§8. Неявные функции
1. Неявные функции одной переменной
Пусть дано уравнение F(x;y)=0, (1),
где
F(x;y)
определена на
.
Пусть, например, G=[a,b;c,d]
- прямоугольник. Пусть х[a;b]
существует единственное значение y,
которое совместно с x
удовлетворяет уравнению (1). В этом случае
на [a;b]
определена однозначная функция y=f(x),
для которой равенство F(x;f(x))=0
верно х[a;b].
Определение. Функция y=f(x), определяемая уравнением (1), называется неявной функцией.
Е
сли
уравнение (1) разрешить относительно y,
то получим явную функцию y=f(x)
(функция справа известна), что далеко
не всегда можно сделать. Т.о., термины
«явная», «неявная» относятся к способу
задания функции.
Примеры.
1)
x-6y+12=0,
где
,
F(x;y)=x-6y+12.
Разрешим уравнение относительно х:
- однозначная функция от х.
2)
F
(x;y)=
.
Данное уравнение
представляет двузначную функцию
.
Если
уравнение рассматривать на
,
то оно определяет однозначную функцию
.
3)
не определяет функции y=f(x).
Из примеров видно, что уравнение F(x;y)=0 не всегда определяет функцию y=f(x) (кроме того, далеко не всегда уравнение (1) можно разрешить относительно y). Поэтому необходимо знать условия существования неявной функции.
Теорема 1. (достаточные условия существования и дифференцируемости неявной функции). Пусть дано уравнение F(x;y)=0 (1), и выполнены условия:
1)
функция F(x;y)
и ее частные производные
определены и непрерывны в некотором
прямоугольнике [x0-a,
x0+a;
y0-b,
y0+b];
2)
;
3)
.
Тогда справедливы следующие утверждения:
а) в некотором прямоугольнике (x0-, x0+; y0-, y0+) уравнение (1) определяет неявную функцию y=f(x);
б) f(x0)=y0;
в) функция y=f(x) непрерывна в промежутке [x0-; x0+];
г)
функция y=f(x)
в промежутке [x0-;
x0+]
имеет непрерывную производную, причем
.
Доказательство.
а) (существование неявной функции y=f(x))
Согласно
условию (3)
.
Предположим для определенности, что
.
Т. к. согласно условию (1)
непрерывна, то в некоторой окрестности
точки М0(x0;y0)
выполнено неравенство
>0. (2)
Пусть этой окрестностью является квадрат со сторонами 2 и центром в точке (x0;y0):[x0-, x0+; y0-, y0+].
Будем
передвигаться по вертикали А0В0,
проходящей через точку М0,
т. е. фиксируем х=х0.
Тогда рассматриваемая функция F(x;y)
является функцией одной переменной у:
F(x0;y),
у[y0-,
y0+].
В силу условия (2) эта функция возрастает.
Т. к. при у=у0
(по условию 2) теоремы), то на концах
отрезка [y0-,
y0+]
она принимает значения разных знаков.
Учитывая возрастание функции, получим:
y0-<y0 F(x0;y0-)<F(x0;y0)=0,
y0+>y0 F(x0;y0+)>F(x0;y0)=0.
И
так, F(x0;y0-)<0, (3)
F(x0;y0+)>0. (4)
Теперь
будем двигаться по горизонтали, проходящей
через точку А0,
т. е. фиксируем у=y0-.
Получим функцию одной переменной х:
F(x;y0-).
Согласно (3) при х=х0
эта функция принимает отрицательное
значение. Т. к. по условию 1) теоремы
функция F(x;y)
непрерывна по совокупности переменных,
то она непрерывна и по переменной х.
Следовательно, в некоторой достаточно
малой окрестности точки х0
выполнено F(x;y0-)<0.
Аналогично,
будем передвигаться по горизонтали,
проходящей через точку В0,
т. е. фиксируем у=y0+.
Т.к. F(x0;y0+)>0
(по (4)), и функция F(x;y0+)
непрерывна, то
,
такое, что в окрестности
выполнено F(x;y0+)>0.
Положим
.
Тогда для х:
x0-<x<x0+
имеем
F(x;y0-)<0, F(x;y0+)>0. (5)
Т. о., мы установили, что функция F(x;y) принимает отрицательные значения на горизонтали А1А2 и положительные – на горизонтали В1В2.
