, что точка A движется по кривой. Пусть в момент времени t её координаты

Уравнения этой системы, задающие координаты произвольной точки кривой как функции параметра t , называют уравнениями кривой в параметрической форме. Параметр t - не обязательно время, а может быть любой величиной, характеризующей положение точки на кривой.

Для канонической окружности составим уравнения в параметрической форме. Пусть радиус окружности равен R, а центр – в начале координат. Положение точки A на окружности будем характеризовать углом t, который образует радиус OA с положительной осью x. Координаты точки А: Получили параметрические уравнения окружности, где параметром служит угол

Для кривой с параметрическими уравнениями (1) иногда можно получить явное уравнение. Для этого ищут параметр t из первого уравнения и подставляют во второе:

У окружности нет явного однозначного уравнения. Найдём неявное уравнение окружности, заданной параметрическими уравнениями (2):

Получили знакомое уравнение.

Упражнение 5. Составить параметрические уравнения циклоиды, т.е. кривой, которую описывает точка А окружности радиуса R, катящейся по оси : где t – угол поворота окружности, отсчитываемый от начального положения, в котором точка А совпадает с началом координат.

Упражнение 6. Показать, что эллипс допускает параметрическое задание Найти смысл параметра t.

Упражнение 7. Показать, что гипербола допускает параметрическое задание .

Почитать о гиперболических функциях и найти смысл параметра t.

Тема 2. Прямая линия на плоскости Общее уравнение прямой линии

Прямая линия является простейшей из кривых.

Теорема. Любая прямая имеет уравнение вида

где a,b и c – постоянные, причем . Обратно, если постоянные a и b не равны нулю одновременно, т.е. , то существует прямая, которая задается уравнением (1), называемым общим.

Замечание. Если уравнение (1) умножить на ненулевое число, то получится другое эквивалентное уравнение, которое определяет ту же прямую. Значит коэффициенты a,b и c общего уравнения прямой (1) определены с точностью до общего множителя.

Упражнение 8. Показать, что любая прямая допускает задание уравнениями в параметрической форме:

Упражнение 9.Показать, что геометрическое место точек плоскости, разность квадратов расстояний которых от двух точек постоянна, есть прямая.

Расположение прямой линии на координатной плоскости

Выясним особенности в расположении прямой относительно системы координат, если её общее уравнение

имеет неполный вид.

1. a=0 (b≠0). В этом случае уравнение прямой можно переписать так:

Все точки прямой имеют постоянную ординату. Следовательно, прямая горизонтальна.

y

В частности, если и c=0, то уравнение прямой , а прямая совпадает с осью .

2. b=0 (a≠0). Этот случай рассматривается аналогично: Прямая вертикальна. Если и c=0, то x=0 - ось .

3. c=0. Уравнение (1) упрощается а прямая проходит через начало координат О(0,0), так как его координаты удовлетворяют этому уравнению.

4. a≠0, b≠0, c≠0. Уравнение (1) имеет полный вид, т.е. прямая не проходит через начало О и не параллельна ни оси x, ни оси . Преобразуем уравнение (1): Положим

Коэффициенты уравнения (2) имеют простой смысл: и с точностью до знака равны длинам отрезков, которые прямая отсекает на осях координат.

Уравнение (2) называется уравнением прямой в отрезках.

Упражнение 10. Задан пучок прямых .

Выяснить, что это такое, каковы значения параметра λ, при каких значениях λ прямая пучка параллельна оси , оси , проходит через начало координат, совпадает с базисными прямыми.