Вопрос 41!

Производная от частного, суммы, произведения

 

    

Вопрос 42! Производная обратной функции

Пусть -- непрерывная функция, монотонная на интервале. Тогда, как мы доказали в гл. 3, функцияимеет обратную функцию, которая также является непрерывной и монотонной функцией на интервале, в который функцияпереводит интервал. Пусть-- фиксированная точка и-- точка, ей соответствующая. Тогда.         Теорема 4 . 5   Пусть функцияимеет в точкепроизводную. Тогда обратная функцияимеет в соответствующей точкепроизводную, которую можно отыскать по формуле( 4 .14)          Доказательство .     Дадим аргументуприращение, такое что, и рассмотрим соответствующее приращение, определяемое равенством. Тогда, очевидно,; при этом, а из монотонности функцииследует, что. Поскольку как функция, так и функциянепрерывны, то условияиэквивалентны. Составим теперь разностное отношение для функциии запишем для него очевидное равенство:Теперь перейдём в этом равенстве к пределу прии учтём, что при этомтоже стремится к 0:что мы и хотели доказать.      Заметим, что, очевидно, из формулы ( 4.14 ) следует, что( 4 .15) если-- функция, обратная к.         Замечание 4 . 10   Нетрудно заметить из приведённого доказательства, что если существует производная, то разностное отношениестремится кпри, что соответствует вертикальной касательной к графикупри(если считать, что осьрасположена горизонтально, а ось-- вертикально).Рис. 4 . 7 .Графики функцийии касательные к ним приПолученная формула для производной обратной функции имеет прозрачный геометрический смысл. Заметим, что график как функции, так и обратной функцииизображается на координатной плоскостиодной и той же линией, состоящей из точек, гдеили, что то же самое,. Поэтому, если в точкеграфик функцииимеет касательную, образующую уголс осью, то угол той же касательной с осьюбудет, очевидно, равен. Тогдапоскольку для обратной функциипроизводная даёт тангенс угла наклона касательной по отношению к оси, на которой меняется аргумент функции.Рис. 4 . 8 .Углы, тангенсы которых равныи, дополняют друг друга до

Теорема о производной сложной функции

Пусть y = f(u),аu=u(x). Получаем функциюy, зависящую от аргументаx:y = f(u(x)).Последняя функция называется функцией от функции илисложной функцией.

Областью определения функции y = f(u(x))является либо вся область определения функцииu=u(x) либо та ее часть, в которой определяются значенияu, не выходящие из области определения функцииy=f(u).

Операция "функция от функции" может проводиться не один раз, а любое число раз.

Установим правило дифференцирования сложной функции.

Теорема.Если функцияu=u(x) имеет в некоторой точкеx₀производнуюи принимает в этой точке значениеu₀=u(x₀), а функцияy= f(u)имеет в точкеu₀производнуюy'_u=f'(u₀), то сложная функцияy = f(u(x))в указанной точкеx₀тоже имеет производную, которая равнаy'_x=f'(u₀)·u'(x₀), где вместоuдолжно быть подставлено выражениеu=u(x).

Таким образом, производная сложной функции равна произведению производной данной функции по промежуточному аргументу uна производную промежуточного аргумента поx.

Доказательство. При фиксированном значениих₀будем иметьu₀=u(x₀),у₀=f(u₀).Для нового значения аргументаx₀+Δx:

Δu=u(x₀+ Δx) –u(x₀), Δy=f(u₀+Δu) –f(u₀).

Т.к. u– дифференцируема в точкеx₀, тоu– непрерывна в этой точке. Поэтому при Δx→0 Δu→0. Аналогично при Δu→0 Δy→0.

По условию . Из этого соотношения, пользуясь определением предела, получаем (при Δu→0)

,

где α→0 при Δu→0, а, следовательно, и при Δx→0.

Перепишем это равенство в виде:

Δy= y'_uΔu+α·Δu.

Полученное равенство справедливо и при Δu=0 при произвольном α, так как оно превращается в тождество 0=0. При Δu=0 будем полагать α=0. Разделим все члены полученного равенства на Δx

.

По условию . Поэтому, переходя к пределу при Δx→0, получимy'_x=y'_u·u '_x. Теорема доказана.

Итак, чтобы продифференцировать сложную функцию y = f(u(x)),нужно взять производную от "внешней" функцииf, рассматривая ее аргумент просто как переменную, и умножить на производную от "внутренней" функции по независимой переменной.

Если функцию y=f(x)можно представить в видеy=f(u), u=u(v), v=v(x),то нахождение производной y '_xосуществляется последовательным применением предыдущей теоремы.

По доказанному правилу имеем y'_x=y'_u·u'_x. Применяя эту же теорему дляu'_xполучаем, т.е.

y '_x = y '_x· u '_v· v '_x = f '_u (u)·u '_v (v)·v '_x (x).

Примеры.