1. y= sinx². Тогда.

2. Роизводная логарифмической функции.

3. Покажем сначала, что логарифмическая функция дифференцируема в каждой точке. Графики функций y=log_ax и у = а^xсимметричны относительно прямой у=х. Так как показательная функция дифференцируема в любой точке, а ее производная не обращается в нуль, график показательной функции имеет негоризонтальную касательную в каждой точке. Поэтому и график логарифмической функции имеет невертикальную касательную в любой точке. А это равносильно дифференцируемости логарифмической функции на ее области определения. Докажем теперь, чтопроизводная логарифмической функциидля любого х из области определения находится по формуле

4. (1)

5. По основному логарифмическому тождеству х = е^{ln х}при всех положительных х, т. е. в этом равенстве справа и слева стоит одна и та же функция (определенная на R₊). Поэтому производные х и е^{ln x}равны, т. е.

6. x' = (e^{ln x})' (2)

7. Известно, что х' = 1. Производную правой части вычисляем по правилу нахождения производной сложной функции и теореме 1: (е^{ln x})'= е^{ln х}ln' x=x ln' x. Подставляя найденные производные в равенство (2), находим l = х ln' х, откуда. Формула (1) показывает,что для функции на промежутке(0; ∞) любая первообразная может быть записана в виде ln x + С.Функцияимеет первообразную и на промежутке (—∞; 0), это функция ln( —x). Действительно,Так как |x| = х при х>0 и |x| = —х при х<0, мы доказали, чтона любом промежутке, не содержащем точку 0, первообразной для функцииявляется функция ln |x| .

Вопрос43! Производная функции, заданной неявно

Уравнение вида , содержащее переменныеи, иногда можно разрешить относительнои получить в явном виде зависимость. Например, если дано уравнение, то из него можно получить зависимость. Однако такое явное выражениечерез, использующее лишь элементарные функции, можно получить не из любого уравнения вида(даже если в самом уравнении участвуют лишь элементарные функции). Например, хотя уравнение

задаёт некоторую зависимость от, но выразить её из уравнения "в явном виде" не удаётся. Тем не менее, некоторую информацию об этой зависимости мы можем получить, и не выражаячерез. Например, в случае приведённого выше уравнения, поскольку значения,ему удовлетворяют, мы можем утверждать, что график этой зависимости проходит через точкуплоскости.

Покажем, как, используя уравнение , найти производную, не выражаячерезв явном виде. Для этого найдём производные левой и правой части уравнения по переменной, считаяпромежуточным аргументом, а потом выразимиз получающегося равенства.

Поясним сказанное на примере.

   Пример 4.24Возьмём то же уравнениеи найдём производную левой части (производная правой части, очевидно, равна 0). Имеем:

Слагаемые, содержащие , оставим в левой части, а остальные перенесём направо:

откуда

Получили выражение для производной , содержащее, правда, не только, но ив правой части. Однако, несмотря на это, полученное выражение можно использовать для решения различных задач, связанных с производной. Например, можно решить такую задачу: найти для кривой, заданной уравнением, уравнения касательной и нормали, проведённых в точке. Действительно, примы получаем, так что нам теперь известен угловой коэффициент касательной:. Точка касания дана условием задачи. Поэтому уравнение касательной таково:

или

а уравнение нормали -- таково:

или