4. В урне содержится 6 чёрных и 5 белых шаров. Случайным образом вынимают 4 шара.

Найти вероятность того, что среди них имеются:

a. 3 белых шара;

b. меньше чем 3 белых шара;

c. хотя бы один белый шар.

5. Вероятность наступления события А в одном испытании равна 0,9. Найти вероятности следующих событий:

a. событие А появится 3 раза в серии из 5 испытаний;

b. событие А появится не менее 42 и не более 50 раз в серии из 90 испытаний.

6. Вероятность того, что телевизор потребует ремонта в течение гарантийного срока, равна

0,2. Найти вероятность того, что в течение гарантийного срока из 6 телевизоров не более двух потребуют ремонта.

7. В первой урне 3 белых и 8 чёрных шаров, а во второй урне 5 белых и 7 чёрных шаров. Из первой урны случайным образом вынимают 2 шара, а из второй – три шара. Найти вероятность того, что среди вынутых шаров все шары чёрного цвета.

8. В ОТК работает мастер, проверяющий 80% всех изделий, и ученик, проверяющий 20% изделий. Мастер замечает брак в 99% случаев, тогда как ученик – в 95% случаев. Изделие, прошедшее контроль, оказалось дефектным и возвращено покупателем. Найти вероятность того, что это изделие проверял мастер.

9. В прямоугольник с вершинами ₍ −1; 0 ₎,

₍ −1; 5₎,

₍ 2; 5₎,

₍ 2; 0₎

брошена точка. Какова

^{вероятность того, что её координаты ( x; y )}

^{x2 +1 ≤ y ≤ x + 3 ?}

_{10. Дан закон распределения случайной величины Х:}

будут удовлетворять неравенству

Х	–2	0	2	4
p	0,1	0,2	0,5	0,2

Найти функцию распределения случайной величины Х; значение F(4); вероятность того, что случайная величина Х примет значения из интервала (–3; 2). Построить многоугольник распределения.

11. Известна функция распределения

F ₍ x ₎

дискретной случайной величины Х:

_{⎧ 0,}

_{x < −1,}

^⎪_{0, 5,}

_⎪

_{F ( x) =}

_{−1 ≤ x < 0,}

^{⎨0, 7, 0 ≤ x < 1,}

_⎪

_⎩^{⎪ 1,}

^{x ≥ 1.}

Задать закон распределения случайной величины Х в виде таблицы.

_{12. Дан закон распределения случайной величины Х:}

Х	106	110	114	118	122
p	0,2	0,15	0,35	0,1	0,2

Вычислить её математическое ожидание и дисперсию.

13. Составить закон распределения числа попаданий в мишень при четырёх выстрелах, если вероятность попадания в мишень при каждом выстреле равна 0,4. Найти среднее число попаданий и центральные моменты указанной случайной величины.

14. За значение математического ожидания некоторой величины принимают среднее арифметическое достаточно большого числа её измерений. Предполагая, что среднее квадратичное отклонение каждого измерения не превосходит 2 см, оценить вероятность того, что при 1500 измерениях отклонение принятого значения от истинного по абсолютной величине не превзойдёт 0,1 см.

15. На телефонной станции неправильное соединение происходит с вероятностью 0,005.

Найти вероятность того, что среди 400 соединений произойдёт:

a. хотя бы три неправильных соединения;

b. более трёх неправильных соединений.

_{16. Случайная величина задана функцией плотности распределения:}

⎧ _0,

_⎪

^{x < 0,}

_{p( x) =} ^{⎪ x} _{, 0 ≤ x <}

_⎨

_⎪¹⁴

28,

_⎩^{⎪ 0,}

^{x ≥ 28.}

_{Найти функцию распределения случайной величины Х. Построить графики функций}

^p(x) и

^F ₍ ^x ₎ . Вычислить математическое ожидание, дисперсию, моду и медиану

случайной величины Х.

_{17. Случайная величина задана функцией распределения:}

_{⎧ 0,}

_{x < 1,}

_{F ( x) =} ^⎪_{a ⋅ ( x −1), 1 ≤ x < 3,}

⎨

Найти:

a. параметр a ;

b. плотность распределения

_⎪

^⎩

_p(x);

^{1, x ≥ 3.}

c. вероятность того, что в результате одного испытания случайная величина Х

примет значения из интервала (–2; 1);

d. математическое ожидание и дисперсию случайной величины Х

e. вероятность того, что в результате 270 независимых испытаний случайная величина Х примет 30 раз значения из интервала (–2; 1).

_{18. Случайная величина распределена равномерно на отрезке [0, 5; 1, 5]. Записать функции}

плотности распределения ожидание и дисперсию Х.

^p(x)

и распределения

^{F ( x ) . Вычислить математическое}

_{19. Случайная величина распределена по показательному закону с параметром 6,2. Записать}

^p(x)

и построить её график. Найти функцию распределения

^F ₍ ^x ₎

и построить её

график. Вычислить математическое ожидание и дисперсию Х.