Вопрос 54!
|
График функции y=f(x)называетсявыпуклымна интервале(a; b), если он расположен ниже любой своей касательной на этом интервале. График функции y=f(x)называетсявогнутымна интервале(a; b), если он расположен выше любой своей касательной на этом интервале. На рисунке показана кривая, выпуклая на (a; b)и вогнутая на(b; c). Примеры.
Рассмотрим достаточный признак, позволяющий установить, будет ли график функции в данном интервале выпуклым или вогнутым. Теорема. Пустьy=f(x)дифференцируема на(a; b). Если во всех точках интервала(a; b)вторая производная функцииy=f(x)отрицательная, т.е.f''(x) < 0, то график функции на этом интервале выпуклый, если жеf''(x) > 0 – вогнутый.
Доказательство. Предположим для определенности, чтоf''(x) < 0 и докажем, что график функции будет выпуклым. Возьмем на графике
функции y = f(x)произвольную точкуM0с абсциссойx0(a;b) и
проведем через точкуM0касательную. Ее уравнение |
|
выпукла
на [–1; 1].
.
Мы должны показать, что график функции
на(a; b)лежит ниже этой касательной,
т.е. при одном и том же значенииxордината кривойy = f(x)будет меньше
ордината касательной.
Итак, уравнение кривой имеет вид y =
f(x). Обозначим
ординату
касательной, соответствующую абсциссеx. Тогда
.
Следовательно, разность ординат кривой
и касательной при одном и том же значенииxбудет
.
Разность f(x) – f(x0)преобразуем по теореме Лагранжа
,
гдеcмеждуxиx0.
Таким образом,
.
К выражению, стоящему в квадратных
скобках снова применим теорему Лагранжа:
,
гдеc1междуc0иx0. По условию теоремыf''(x) < 0. Определим знак произведения
второго и третьего сомножителей.
Предположим, что x>x0. Тогдаx0<c1<c<x, следовательно,
(x
– x0) > 0 и (c – x0) >
0. Поэтому
.Пусть x<x0, следовательно,x<c<c1<x0и (x – x0) < 0, (c – x0) < 0. Поэтому вновь
.
Таким образом, любая точка кривой лежит ниже касательной к кривой при всех значениях xиx0(a;b), а это значит, что кривая выпукла. Вторая часть теоремы доказывается аналогично.
Примеры.
Установить интервалы выпуклости и вогнутости кривой y= 2 –x2.
Найдем y'' и определим, где вторая производная положительна и где отрицательна.y' = –2x,y'' = –2 < 0 на (–∞; +∞), следовательно, функция всюду выпукла.
y=ex. Так какy'' =ex> 0 при любыхx, то кривая всюду вогнута.
y=x3. Так какy'' = 6x, тоy'' < 0 приx< 0 иy'' > 0 приx> 0. Следовательно, приx< 0 кривая выпукла, а приx> 0 вогнута.
|
Точка графика непрерывной функции, отделяющая его выпуклую часть от вогнутой, называется точкой перегиба. Очевидно, что в точке перегиба касательная, если она существует, пересекает кривую, т.к. с одной стороны от этой точки кривая лежит под касательной, а с другой стороны – над нею. Определим достаточные условия того, что данная точка кривой является точкой перегиба. Теорема. Пусть кривая определяется уравнениемy = f(x). Еслиf''(x0) = 0 илиf''(x0) не существует и при переходе через значениеx=x0производнаяf''(x) меняет знак, то точка графика функции с абсциссойx=x0есть точка перегиба. Доказательство. Пустьf''(x) < 0 приx<x0иf''(x) > 0 приx>x0. Тогда приx<x0кривая выпукла, а приx>x0– вогнута. Следовательно, точкаA, лежащая на кривой, с абсциссойx0есть точка перегиба. Аналогично можно рассматривать второй случай, когдаf''(x) > 0 приx<x0иf''(x) < 0 приx>x0. Таким образом, точки перегиба следует искать только среди таких точек, где вторая производная обращается в нуль или не существуе |