14.11. Найти производные от функций, заданных неявно:
а) x3 + y3 −3axy = 0 . |
б) sin(xy) + cos(xy) = tg(x + y) . |
14.12.Убедиться в том, что функция у, определенная уравнением xy −ln y =1, удовлетворяет соотношению y2 +(xy −1) y′ = 0 .
14.13.Найти дифференциалы функций:
а) y = x arcsin x + 
1− x2 −3 . б) ey = x + y .
14.14. Вычислить приближенно:
а) sin 29 .
Ответы
14.1. а) 2t .
в) 1−sincosϕϕ = ctg ϕ2 .
д) 2t −1.
ж) − tgt.
14.2.а) 12 (
3 +1)2.
14.3.а) ex + 4xy2 . ey −4x2 y
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1− x |
2 |
1 |
− y |
2 |
|
|
||||
|
|
|
|
−1 |
|
|
|
||||
в) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
1− y |
2 |
|
1 |
− x |
2 |
||||||
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
−1 |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б)
б)
г)
е)
з)
б)
б)
г)
(2,037)2 −3 . 
(2,037)2 +5
− t2+t1.
2t2.
2t.
2(cos 2t −2sin 2t)cos2 t.
− 43 .
2(ln1 +1). y
2x −2x+y .
2x+y −2y
43
д) 2x(1y+2 y2 ).
ж) −3
xy .
14.4. 43 .
14.6. а) tg2 x tgx +
в) |
|
dx |
|
. |
|
|
|
|
|||
4 + x2 |
|||||
|
|
|
|
14.7. 1,2 .
б) 0,2.
14.9.а) –1.
14.11. а) ay − x2 . y2 −ax
14.13. а) arcsin xdx
3x dx. cos2 x
б) −
.
е) |
− |
y |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
з) |
ey sin x |
+ex sin y |
. |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
ey cos x |
−ex cos y |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
14.5. −e−1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
2arcsin x |
||||||||
б) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
dx. |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
arctgx |
|
1 |
+ x |
|
|
1 |
− x |
2 |
|
|
||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
г) 52yxdx4 +1.
14.8. а) 0,05.
в) 2,02. б) 11+− tgtgtt .
ycos2 (x + y)(cos(xy) −sin(xy)) −1 . x cos2 (x + y)(cos(xy) −sin(xy)) −1
б) eydx−1 .
14.14. а) 0,485. |
б) 0,355. |
Занятие 15
Производные и дифференциалы высших порядков
Аудиторная работа
15.1. Найти производные 2-го порядка от следующих функций:
а) y = cos2 3x . |
б) y = arctg x2 . |
44
в) y = log2 3
1− x2 . г) y = 13 x2 
1− x2 + 23 
1− x2 + x arcsin x .
15.2. Показать, |
что функция y = c e2x + c e3x при любых |
|
|
1 |
2 |
постоянных c1 и c2 |
удовлетворяет уравнению y′′−5y′+6y = 0 . |
|
15.3. Найти производные 2-го порядка от функций, заданных неявно:
а) y =1+ xey . б) x3 + y3 = 3xy .
в) arctg y = y − x . г) y = x +ln y .
15.4. Найти производные 2-го порядка от функций, заданных параметрически:
|
|
2 |
|
|
1 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
а) |
x = t |
+ 2, y = |
t |
−1 . |
б) |
x = arcsin t, y |
= 1−t |
2 |
. |
|||||
|
3 |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
в) |
x = a cos2 t, y = asin2 t . |
г) |
x = lnt, y = t2 −1. |
|
|
|||||||||
15.5. Найти |
дифференциалы |
1, |
2 и 3-го |
порядков функции |
||||||||||
y= (2x −3)3 .
15.6.Найти дифференциалы 2-го порядка функций:
а) y = e−x2 .
б) xy + y2 =1 .
15.7.Найти дифференциал 3-го порядка функции y = lnxx .
15.8.Найти приближенное значение 5
31 с точностью до двух знаков после запятой.
Домашнее задание
15.9. Найти производные второго порядка следующих функций:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а) y = 1− x |
2 |
arcsin x . |
б) |
1 |
+ x |
2 |
||||
|
y = ln x + |
|
. |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
15.10. Найти y(n) (x) , если y = e−x .
45
15.11. |
Найти |
d 2 y |
, если: |
|
|
|
|
|
|
dx2 |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а) ex+y = xy . |
|
б) |
x = |
|
1 |
|
, y = tg t . |
|
|
|
cost |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||
15.12. Вычислить |
значение |
производной второго |
порядка |
||||||
функции |
y , заданной уравнением x2 +2y2 − xy + x + y = 4 , |
в точке |
|||||||
M (1;1) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
15.13. Доказать, |
что |
функция |
y = e4x + 2e−x удовлетворяет |
||||||
уравнению y′′′−13y′−12y = 0 . Записать для этой функции d 3 y .
15.14. Вычислить приближенное значение функции y = 3
x2 −5x +12 при x =1,3 с точностью до двух знаков после запятой.
Ответы
15.9. а) − |
arcsin x + x |
|
1− x2 |
. |
б) − |
|
|
x |
|
. |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
(1− x |
2 )3 |
|
(1+ x2 )3 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
15.10. (−1)n e−x . |
|
|
|
|
15.11. а) |
− |
y((x −1)2 + (y −1)2 ) |
. |
||||||
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 (y −1)3 |
|
15.11. б) − ctg3 t . |
|
|
|
|
15.12. –1. |
|
|
|
||||||
15.13. (64e4x − 2e−x )dx3 . |
|
15.14. 1,93. |
|
|
|
|
||||||||
Занятие 16
Правило Лопиталя–Бернулли. Формула Тейлора
Аудиторная работа
16.1. Применяя правило Лопиталя–Бернулли, найти пределы:
а) lim |
ex − e−x |
. |
б) lim |
|
x4 |
. |
sin x |
|
+ 2cos x − 2 |
||||
x→0 |
|
x→0 x2 |
|
|||
46