Второй замечательный предел

  Ранее для натурального nбыло доказано

.

  Докажем, что для любого действительного xимеет место так же равенство

.

  Доказательство. Для любого действительного положительного аргумента можно указать два последовательных натуральных числа, для которых будет выполнено неравенствоn<x<n+ 1. В том случае имеемn→ ∞⇒x→ ∞. По свойству для неравенств имеем

.

Прибавим ко всем частям неравенств единицу

.

По свойству степеней имеем

Так как

и

,

то по теореме о пределе промежуточной функции имеем также и

,

что и требовалось доказать. Для отрицательного хдоказательство аналогично.

Вопрос 25!

Гиперболические функции, функции, определяемые формулами:

(гиперболический синус),

(гиперболический косинус).

Иногда рассматривается также гиперболический тангенс:

(графики Г. ф. см. на рис. 1). Г. ф. связаны между собой соотношениями, аналогичными соотношениям между тригонометрическими функциями:

Г. ф. можно выразить через тригонометрические:

Геометрически Г. ф. получаются из рассмотрения равнобочной гиперболы х²—у² =1, которую можно задать параметрическими уравнениямих =cht,у =sht, аргументtпредставляет двойную площадь сектора гиперболы ОАС (см. рис. 2).

Обратные Г. ф. (ареа-синус гиперболический и ареа-косинус гиперболический) определяются формулами:

Вопрос 28!

Непрерывность элементарных функций

1. f(x) = C, (где С – постоянная) непрерывна на R, т.к. при любом x.

2. f(x) = x, непрерывна на R, т.к. при.

3. f(x) = , непрерывна на R как произведение непрерывных функций.

4. f(x) = , непрерывна на R, т.к. многочленесть сумма непрерывных функций.

5. f(x) = , где P и Q – многочлены степени n и m соответственно, непрерывна на К кроме тех x, при которых Q обращается в нуль, как частное непрерывных функций.

6. f(x) = sin(x), f(x) = cos(x)

Пусть – произвольная точка множества R. Тогда sinx-sin. Так как, а, то, откуда следует, что функция f(x) = sin(x) – непрерывна.

Аналогично рассуждая, можно доказать непрерывность косинуса. Из непрерывностей синуса и косинуса следуют непрерывности тангенса и котангенса, учитывая что (для тангенса) и(для котангенса).

7. f(x) = arcsin(x), f(x) = arcos(x), f(x) = arctg(x), f(x) = arcctg(x) , непрерывны на своей области определения. Это следует из теоремы об обратной функции, примененной не ко всей тригонометрической функции (к примеру, sin(x)), а к ее отрезку (для sin(x) это отрезок ).

8. , где r – рациональное. Представим r = m / n,. Тогда. Функциянепрерывна и строго возрастает на R. По п. 2также непрерывна.

9. , a > 1, непрерывна на R. Пусть– произвольная точка множества R,=. Докажем, что. Пусть- произвольная последовательность вещественных чисел такая, что. В силу свойств вещественных чисел найдутся последовательности рациональных чисели, удовлетворяющие приусловию:<, откуда. Так каки, то=1. Отсюда и, ч.т.д.

10. Логарифмическая функция непрерывна, что следует из непрерывности показательной функции по теореме об обратной функции.

Вопрос 29!

11.Теоремы о непрерывности суммы, произведения, частного непрерывных функций, о непрерывности сложенных функций.

Теорема:

Сумма, произведение и частное двух непрерывных функций – непрерывны.

Доказательство:

Докажем для произведения.

Пусть . Тогда, по теореме о пределе произведения:

.

Теорема:

Пусть функция непрерывна в точке, а функциянепрерывна в точке. Тогда сложная функция, состоящая из непрерывных функций, непрерывна в точке.

Доказательство:

Т.к. - непрерывна, то, т.е. приимеем. Поэтом (т.к.- непрерывна) имеем:.

ВОПРОС 30!

Вопрос 31!!

Непрерывность сложной функции

  Пусть функция у = φ (x) непрерывна в точкех₀, а функцияf(y) непрерывна в точкеу₀= φ (x₀), тогда сложная функцияf(φ(x)) непрерывна в точкех₀.Доказательство. Выберем произвольную как угодно малую окрестность U(z₀) точкиz₀=f(y₀). Тогда в силу непрерывности функцииf(y) найдётся такая окрестность V(y₀) точки у₀, что, еслиуV(y₀), то значения функцииf(y)U(z₀). Далее, для полученной окрестности V(y₀) в силу непрерывности функцииу= φ (x) в точкех₀существует такая окрестность W(x₀), что еслихW(x₀), то значения функцииу= φ(x)V(y₀). Следовательно, для произвольной точкихW(x₀) следуетz=f (φ(x))U(z₀). Что и требовалось доказать.   Это можно записать ещё и так

.

Указанное выше свойство можно сформулировать в виде правила замены переменной: пусть функция у= φ (x) непрерывна в точкех₀, а функцияf(y) непрерывна в точкеу₀= φ(x₀), тогда