Ответы |
|
|
|
|
|
|
||
12.1. а) 3; б) − 1 ; |
в) –1; г) 1 ; д) 3; е) − |
|
1 |
. 12.2. а) x =1 – точка |
||||
10 |
||||||||
|
6 |
2 |
|
|
f (2)=1 ; |
|||
разрыва 2-го рода; б) |
x = 2 – точка устранимого разрыва, |
|||||||
в) x = ±2 |
– точки разрыва 2-го рода; г) x =1 – точка устранимого |
|||||||
разрыва; |
д) x = 3 – |
точка разрыва 1-го |
рода; |
е) x = −1 |
– точка |
|||
разрыва 1-го рода; ж) Функция непрерывна при |
x R ; з) |
x = 0 – |
||||||
точка разрыва 1-го рода. 12.3. а) 7/2; б) 7/3; в) –2; г) 4. 12.4. а) x = 0
– точка устранимого разрыва, f (0) = 12 ; x = −2 – точка разрыва 2-го
рода; б) x = 0 – точка разрыва 1-го рода; в) x = 4 – точка разрыва 1-го рода; г) x = 0 – точка устранимого разрыва, f (0) = 2 .
Занятие 13
Дифференцирование функций. Логарифмическая производная
Аудиторная работа
13.1. Исходя из определения, найти производные функций:
а) |
y(x) = 7x2 . |
б) y(x) = |
|
. |
в) y(x) = 5(tg x − x) . |
|
|
|||||||||||
x |
|
|
||||||||||||||||
13.2. Найти производные функций: |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
y = 5x4 −37 |
|
|
+7 / x5 + 4 . |
|
|
|
|
|
|
||||||||
а) |
x3 |
б) |
y = x3 sin x . |
|
|
|||||||||||||
в) y = (x4 +1) /(x4 −1) . |
г) y = (x5 + 3x −1)4 . |
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y = ln(2x3 + 3x2 ) . |
|
|
|||||||
д) |
y = 3 ((x3 +1) /(x3 −1))2 . |
е) |
|
|
||||||||||||||
ж) |
y = sin x −cos x . |
|
|
|
|
|
з) |
y = (x2 − 2x + 2)е−х2 . |
||||||||||
|
sin x +cos x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
x |
|
|
|
|
y = −ctg2 |
x |
− 2 ln sin |
x |
. |
|||||||
и) |
y = хarccos |
− |
4 − x2 . |
к) |
||||||||||||||
|
|
|
2 |
|||||||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
||||||
39
л) y = arctg1− 
1− x2 . x
н) y = cos |
2 |
|
x |
|
x |
||
|
sin |
|
|
+sin cos |
|
. |
|
|
3 |
3 |
|||||
|
|
|
|
|
|
||
п) y = lnarctg 
1+ x2 .
с) y = cos3 2x +lntg 2x .
13.3. Используя предварительное производные функций:
м) y = 2x2−1 − 1x .
x
о) y = 2ln x .
р) y = ln x lg x −ln a loga x .
т) y = ln(x + 
a2 + x2 ) .
логарифмирование, найти
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а) y = (x +1)2 (x −1)35 (x + 2)4 3 (5x +3)2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
б) |
y |
= |
(x −3)2 (2x −1) |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
(x +1)3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
(x + 2)(x −1) |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
в) |
y |
= |
3 |
|
. |
|
|
г) |
y = x |
3 |
|
x −1 |
|
. |
||||||
x5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
(x + 2) |
|
x −2 |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
д) |
y = xsin x . |
|
|
|
|
|
|
е) |
y = xx2 . |
|
|
|
|
|
|
|||||
ж) |
y = (sin x)arcsin x . |
|
|
|
|
|
|
з) |
y = (ln x)1/ x . |
|
|
|
|
|
|
|||||
и) |
y = (tg3x)x4 . |
|
|
|
|
|
|
к) |
y = (1+ x3)arctg7x . |
|
|
|
||||||||
13.4. Составить уравнения касательной |
и нормали |
к |
параболе |
|||||||||||||||||
f (x) = x2 + 4 в точке М(1;5). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Домашнее задание
13.5. Найти производные функций:
а) y = ex |
1−e2x |
−arcsin ex . |
б) y = x3 ln2 (sin2 x − tg2 x) . |
40
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
в) |
y = |
|
cos2 x +1 . |
|
|
|
|
г) |
y = (sin3 x +ex2 )3 +lg2(x4 −sin2 x) . |
||||
|
|
|
sin 2x +1 |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
д) |
y = |
|
|
|
3x2 − arctg |
|
1+ e-x3 . |
е) |
y = (x3 +1)tg 2x . |
||||
|
x |
||||||||||||
|
|
(x +1)3 4 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
ж) |
y = |
x − 2 |
|
. |
|
з) |
y = (arccos x)2 ln(arccos x) . |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
5 (x −3)2 x4 / 3 |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
13.6. Составить уравнения касательной и нормали к графику функции y = e1−x2 в точке x0 = −1.
