в) |
lim |
|
|
ln(x − a) |
. |
|
|
|
|
|
|||
|
x→a+0 ln(ex − ea ) |
|
||||
д) |
lim x |
2 1/ x2 |
. |
|
||
e |
|
|
||||
|
x→0 |
|
|
|
|
|
г) |
lim |
|
π − 2arctgx . |
|
||||
|
|
|
|
1 |
|
|
||
|
x→∞ |
ln(1+ |
x |
) |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|||
е) |
lim |
|
1 − |
1 |
|
|||
|
. |
|||||||
|
|
|
||||||
|
x→0 |
x |
ln(1+ x) |
|||||
|
|
|
|
|
1 |
|
ж) |
lim (x +10 |
x 1/ x |
. |
з) lim x |
ln(e x −1) |
. |
) |
|
|||||
|
x→∞ |
|
|
x→0 |
|
|
и) lim (tg x)2x−π . |
к) |
|
|
1 |
x |
|||
lim 1 |
+ |
|
. |
|||||
x2 |
||||||||
x→ |
π |
|
|
x→+∞ |
|
|
||
|
|
|
||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
||
16.2. Разложить многочлен f (x) = x4 −2x2 +13x +9 по степеням
двучлена x + 2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
16.3. Написать формулу Тейлора |
3-го |
порядка для |
функции |
|||||||||||||
f (x) =10x |
в точке x = 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
16.4. Вывести приближенную формулу |
sin x ≈ x − |
x3 |
и оценить |
|||||||||||||
6 |
|
|||||||||||||||
ее точность при | x |< 0,05 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
16.5. Вычислить с точностью до 10−4 |
cos10 . |
|
|
|
||||||||||||
16.6. Найти пределы, используя разложение по формулеТейлора: |
||||||||||||||||
|
|
|
|
− |
|
|
. |
|
|
|
1−cos x |
. |
|
|||
а) |
lim |
|
1+ x |
1− x |
|
б) |
lim |
|
||||||||
|
x→0 |
|
|
x |
|
|
x→0 |
x2+x3 |
|
|
|
|||||
в) |
lim |
xe2x + xex − 2e2x + 2ex |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
(ex −1)3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Домашнее задание
16.7. Найти пределы функций, применяя правило ЛопиталяБернулли:
16.7. а) lim |
x + 2ln x |
. |
б) lim |
x −sin x |
. |
x→∞ |
x |
x→0 |
x3 |
||
47
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
||
в) |
|
|
|
|
− |
|
|||||
|
|
|
|||||||||
lim |
|
|
x |
. |
|||||||
|
x→0 arctg x |
|
|
|
|||||||
д) |
lim(cos2x)3/ x2 . |
||||||||||
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|
||||
16.8. Написать |
|
|
формулу Тейлора |
||||||||
f (x) = |
1 |
|
|
при x |
|
=1. |
|||||
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
x |
0 |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
г) lim ln x ln(x −1).
x→1
3-го порядка для функции
16.9. Вычислить приближенно sin1 с точностью до ∆ =10−4 .
16.10. Вычислить предел lim sin x − x |
, используя формулу |
x→0 x2 sin x |
|
Тейлора с остаточным членом в форме Пеано.
Ответы |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
16.7. а) 1. |
|
б) 1/6. |
|
|
|
|
|
в) 0. |
|
|
|
г) |
0. |
д) e−6 . |
|||||||
16.8. 1− |
1 |
(x −1) + |
1 3 |
|
(x − |
1) |
2 |
− |
1 3 |
5 |
(x −1) |
3 |
+ |
1 3 5 7 |
|
|
(x −1)4 |
, |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
2 |
22 |
2! |
|
23 |
3! |
|
|
24 4! |
|
(1+θ(x −1))9/2 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
0 <θ <1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
16.9. 0,0175. |
|
16.10. − |
1 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Занятие 17
Монотонность функций. Экстремум. Наибольшее и наименьшее значения функции
Аудиторная работа
17.1. Найти интервалы монотонности и точки экстремума следующих функций:
а) |
y = |
x4 |
−2x |
3 |
+ |
11 |
x |
2 |
−6x + |
9 |
. |
б) y = |
ln x |
. |
4 |
|
2 |
|
4 |
x |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
48
в) |
y = |
2x2 |
−1 |
. |
|
г) |
y = x −2sin x . |
||
|
x |
4 |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
д) y = 3 |
x2 −2x |
. |
е) |
y = x2e−x |
|||||
17.2. Найти экстремумы функций, пользуясь производной 2-го порядка:
а) y = |
|
+ x . |
б) y = x2 (a − x)2 . |
||
1− x |
|||||
в) y = x1/ x . |
г) y = |
x |
|||
|
. |
||||
ln x |
|||||
17.3. Определить наибольшее и наименьшее значения данных функций в указанных интервалах:
а) |
y = x4 −2x2 +5;[−2,2] . |
б) |
y = x + 2 |
|
|
; [0,4]. |
||||||||||
|
x |
|||||||||||||||
в) |
y = 3 |
|
|
−3 |
|
; [0,1]. |
г) |
arctg |
1 |
− x |
; [0,1] . |
|||||
x +1 |
x −1 |
|||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||
1 |
+ x |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
д) |
y = |
x2 −1 |
; [− 2,1]. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
x2 +1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
17.4.Требуется изготовить ящик с крышкой, объем которого был бы равен 72 см3, причем стороны основания относились бы как 1 : 2. Каковы должны быть размеры всех сторон, чтобы полная поверхность ящика была наименьшей?
17.5.Найти высоту цилиндра наибольшего объема, который можно вписать в шар радиусом R.
Домашнее задание
17.6. Найти интервалы возрастания и убывания и точки экстремума следующих функций:
|
|
|
|
|
|
|
а) y = x 1− x2 . |
б) |
y = ln x −arctg x . |
||||
17.7. Найти экстремум функции |
y = x + |
a2 |
(a > 0) , используя |
|||
x |
||||||
|
|
|
|
|
||
вторую производную.
49
17.8. Найти наибольшее и наименьшее значения функций в указанных интервалах (или во всей области определения):
а) y = |
1− x + x2 |
; [0, 1]. |
б) y = xe−x2 2 . |
|
1+ x − x2 |
|
|
17.9. Из трех досок одинаковой ширины сколачивается желоб для подачи воды. При каком угле α наклона боковых стенок к днищу желоба площадь поперечного сечения будет наибольшей?
Ответы
17.6. а) На (−1;−1/ 
2) (1/ 
2;1) – убывает; на (−1/ 
2; 1/ 
2) –
возрастает; ymin = y(−1/ 
2) = −1/ 2; ymax = y(1/ 
2) =1/ 2 .
17.6.б) Возрастает на всей области определения.
17.7.ymax = y(−a) = −2a; ymin = y(a) = 2a .
17.8. а) 1 и 3/5. |
17.8. б) 1/ |
|
и −1/ |
|
. |
17.9. |
α = |
2π |
. |
|
e |
e |
|||||||||
3 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Занятие 18
Выпуклость и вогнутость графиков функций. Асимптоты. Построение графиков функций
|
|
|
Аудиторная работа |
|||
18.1. Найти |
точки перегиба |
и интервалы выпуклости и |
||||
вогнутости графиков функций: |
|
|
|
|||
а) y = ln(x2 +1) . |
б) y = |
3x4 +1 |
. |
|||
|
||||||
|
|
|
|
|
x3 |
|
в) y = x2 + |
|
1 |
. |
г) y = xe−x . |
||
|
|
|||||
|
|
x2 |
|
|
|
|
50