Ответы

17.1. а)

y = C

cos2x + C

2

sin 2x + 1 x3

+

3

x.

1

2

4

б) y = C e−x + C

2

xe−x + 4x2e−x.

1

в) y = C ex + C

2

e3x

+ (2x + 3)e2x.

1

г)

y = C e−4x + C

2

ex − 15 sin x.

1

34

(221−510x + 425x2 +1000ex ).

д)

y = C e−3x cos x +C

2

e−3x sin x +

1

4250

е)

y = C1 cos x +C2 sin x + 1 (9cos2

x +cos x cos3x +15sin2 x +sin xsin 3x).

6

ж)

y = C e−3x

+ C

2

+

x

+ 2 e2x −

1

(cos3x + sin 3x).

1

3

5

18

з)

y = C e2x + C

2

e−

2x −

1

(5cos2x +16sin 2x).

1

40

и)

y =

1

(25 + 39e4x − 28x − 24x2 ).

64

к)

y = −

1

e−9x (7 −10e9x + 3e9x cos3x −9e9x sin 3x).

90

17.2. а)

y = C

+C

2

e−x

+ x2 −3x .

1

б) y = C ex + C

2

e2x

+ (4 − 2x)e−x .

1

в)

y = −2e−x − 4xe−x + 3sin 2x .

г)

y = cos4x − sin 4x + e4x .

д) y = 3e−2x − 2e2x + 2xe2x .

dx

=

y

,

dx

= 2y −5x + et ,

а)

t

б)

dt

dt

dy

=

y(x + 2y −1)

.

dy = x −6y + e−2t .

t(x −1)

dt

dt

в)

xy′ = y,

г)

x′

= y

x(0) = 0,

xzz′+ x2 + y2 = 0.

y′ = −x +1 y(0) =1,5.

д)

x′ = x + y,

е)

x′

= 2x + y + cost,

y′ = x − y.

y′ = −x + 2sin t.

1

x′

= 2x + y,

x′ =

,

ж)

з)

y

1

y′ = 3x + 4y.

=

.

y′

x

z −1

y2

y′ =

x′ =

z .

x .

а)

б)

z′ =

1

x2

y − x

y′ =

y

в) x = 3x − 2y

x(0) =1 .

г) x = x − 4y .

y = 4x + 7 y

y(0) = 0

y = x −3y

Ответы

18.1. а)

x =

C1t + C2 −1,

y =

C1t

.

)2

C1t + C2

(C t

+C

2

1

б) x = C e−4t +C

2

e−7t + 1 e−2t +

7

et ,

1

5

40

y = 1 C e−4t

−C

e

−7t +

3

e−2t +

1

et .

40

2

1

2

10

в) y = C1x,

z = ±

C2 − x2 (1+ C12 ).

г) x =1 − cost +1,5sint,

y = sint +1,5cost.

д) x = C1e

t +C2e−

t , y = C1 (

−1)e

t −C2 (

+1)e−

t .

2

2

2

2

2

2

е) x = (C + C

t)et

+ 1 cos t,

y = (C

2

(1

−t)−C )et

− 2 cost − 1 sin t.

1

2

2

1

2

ж) x = C et

+ C

e5t , y = −C et +15C

2

e5t .

1

2

1

з) C x2

= 2t + C

,

y2 = C

(2t + C

2

).

1

2

1

18.2. а)

y = x +

1

e−C1x , z = C2eC1x .

C1C2

б) x2 = C e2t +C

e−2t , y2 = C e2t

−C

2

e−2t .

1

2

1

в) x = e5t (cos 2t −sin 2t), y = 2e5t sin 2t .

г) x = (2C t

+ 2C

2

+1)e−t , y = (C t

+C

2

)e−t .

1

1

10. Найти длину полукубической параболы y2 =

2

(x −1)2 ,

x

3

заключенной внутри параболы

y2 =

.

3

9. Найти длину дуги кривой y = ex −1 от точки (0; 0)

до точки

(1; e −1) .

10. Найти объем

тела,

полученного вращением

фигуры,

ограниченной линиями y = x2 , y = 0, x = 2 , вокруг оси Oy .

Вариант 6

1.

∫

cos2 x dx

.

2. ∫xarccos2xdx .

sin4

x

3. ∫

2tg x +3

dx.

4. ∫xsin(1 − 3x2 )dx.

sin2 x + 2cos2 x

x5

+ 2x −1

dx

5.

∫

dx.

6. ∫

2x +1

.

x4

−1

4

+

2x +1

π/ 3

2

xdx.

+∞

dx

7.

∫sin

8. ∫

.

x2

+1

0

0

9. Вычислить площадь фигуры,

ограниченной кривой x = t −sin t,

y =1+ cost,

0 ≤ t ≤ π.

Вариант 8

1. ∫

x3dx

.

2. ∫ln(1+ x2 )dx.

1− x4

dx

.

dx

3. ∫e

x

4. ∫

.

5 + 2sin x + 3cos x

x

x3 + 2x2

−1

5. ∫

dx.

6. ∫

x +1

dx.

(x −1)(x2

+1)

x +1(3 x

+1

+1)

2

3

dx

4 − x2 dx.

7. ∫

8. ∫

.

9 − x2

0

0

Вариант 9

(1+

)5 dx

x6dx

1. ∫

x

.

2. ∫(2x −1)e

4x

dx.

3. ∫

.

10

+ x7

x

4. ∫sin4 2x cos2 2xdx.

5. ∫

4 −3x

dx .

6. ∫

dx

.

x3 +8x2

x

x + 2

9

y +1

+∞

−

dx

dx.

x

7. ∫

8. ∫

e

.

y

−1

x