Вариант 5.

1. Колода из 36 карт разделена наудачу пополам. Найти вероятность того, что каждая из полуколод будет состоять из карт одного цвета.

2. Бросают 2 игральные кости. Найти вероятность того, что сумма выпавших очков будет больше из произведения.

3. Слово «ИНТЕГРАЛ» разрезано по буквам на карточки. Затем карточки перемешивают и вынимают без возвращения по одной. Найти вероятность того, что карточки в порядке появления образуют слово а) ИНТЕГРАЛ, б) ЛЕНТА.

4. В урне содержится 4 черных и 5 белых шаров. Случайным образом вынимают 4 шара.

Найти вероятность того, что среди них:

а) 2 белых шара;

б) менее двух белых шаров;

в) хотя бы 1 белый шар.

5. Вероятность появления события А в одном испытании равна 0,4. Вычислить вероятности следующих событий:

а) событие А наступит 4 раза в серии из 6 независимых испытаний;

б) событие А наступит не менее 120 и не более 140 раз в серии из 384

независимых испытаний.

6. Производится залп из 6 орудий по некоторому объекту. Вероятность поражения объекта каждым орудием при одном выстреле равна 0,6. Найти вероятность ликвидации объекта, если для этого необходимо не менее 4 попаданий.

7. В первой урне 5 белых и 6 черных шаров, а во второй – 7 белых и 3 черных шара. Из первой урны случайным образом вынимают 3 шара, а из второй – 2 шара. Найти вероятность того, что среди вынутых шаров все шары одного цвета.

8. Кинескопы для телевизоров поставляют три завода: первый – 50%, второй – 30%, третий –

20% от общего числа поставляемых кинескопов. В продукции первого завода встречается

5% брака, второго – 3%, третьего – 1% брака. Кинескоп отказал в течение гарантийного срока. Найти вероятность того, что он был изготовлен вторым заводом.

_{9. В квадрат с вершинами (0, 1), (0, 0), (1, 0), (1, 1)}

наудачу поставлена точка с координатами

_{(x, y ) . Какова вероятность того, что они удовлетворяют неравенству}

_{y ≥ 4x} ² _?

_{10. Дан закон распределения случайной величины X :}

X	1	3	5	7
p	0,2	0,3	0,1	0,4

Найти функцию распределения

^F ₍ ^x ₎ ^{, значение}

^F ₍⁰₎ ^{. Вычислить вероятность того, что X}

^{примет значение из интервала (0; 3). Построить многоугольник распределения.}

_{11. Известна функция распределения дискретной случайной величины X :}

⎧ ^0,

_⎪

^{x < −2}

_{F (x) =} ^{⎪0,2, − 2 ≤ x < 0}

⎨

_⎪^{0,6, 0 ≤ x < 1}

_⎩^{⎪ 1,}

^{x ≥ 1}

Задать закон распределения случайной величины X в виде таблицы.

_{12. Задан закон распределения дискретной случайной величины:}

X	318	328	338	348	358
p	0,15	0,15	0,2	0,35	0,15

Вычислить ее математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое

отклонение.

13. Предполагая одинаковыми вероятности рождения мальчика и девочки, составить закон распределения количества мальчиков в семье, имеющей 5 детей. Найти среднее значение и дисперсию количества мальчиков в семье.

14. Сколько должно быть произведено независимых измерений некоторой величины, чтобы с вероятностью не меньшей 0,98 можно было ожидать, что среднее арифметическое результатов измерений отличается от истинного значения по абсолютной величине менее чем не 0,01, если дисперсия отдельного испытания не превосходит 1.

15. На телефонной станции неправильное соединение происходит с вероятностью 0,005.

Найти вероятность того, что среди 500 соединений произойдет:

а) ровно 3 неправильных соединения;

б) больше трех неправильных соединений.

