Вопрос 5!

Сходящиеся последовательности и их свойства

Рассмотрим числовые последовательности.

Последовательность (x_n) действительных чисел называетсясходящейся, если существует действительное числоaи для произвольногоε> 0 существует натуральное числоmтакое, что для всехn>mсправедливо неравенство |x_n-a| <ε.

При этом число aназываютпределом последовательности(x_n), что символически записываютилиx_n→aприn→ ∞.

С помощью логических символов определение запишется следующим образом: числовая последовательность (x_n) называетсясходящейся, если

Вопрос 6! Бесконечно большие и бесконечно малые последовательности

   Определение. Последовательность { х_n} называется бесконечно большой, если для как угодно большого любого положительного числа А существует номер N, зависящий от этого числа А, такой, что для всех последующих номеров n > N выполняется неравенство | x_n | > A:

   Замечание. Очевидно, что любая бесконечно большая последовательность является неограниченной. Однако неограниченная последовательность может и не быть бесконечно большой. Например, неограниченная последовательность 1, 2, 1, 3, …, 1, n + 1, … не является бесконечно большой, поскольку при A > 1 неравенство | x_n| > A выполняется не для всех элементов x_n с нечетными номерами.    Определение. Последовательность {α_n} называется бесконечно малой, если для любого как угодно малого положительного числа ε > 0 существует номер N, зависящий от этого ε, такой, что для любых n > N выполняется неравенство |α_n| < ε:

Связь между бесконечно малыми и бесконечно большими последовательностями

   Теорема 1. Если { х_n} — бесконечно большая последовательность и все ее члены отличны от нуля, то последовательность

бесконечно малая, и, обратно, если {α_n} — бесконечно малая последовательность и все её члены отличны от нуля {α_n} ≠ 0, то последовательность { 1 / α_n } – бесконечно большая.   Доказательство. Пусть { х_n} — бесконечно большая последовательность. Возьмем любое как угодно малое положительное число ε > 0 и положим

Согласно определению для этого существует такой номер N , что при n > N будет | x_n | > A. Отсюда получаем, что

для всех n > N. А это значит, что последовательность

бесконечно малая.

Вопрос 7!!! Теорема об ограниченности сходящейся последовательности

  Если последовательность имеет конечный предел, то последовательность ограничена. Определение. Числовая последовательность {x_n} ограничена, если существует такое конечное числоК, что для всех n выполнено

d(x_n,a) <K.

  Доказательство. Пусть

Тогда

N: n > N: d (x_n, a) < 1.

 Внутри окрестности радиусаR= 1 бесконечное число точек, а вне этой окрестности конечное число точек, допустим, что это точкиx₁,x₂, …x_N. Выберем число

,

тогда уже для всех nбудет выполнено

d(x_n,a) <K.

Вопрос 8!!

"Единственность предела числовой последовательности"

Определение: Если последовательность an имеет предел, то этот предел единственный.Используются 3 основных стиля:

Доказательство(от противного): Допустим, что этот предел не единственный, т.е. существует 2-а предела последовательности, отличных друг от друга : lim(при n -> к бесконечности) an = в1 ; lim(при n -> к бесконечности) an = в2 ; в1 = в2Рассмотрим число А = (в1 + в2)/2 (рисунок на прямой со стрелочкой взят отрезок в1в2 и А - середина отрезка) В1 < A, тогда найдётся номер №1 ; A(наоб-т)n > №1 : an < A (по свойству если дана последовательность an lim (n стремится к бесконечности) an = в, в>@, то начиная с некоторого номера все члены будут меньше @). в2>A, тогда найдётся номер №2, такой что для любого n > №2 выполняется неравенство : an > A.Пусть № = max {№1 ; №2}, и для любого n > №, выполянются оба неравенства одновременно, следовательно, для любого члена любого члена последовательности выполняется неравенство: A < an < A -а это противоречие.

Свойство №1: Пусть дана последовательность an lim (n стремится к бесконечности) an = в, в>@, то начиная с некоторого номера все члены последовательности будут меньше @). Следствие: Если в > B, то начиная с некоторого номера, все члены последовательности будут больше B. Если @ < в < B, то начиная с некоторого номера все члены последовательности будут удовлетворять неравенству : @ < an < B

Свойство №2:"Ограниченность последовательности имеющей предел": Если lim(n стремящаяся к бесконечности) an = в, то последовательность является ограниченной и для всех её членов выполянется неравенство @ < an < B.

Теоремы о пределах: пусть имеются 2-е последовательности {an}, {вn} => lim(n стремится к бесконечности)an = a ; lim(n стремится к бесконечности) вn = в

-lim(n стремится к бесконечности) (an + вn) = lim(n стремится к бесконечности) an + lim(n стремится к бесконечности) вn = a + в -lim(n стремится к бесконечности) (an + вn) = lim(n стремится к бесконечности) an + lim(n стремится к бесконечности) вn = a - в -lim(n стремится к бесконечности) (an * вn) = lim(n стремится к бесконечности) an * lim(n стремится к бесконечности) вn = a * в -lim(n стремится к бесконечности) (an / вn) = lim(n стремится к бесконечности) an / lim(n стремится к