Вопрос 34!

Непрерывность функции на интервале и на отрезке

        Определение 3.3Пусть-- некоторая функция,-- её область определения и-- некоторый (открытый) интервал (может быть, си/или). Назовём функциюнепрерывной на интервале, еслинепрерывна в любой точке, то есть для любогосуществует(в сокращённой записи:

Пусть теперь -- (замкнутый) отрезок в. Назовём функциюнепрерывной на отрезке, еслинепрерывна на интервале, непрерывна справа в точкеи непрерывна слева в точке, то есть

Пример 3.13Рассмотрим функцию(функция Хевисайда) на отрезке,. Тогданепрерывна на отрезке(несмотря на то, что в точкеона имеет разрыв первого рода).

Рис.3.15.График функции Хевисайда

Аналогичное определение можно дать и для полуинтервалов вида и, включая случаии. Однако можно обобщить данное определение на случай произвольного подмножестваследующим образом. Введём сначала понятие индуцированной набазы: пусть-- база, все окончаниякоторой имеют непустые пересечения с. Обозначимчерези рассмотрим множество всех. Нетрудно тогда проверить, что множествобудет базой. Тем самым дляопределены базы,и, где,и-- базы непроколотых двусторонних (соответственно левых, правых) окрестностей точки(их определение см. в начале текущей главы).

Вопрос 35!

СВОЙСТВА ФУНКЦИЙ, НЕПРЕРЫВНЫХ НА ОТРЕЗКЕ

Рассмотрим некоторые свойства функций непрерывных на отрезке. Эти свойства приведём без доказательства.

Функцию y = f(x) называют непрерывной на отрезке [a, b], если она непрерывна во всех внутренних точках этого отрезка, а на его концах, т.е. в точках a и b, непрерывна соответственно справа и слева.

Теорема 1. Функция, непрерывная на отрезке [a, b], хотя бы в одной точке этого отрезка принимает наибольшее значение и хотя бы в одной – наименьшее.

Теорема утверждает, что если функция y = f(x) непрерывна на отрезке [a, b], то найдётся хотя бы одна точка x₁  [a, b] такая, что значение функции f(x) в этой точке будет самым большим из всех ее значений на этом отрезке: f(x₁) ≥ f(x). Аналогично найдётся такая точка x₂, в которой значение функции будет самым маленьким из всех значений на отрезке: f(x₁) ≤ f(x).

Ясно, что таких точек может быть и несколько, например, на рисунке показано, что функция f(x) принимает наименьшее значение в двух точках x₂ и x₂'.

Замечание. Утверждение теоремы можно стать неверным, если рассмотреть значение функции на интервале (a, b). Действительно, если рассмотреть функцию y = x на (0, 2), то она непрерывна на этом интервале, но не достигает в нём ни наибольшего, ни наименьшего значений: она достигает этих значений на концах интервала, но концы не принадлежат нашей области.

Также теорема перестаёт быть верной для разрывных функций. Приведите пример.

Следствие. Если функция f(x) непрерывна на [a, b], то она ограничена на этом отрезке.

Теорема 2.Пусть функцияy = f(x)непрерывна на отрезке [a,b] и на концах этого отрезка принимает значения разных знаков, тогда внутри отрезка [a, b] найдется, по крайней мере, одна точкаx = C, в которой функция обращается в ноль:f(C)= 0, где a < C< b Эта теорема имеет простой геометрический смысл: если точки графика непрерывной функции y = f(x), соответствующие концам отрезка [a,b] лежат по разные стороны от осиOx, то этот график хотя бы в одной точке отрезка пересекает осьOx. Разрывные функции этим свойством могут не обладать. Эта теорема допускает следующее обобщение. Теорема 3 (теорема о промежуточных значениях).Пусть функцияy = f(x)непрерывна на отрезке [a,b] иf(a) = A,f(b) = B. Тогда для любого числаC, заключённого междуAиB, найдётся внутри этого отрезка такая точкаCÎ [a,b], чтоf(c) = C. Эта теорема геометрически очевидна. Рассмотрим график функции y = f(x). Пустьf(a) = A,f(b) = B. Тогда любая прямаяy = C, гдеC– любое число, заключённое междуAиB, пересечёт график функции, по крайней мере, в одной точке. Абсцисса точки пересечения и будет тем значениемx = C, при которомf(c) = C. Таким образом, непрерывная функция, переходя от одного своего значения к другому, обязательно проходит через все промежуточные значения. В частности: Следствие.Если функцияy = f(x)непрерывна на некотором интервале и принимает наибольшее и наименьшее значения, то на этом интервале она принимает, по крайней мере, один раз любое значение, заключённое между её наименьшим и наибольшим значениями.