_{16. Случайная величина X задана функцией распределения}

⎧ _0,

_⎪

x

^{p(x) =} _⎨ ^,

_⎪⁷

^{x < 0}

^{0 ≤ x < 14}

^⎪_⎩ ^{0, x ≥}

14.

Найти функцию распределения

F ₍ x ₎

случайной величины X . Построить графики

функций

_{p ( x ) и}

_{F ( x ) . Вычислить для этой случайной величины математическое}

ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение, моду и медиану.

_{17. Случайная величина Х задана функцией распределения}

_{⎧ 0,}

_{x < 0}

^{F (x ) = ⎪a ⋅ x 3 ,}

⎨

_⎪

^{0 ≤ x < 1}

Найти а) параметр a ;

б) плотность распределения

^{⎩ 1,}

_{p ( x ) ;}

^{x ≥ 1.}

_{в) вероятность того, что в результате одного испытания случайная величина X}

_{примет значение из интервала} ^{⎛ 1}

⎜

⎝ ²

_{; 2} ^⎞ _;

⎠

⎟

г) математическое ожидание и дисперсию данной случайной величины;

д) вероятность того, что в результате 800 независимых испытаний случайная величина X примет 720 раз значение из указанного интервала.

^{18. Случайная величина X распределена равномерно на отрезке [1,4; 7,6]. Найти выражения}

для плотности распределения и функции распределения этой случайной величины.

Вычислить математическое ожидание и дисперсию случайной величины X .

19. Случайная величина распределена по показательному закону с параметром 6,1. Записать выражения для плотности распределения и функции распределения этой случайной величины. Построить их графики. Вычислить математическое ожидание и дисперсию случайной величины X .

20. Случайная величина распределена по нормальному закону с параметрами

Найти вероятность того, что эта случайная величина примет значение

а) из промежутка[3;15];

б) меньшее 9;

_{в) большее 12;}

^{a = 8}

^{и σ = 5 .}

г) отличающееся от своего среднего значения по абсолютной величине не более чем на 15.

_{21. Результаты измерения расстояния между двумя населенными пунктами подчинены}

_{нормальному закону с параметрами a = 16 км и}

_{σ = 100 м. Найти вероятность того, что}

расстояние между этими пунктами не более 16,25км.

22. По выборке А решить следующие задачи:

а) составить вариационный ряд, построить полигон и гистограмму;

б) вычислить относительные и накопленные частоты,

в) построить эмпирическую функцию распределения и ее график,

г) вычислить числовые характеристики вариационного ряда: выборочную среднюю, дисперсию, среднее квадратическое отклонение, моду, медиану.

_{д) при уровне значимости α = 0, 05}

_{проверить гипотезу о распределении Пуассона}

соответствующей генеральной совокупности.

_{Выборка А:}

4	10	7	6	3	7
8	7	4	7	10	7
3	9	3	1	5	8
10	11	6	5	7	6
3	8	4	3	8	4
10	6	8	7	8	7
7	4	4	6	7	10
4	7	0	5	5	4
8	5	5	10	7	3
8	5	6	6	3	4

23. По выборке В решить следующие задачи:

а) составить вариационный ряд,

б) вычислить относительные и накопленные частоты,

в) построить эмпирическую функцию распределения и ее график,

г) вычислить числовые характеристики вариационного ряда: выборочную среднюю, дисперсию, среднее квадратическое отклонение, моду, медиану.

_{д) при уровне значимости}

_{α = 0, 05}

_{проверить гипотезу о нормальном}

распределении соответствующей генеральной совокупности.

Выборка В:

324	296	313	323	312	321	322	301
337	322	328	312	318	327	325	309
329	319	312	326	318	320	309	324
320	320	319	326	323	311	326	330
323	330	318	320	313	317	324	328
326	321	321	326	324	325	335	323
324	325	320	323	317	311	322	319
319	325	329	323	316	325	315	318
317	319	321	312	324	330	313	333
322	332	319	318	323	327	332	334