Зафиксируем
теперь произвольное
,
и будем изменять у
от у0-
до у0+,
т. е. будем двигаться по АВ.
При этом получаем функцию одной переменной
у:
,
которая непрерывна. Т. к. на концах
отрезка [у0-;
у0+]
она принимает значения разных знаков,
то существует значение
.
Т. к. согласно (2) функция
монотонно возрастает, то такое значение
существует только одно. Т.о., доказано,
что
существует единственное значение
,
которое вместе с х
удовлетворяет уравнению (1). Следовательно,
в прямоугольнике (x0-,
x0+;
y0-,
y0+)
уравнение (1) определяет у
как неявную функцию от х.
Обозначим ее y=f(x).
б)
По условию 2)
.
Т. е. у0
– это то значение у,
при котором
.
Согласно доказанному в п. а) оно единственно
и, следовательно, является значением
неявной функции y=f(x)
в точке х0:
у0=f(x0).
в) (непрерывность неявной функции y=f(x))
Докажем
непрерывность функции y=f(x)
в точке х0.
Зафиксируем
.
Тогда, рассуждая, как и в пункте а), для
этого
найдем
соответствующее ему единственное
значение y=f(x),
которое вместе с этим х
удовлетворяет условию (1), окажется между
и
.
То есть
выполнено
.
По определению это означает, что функция
y=f(x)
непрерывна в точке х0.
Пусть
теперь
- произвольная точка из [x0-;
x0+].
Точка
,
где
,
удовлетворяет тем же условиям, что и
точка М0(x0;y0),
т. к.
.
Поэтому, как и выше, в некоторой окрестности
точки
уравнение (1) определяет у
как однозначную функцию от х,
непрерывную в точке
.
Но именно ввиду однозначности эта
функция совпадает с f(x).
Следовательно, функция y=f(x)
непрерывна в точке
.
Т. к.
выбиралась произвольно из [x0-;
x0+],
то функция y=f(x)
непрерывна на [x0-;
x0+].
г) (существование непрерывной производной функции y=f(x))
Придадим значению х приращение х, неявная функция получит приращение у. Т.к. F(x;y)=0 и F(x+х;y+у)=0, то и
F=F(x+х;y+у)-F(x;y)=0. (6)
Преобразуем F:
,
где
. (7)
Здесь применили формулу Лагранжа к функции F(x;y+у) на отрезке [x;x+х] и к функции F(x;y) на отрезке [у; у+у]. Из (6), (7) следует
.
Отсюда 
. (8)
Пусть
х0.
Т. к. y=f(x)
непрерывная функция, то у0.
Т. к.
,
,
,
и
,
- непрерывные функции, то
,
.
Следовательно,
правой части равенства (8), равный
.
Значит,
.
Переходя в (8) к пределу, получим
. (9)
Мы
доказали существование производной
неявной функции и способ ее вычисления.
Докажем непрерывность. Она следует из
(9). По доказанному у=f(x)
– непрерывная функция, по условию
- непрерывные функции от х
и у.
Следовательно, сложные функции от х
и
непрерывны. В силу условия 3) знаменатель
в (9) не равен нулю. Из всего сказанного
следует, что
- непрерывная функция.
Замечание 1. Формулу (9) можно получить следующим образом. Продифференцируем равенство F(x;f(x))0 по x (F – сложная функция от x):
,
(9)
Замечание
2. В уравнении
(1) F(x;y)=0
переменные x
и y
равноправны. Следовательно, можно
ставить вопрос о существовании функции
.
В этом случае в теореме (1) надо изменить
условие 3) – требовать, чтобы
.
Но если одновременно
,
то нельзя утверждать, что уравнение (1)
определяет какую-либо неявную функцию.
Пример
1. Вычислить
производные первого и второго порядка
функции, заданной неявно уравнением
(x>0).
.
1
способ
вычисления
- по формуле (9).
.
2
способ
вычисления
.
Продифференцируем данное уравнение,
учитывая, что оно определяет функцию
у=у(х).
(*) 
, 
.
Найдем
,
учитывая, что у=у(х),
а х
– независимая переменная:
.
Далее
надо преобразовать и подставить
.
Второй
способ вычисления
- продифференцировать равенство (*).