11.11. Найти точки, в которых модуль градиента функции
z= (x2 + y2 )3/ 2 равен 2.
11.12.Найти производную функции z = ln(x + y) в точке (1; 2) ,
принадлежащей параболе y2 = 4x , по направлению этой параболы.
Ответы |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
x − y − 2z = −1− π |
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
y −1 |
|
|
|
|
|
|
z − |
π |
|
||||||||||||||||||||
11.1. а) |
; |
|
|
|
= |
|
= |
|
4 |
. |
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− 2 |
|
||||||||||||||||
б) 5x +12y + 3z − 32 = 0; |
|
x −1 |
= |
y − 2 |
= |
|
z −1 |
. |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
12 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
в) 17x +11y + 5z = 60; |
|
x − 3 |
|
|
= |
y − 4 |
= |
z + 7 |
. |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
17 |
|
|
|
11 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
г) x +11y + 5z −18 = 0; |
|
|
|
x −1 |
= |
|
y − 2 |
|
|
= |
|
z +1 |
. |
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
11 |
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
11.2. 13 |
|
|
|
11.3. |
13,6 +12,3 |
|
|
|
|
11.4. |
1 . |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
3. |
|
3. |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
11.6. а) |
1 (2i + j ). |
|
б) |
|
− |
1 (i + j ). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
11.7. Отрицательная полуось y. |
|
11.8. π. |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
11.9. а) |
z − 2x − 3 = 0; |
2z + x − 9 = 0 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
y = 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
б) z − 2x − 2y + 2e = 0; |
|
|
x − e |
|
= |
|
y − e |
|
= |
z − 2e |
. |
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−1 |
|
|
|
|
|
|||||||||
в) x + 2y + 3z − 6 = 0; |
x −1 |
= |
y −1 |
= |
z −1 |
. |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
11.10. cosα ≈ 0,99;α ≈8°.
11.11. точки на окружности x2 + y2 = 2 / 3 . 11.12. 
2 / 3 .
116
Занятие 12
Экстремум функции нескольких переменных. Наибольшее и наименьшее значения функции нескольких переменных в замкнутой области. Условный экстремум
Аудиторная работа
12.1. Исследовать на экстремум следующие функции:
а) z = x3 + 3xy2 −15x −12y . б) z = x2 + xy + y2 − 2x − y . в) z = x3 + y2 −3x + 2y .
г) z = x
y − x2 − y + 6x + 3 .
12.2. Найти наибольшее и наименьшее значения функции z = f (x, y) в замкнутой области, ограниченной линиями:
а) z = x2 −2y2 + 4xy −6x +5; x = 0; y = 0; x + y = 3.
б) z = x2 + 2xy − 4x +8y; x = 0; y = 0; x =1; y = 2 .
в) z = e−x2−y2 (2x2 +3y2 ); x2 + y2 = 4 . г) z = x2 − y2 ; x2 + y2 = 4 .
12.3. Исследовать функции на экстремум при заданном условии:
а) |
z = x + 2y |
при условии x2 + y2 = 5 . |
|||||||||||
б) |
z = |
1 |
+ |
1 |
|
при условии |
1 |
+ |
1 |
= |
1 |
. |
|
|
|
x |
|
y |
|
|
x2 |
y2 |
a2 |
||||
в) |
z = |
1 |
+ |
1 |
|
при условии x + y = 2 . |
|
|
|||||
x |
y |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
г) |
z = |
x − y |
− 4 |
при условии x2 + y2 =1. |
|||||||||
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
117
Домашнее задание
12.4. Исследовать на экстремум
а) z = 2x3 − xy2 + 5x2 + y2 ; б) z = x2 + xy + y2 −3x − 6y .
12.5. Найти наибольшее и наименьшее значения функции в области:
а) |
z = x2 y(4 − x − y), x = 0, y = 0, x + y = 6; |
б) |
z = x2 + 2xy − 4x +8y, x = 0, y = 0, x =1, y = 2. |
12.6. Исследовать функцию на условный экстремум
а) |
z = x2 + y2 − xy + x + y − 4 при x + y +3 = 0 . |
||
б) |
z = xy2 при x + 2y =1. |
|
|
Ответы |
|
||
12.1. а) |
zmin = z(0; 0) = 0 ; б) |
zmin = z(0; 3) = −9 . |
|
12.5. а) |
zнаим = z(4; 2) = −64 , |
zнаиб = z(2; 1) = 4 ; |
|
|
б) |
zнаим = z(1; 0) = −3 , |
zнаиб = z(1; 2) =17 . |
12.6.а) zmin = z(−3 / 2; −3 / 2) = −19 / 4 ;
б) zmin = z(1; 0) = 0 , zmax = z(1/ 3; 1/ 3) =1/ 27 .
Занятие 13
Интегрирование дифференциальных уравнений первого порядка с разделяющимися переменными и однородных дифференциальных уравнений первого порядка
Аудиторная работа
13.1. Решить уравнения:
а) (1− x)dy − ydx = 0 . б) xyy′ =1− x2 .
118
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
г) y′ = ex + y . |
||||||||
в) 1− y2 dx + y 1− x2 dy = 0 . |
||||||||||||||||||
д) |
xdy − ydx = 0, y(1) =1. |
е) |
y′ = y cos x, y(0) =1. |
|||||||||||||||
ж) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
з) |
y′ = (x2 − x)(1+ y2 ) . |
||||
y′sin x = y ln y, y |
= e . |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
||
и) y′ = |
y2 |
|
|
к) |
y′ = |
2xy |
||||||||||||
|
|
− 2 . |
|
|
|
. |
||||||||||||
x2 |
|
|
x2 − y2 |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
л) |
( y + |
|
x2 + y2 )dx − xdy = 0, y(1) = 0 . |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
′ |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
м) |
xy |
= x + 2 y, y(1) = |
0 . |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||
н) (y − x)dx − (y + x)dy = 0 . |
|
|
|
|
||||||||||||||
о) |
xy′ = y(ln y − ln x) . |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
y′ = |
|
y2 − 2xy − x2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
п) |
|
|
, y(1) = −1. |
|
|
|
|
|||||||||||
|
y2 + 2xy − x2 |
|
|
|
|
|||||||||||||
Домашнее задание
13.2. Решить уравнения:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а) y′ 1− x2 =1+ y2 . |
|
б) ye2xdx − (1+ e2x )dy = 0 . |
|||||||||||||||||
в) |
y′ = cos(x + y) . |
|
г) (xy2 + x)dy + (x2 y − y)dx = 0, y(1) =1. |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
y |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
д) |
y′tg x = y, y |
|
= |
1. |
е) y′ = |
|
+ |
|
. |
|
|
|
|
|
|||||
x |
y |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
− |
y |
|
|
ж) |
( xy − x)dy + ydx |
= 0, |
y(1) =1. |
з) |
y′ = |
+ e |
x , y(1) = 0 . |
||||||||||||
x |
|
||||||||||||||||||
119