Ответы
13.4. y = 2x +3; x + 2y −11 = 0. 13.6. 2x − y +3 = 0, x + 2y −1 = 0.
Занятие 14
Дифференцирование функций, заданных параметрически и неявно. Дифференциал функции
Аудиторная работа
14.1. Найти производные функций, заданных параметрически:
а) x = t2 + 2, y = 1 t3 |
−1. |
|
б) |
|||||
|
3 |
|
|
|
|
|
||
в) |
x = a(ϕ−sin ϕ), y = a(1− cos ϕ) . |
г) |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
д) |
x = arccos |
|
, y = |
|
t −t2 . |
|
е) |
|
t |
|
|||||||
ж) |
x = a cos3 t, y = a sin3 t . |
|
з) |
|||||
14.2. Найти y′x в указанных точках: |
|
|||||||
а) |
x = et cost, y = et |
sin t; t = |
π . |
б) |
||||
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
x=
x=
x=
x=
x=
1 |
|
t |
|
2 |
||
|
|
, y = |
|
|
. |
|
t +1 |
|
|||||
t +1 |
|
|
||||
lnt, y = t2 −1. |
|
|
||||
arctg t, y = ln(1+ t2 ) . tg t, y = sin 2t + 2 cos 2t .
3at |
, y = |
|
3at2 |
; t = 2 . |
|||
1 |
+t2 |
1 |
+t2 |
||||
|
|
||||||
41
14.3. Найти производные функций, заданных неявно:
а) ex + 2x2 y2 −ey = 0 .
в) x − y = arcsin x −arcsin y .
д) arctg y = y − x2 .
ж) x2 / 3 + y2 / 3 = a2 / 3 .
б) 2y ln y = x .
г) 2x + 2y = 2x+y .
е) sin(xy) +cos(xy) = 0 .
з) ex sin y −ey cos x = 0 .
14.4.Найти y′x в точке x =1 , если x3 − 2x2 y2 +5x + y −5 = 0, y(1) =1.
14.5.Найти y′x в точке (0,1) , если ey + xy = e .
14.6.Найти дифференциалы функций:
а) y = x tg3 x .
в) y = ln(x + 
4 + x2 ) .
б) y = 
arctg x + (arcsin x)2 .
г) y5 + y − x2 =1.
14.7. Найти приближенное значение функции y(x) = ex2 −x при
x=1, 2 .
14.8.Вычислить приближенно:
|
а) arcsin 0,05. |
|
б) |
ln1,2 . |
|
|||||||||||||||
|
в) |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
г) |
|
|
|
′ |
|
|
17 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
tg 44 |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
56 . |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Домашнее задание |
|
||||
|
14.9. Найти y′x : |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
а) |
x = |
t +1 |
|
, y = |
t −1 |
. |
|
б) |
x = et sin t, y = et cost . |
||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
||
|
14.10. Убедиться в том, что функция, заданная параметрически |
|||||||||||||||||||
уравнениями |
x = |
1+ ln t |
, y = |
3 + 2 ln t |
, удовлетворяет соотношению |
|||||||||||||||
|
t |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t2 |
|
|
|
|
|
||
yy |
′ |
= |
|
|
|
|
′ |
2 |
+1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
2x(y ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
42