Непрерывность обратной функции

Пусть -- функция, непрерывная на отрезке. Предположим, чтомонотонна на; пусть, для определённости, она монотонно возрастает: изследует, что. Тогда образом отрезкабудет отрезок, гдеи(действительно, непрерывная функция принимает любое промежуточное междуизначение, причём ровно один раз, что следует из монотонности). Поэтому существует обратная кфункцияфункция, действующая изв. Очевидно, чтомонотонно возрастает. (Если бы функциябыла монотонно убывающей, то и обратная к ней функциятоже была бы монотонно убывающей.)

        Теорема 3.11Пусть -- непрерывная монотонная функция,,. Тогда обратная кфункциянепрерывна на отрезке.

        Доказательство.     Во-первых, заметим, что если,, то.

Во-вторых, пусть ; рассмотрим функцию, которая определена при. Очевидно, что-- непрерывная нафункция, поэтому она принимает наименьшее значениев некоторой точке:

Таким образом, если , то, то есть если, то. Последнее утверждение можно переформулировать так: для любого числанайдётся число, такое что привыполняется неравенство. (При этом,,,.) Получили, что функцияудовлетворяет определению равномерной непрерывности на отрезке; тем самым доказано утверждение теоремы.

Вопрос32 Непрерывность сложной функции

  Пусть функция у = φ (x) непрерывна в точкех₀, а функцияf(y) непрерывна в точкеу₀= φ (x₀), тогда сложная функцияf(φ(x)) непрерывна в точкех₀.Доказательство. Выберем произвольную как угодно малую окрестность U(z₀) точкиz₀=f(y₀). Тогда в силу непрерывности функцииf(y) найдётся такая окрестность V(y₀) точки у₀, что, еслиуV(y₀), то значения функцииf(y)U(z₀). Далее, для полученной окрестности V(y₀) в силу непрерывности функцииу= φ (x) в точкех₀существует такая окрестность W(x₀), что еслихW(x₀), то значения функцииу= φ(x)V(y₀). Следовательно, для произвольной точкихW(x₀) следуетz=f (φ(x))U(z₀). Что и требовалось доказать.   Это можно записать ещё и так

.

Указанное выше свойство можно сформулировать в виде правила замены переменной: пусть функция у= φ (x) непрерывна в точкех₀, а функцияf(y) непрерывна в точкеу₀= φ(x₀), тогда

 

Вопрос 33!

Точки разрыва функции

Если функция f(x) не является непрерывной в точкеx = a, то говорят, чтоf(x) имеетразрывв этой точке. На рисунке 1 схематически изображены графики четырех функций, две из которых непрерывны приx = a, а две имеют разрыв.

Непрерывна при x = a.		Имеет разрыв при x = a.
Непрерывна при x = a.		Имеет разрыв при x = a.

Классификация точек разрыва функции

Все точки разрыва функции разделяются на точки разрыва первого и второго рода. Говорят, что функцияf(x) имеетточку разрыва первого родаприx = a, если в это точке

• Существуют левосторонний предел и правосторонний предел;

• Эти односторонние пределы конечны.

При этом возможно следующие два случая:

• Левосторонний предел и правосторонний предел равны друг другу:

Такая точка называется точкой устранимого разрыва.

• Левосторонний предел и правосторонний предел не равны друг другу:

Такая точка называется точкой конечного разрыва. Модуль разности значений односторонних пределовназываетсяскачком функции.

Функция f(x) имеетточку разрыва второго родаприx = a, если по крайней мере один из односторонних пределов не существует или равен бесконечности.