Производные функции, заданной параметрически

Пусть задана зависимость двух переменных иот параметра, изменяющегося в пределах отдо:

Пусть функция имеет обратную:. Тогда мы можем, взяв композицию функцийи, получить зависимостьот:. Зависимость величиныот величины, заданная через зависимость каждой из них от параметрав виде, называется функцией, заданной параметрически.

Производную функции , заданной параметрически, можно выразить через производные функцийи: посколькуи, по формуле производной обратной функции,, то

где -- значение параметра, при котором получается интересующее нас при вычислении производной значение.

Заметим, что применение формулы приводит нас к зависимости между и, снова выраженной в виде параметрической зависимости:,; второе из этих соотношений -- то же, что участвовало в параметрическом задании функции. Несмотря на то, что производная не выражена черезв явном виде, это не мешает решать нам задачи, связанные с нахождением производной, найдя соответствующее значение параметра.

Вопрос 44! Дифференциал функции

Итак, график дифференцируемой функции в окрестности каждой своей точки сколь угодно близко приближается к графику касательной в силу равенства: где α – бесконечно малая в окрестностифункция. Для приближенного вычисления значения функции f в точке x₀+ Δx эту бесконечно малую функцию можно отбросить:

Линейную функцию называют дифференциалом функции f в точкеи обозначают df. Для функции x производная в каждой точкеравна 1, то естьПоэтому пишут:

Приближенное значение функции вблизи точки равно сумме ее значения в этой точке и дифференциала в этой же точке. Это дает возможность записать производную следующим образом:

Часто эту запись используют, чтобы уточнить, по какой переменной дифференцируется функция.

Модель 3.3. Дифференциал функции

Геометрически дифференциал функции df – это приращение ординаты касательной к графику функции в данной точке при изменении абсциссы точки на dx.

Инвариантность формы дифференциала первого порядка

   Пусть y=f(u (x )) является сложной функцией аргументаx. По определению дифференциала функции имеем

df = f '(x)·u '(x)·dx.

Так как, в свою очередь, du=u'(x)·dx, то из последнего соотношения получим

df=f'(u)·du.

Что совпадает с соотношением dy=f'(x)·dx.    Форма дифференциала первого порядка сохраняется вне зависимости от того, является ли аргумент независимым или является в свою очередь функцией другого аргумента.Пример 2.

.

Вопрос 45!

Геометрический смысл дифференциала мы выясним, исходя из найденного ранее геометрического смысла производной. Поскольку производная-- это угловой коэффициенткасательной к графику функции при, то дифференциал-- это приращение ординатыточки касательной

к графику функции , когда абсцисса точки касательной получает приращение:

Рис.4.6.Дифференциал равен приращению ординаты касательной

        Замечание 4.6Заметим, что для функциипроизводная равна 1, так что дифференциалравен, то есть. Поэтому можно всюду вместо приращения независимой переменнойписать её дифференциал. При этом получается, что для произвольной дифференцируемой функции

    

        Замечание 4.7Часто в обозначении дифференциала функции пропускают второй аргумент, от которогозависит линейно, и пишут короче:

Однако нужно чётко понимать, что это лищь сокращённая запись, и на самом деле дифференциал -- это функция двух аргументов и, линейная по.

        Замечание 4.8Поскольку для функциидифференциал записывается как, то, деля на, получаем

что придаёт смысл обозначению производной в виде отношения дифференциалов. Это обозначение было введено нами ранее, однако выше мы не придавали дроби смысла некоторого отношения двух величин, а смогли сделать это только сейчас.