§ 11. Условный экстремум

Рассмотрим функцию

u=f(M)=f(x₁,x₂,…,x_n) (1)

при условии, что ее аргументы являются не независимыми переменными, а связаны между собой k соотношениями (k<n):

. (2)

Эти соотношения называются условиями связи. Пусть координаты точки удовлетворяют уравнениям (2).

Определение. Функция (1) имеет в точке M₀ условный минимум (максимум) при условиях связи (2), если существует такая окрестность точки M₀, что для любой точки M (MM₀) этой окрестности, координаты которой удовлетворяют уравнениям (2), выполняется неравенство f(M)<f(M₀) (f(M)>f(M₀)).

Иными словами, условный максимум (минимум)- это наибольшее (наименьшее) значение функции в точке M₀ по отношению не ко всем точкам из некоторой окрестности точки M₀, а только к тем из них, которые связаны между собой условиями связи.

Задачу об условном экстремуме функции можно решать методом исключения части переменных. Этот метод состоит в том, что из k уравнений условий связи k переменных выражают через остальные n-k переменных (если это возможно), подставляют найденные переменные в функцию u=f(M)=f(x₁,x₂,…,x_n) и решают задачу об экстремуме функции n-k переменных.

Пример 1. Методом исключения части переменных найти экстремум функции u=x+y+z² при условиях связи

 Данная система определяет некоторую кривую в пространстве, как линию пересечения двух поверхностей. Значит, геометрически требование задачи означает нахождение экстремума функции u=x+y+z² на этой кривой.

Из условий связи находим z=x+1, y=xz+1=x²+x+1. Подставляя найденные z, y в функцию, приходим к функции одной переменной x: u(x)=2x²+4x+2, для которой рассмотрим задачу о безусловном экстремуме. Т.к u =4(x+1)=0 при x=-1, то функция u(x) имеет единственную точку возможного экстремума. Поскольку u(-1)=4>0 в точке x=-1 функция u(x) имеет минимум. Из условий связи находим соответствующие значения z, y: z=0, y=1. Итак, функция u(x) при заданных условиях связи имеет в точке (-1,1,0) минимум, причем u(-1,1,1)=0. 

Однако этот прием отыскания относительного экстремума не всегда возможен, так как иногда получается очень громоздкое выражение для сложной функции. Кроме того, из уравнений связи не всегда удается выразить одни переменные через другие. В таких случаях можно находить условный экстремум методом множителей Лагранжа. Для простоты изложим его суть для функции трех независимых переменных при одном условии связи.

Пусть даны функция u=f(x,y,z) и уравнение связи (x,y,z)=0, и пусть известно, что в некоторой точке М₀(x₀,y₀,z₀) функция u=f(x,y,z) имеет экстремум. Допустим, что функции f(x,y,z) и (x,y,z) определены и непрерывны вместе со своими частными производными в некоторой окрестности точки М₀(x₀,y₀,z₀), z₀=(x₀,y₀) и _z(M₀)0. Тогда уравнение (x,y,z)=0 в некоторой окрестности точки M₀ определяет неявную функцию z=z(x,y). Будем в функции u=f(x,y,z) подразумевать z именно как эту неявную функцию. Тогда, как было сказано выше, сложная функция u=f(x,y,z(x,y)) имеет обычный экстремум в точке (x₀,y₀). По следствию из теоремы 1 § 10 полный дифференциал этой сложной функции в точке (x₀,y₀) равен нулю. В силу инвариантности формы полного дифференциала его можно записать в следующем виде:

(3)

(здесь dx и dy – произвольные приращения независимых переменных, а dz – дифференциал неявной функции z=z(x,y)).

Если в уравнении связи под z подразумевать неявную функцию z=z(x,y), которая этим уравнением определяется, то уравнение связи обратится в тождество относительно х и у: (x,y,z(x,y))0. Полный дифференциал левой части тоже равен нулю при всех х и у, в частности при х=х₀, у=у₀. Опять в силу инвариантности формы полного дифференциала запишем его в виде:

(4)

(dx и dy – произвольные приращения независимых переменных, а dz – дифференциал неявной функции). Умножим равенство (4) на некоторый числовой множитель  и сложим почленно с равенством (3):

. (5)

Выберем число  так, чтобы множитель при dz обращался в нуль (это всегда можно сделать, так как _z(M₀)0):

. (6)

Тогда равенство (5) примет вид:

. (7)

В силу того, что множители dx и dy являются произвольными числами, равенство (7) возможно только, если

Если еще добавить равенство (по условию координаты точки M₀ удовлетворяют условию связи), то из системы четырех уравнений

(8)

можно определить четыре неизвестные величины: x₀, y₀, z₀ и  (нахождение  нужно только как вспомогательное вычисление). Таким образом получаем точку М₀(x₀,y₀,z₀), в которой функция u=f(x,y,z) имеет условный экстремум.

Система (8) дает необходимое условие для отыскания условного экстремума.

Чтобы легче запомнить, как составить нужную систему уравнений, модно дать следующее правило:

надо составить функцию L(x,y,z)=f(x,y,z)+(x,y,z) (она называется функцией Лагранжа), приравнять к нулю ее частные производные по х, по у и по z и присоединить уравнение связи. Из полученной системы

найти х, у, z. Они и дадут координаты точек возможного условного экстремума функции u=f(x,y,z) при условии связи (x,y,z)=0.

Достаточные условия условного экстремума связаны с изучением знака второго дифференциала функции Лагранжа.

Теорема (достаточное условие существования условного экстремума).

Пусть выполнены условия:

1. функции f(x,y,z) и (x,y,z) имеют непрерывные частные производные второго порядка в некоторой окрестности точки М₀(x₀,y₀,z₀),

2. в точке М₀(x₀,y₀,z₀) выполнено необходимое условие существования условного экстремума,

3. при .

Тогда

1) если является положительно определенной квадратичной формой, то точка М₀ является точкой условного минимума функции f(x,y,z).

2) если является отрицательно определенной квадратичной формой, то точка М₀ является точкой условного максимума функции f(x,y,z).

3) если является знакопеременной квадратичной формой, то в точке М₀ экстремума нет.

Пример 2. Методом Лагранжа найти экстремум функции u=x+y+z² при условиях связи

 Составим функцию Лагранжа

и рассмотрим систему уравнений

 

Следовательно, М₀(-1,1,0)- единственная точка возможного экстремума функции при заданных условиях связи.

Найдем частные производные второго порядка второй дифференциал функции Лагранжа:

,

.

Подставляя ₂=-1 и dz=dx, найденное из первого уравнения связи, получаем:

. Следовательно, является положительно определенной квадратичной формой от переменной dx0. Отсюда по достаточному условию следует, что функция при заданных условиях связи имеет условный минимум в точке М₀(-1,1,0).

53