2. Уравнения касательной и нормали к кривой
Пусть
дано уравнение (1) F(x;y)=0,
и для функции F(x;y)
в окрестности точки (х0;y0)
выполнены условия теоремы 1. Тогда в
окрестности точки х0
V(х0)
уравнение (1) задает функцию у=f(х),
определенную, непрерывную и дифференцируемую
в некоторой окрестности точки х0
и f(х0)=y0.
Графиком этой функции является некоторая
кривая. Так как существует
,
то существует касательная и нормаль к
кривой (1).
Для функции y=f(x) уравнение касательной точке х0 имеет вид:
, (10)
нормали:
. (11)
Из
теоремы 1 следует 
. (12)
Подставляя
(12) в (10), (11), получим
– уравнение
касательной;
или
–
уравнение
нормали.
3. Неявные функции нескольких переменных
Пусть
дано уравнение
. (13)
-
функция (n+1)-й
переменной. Если в каждой точке
существует единственное значение y,
которое совместно с x
удовлетворяет уравнению (13), то уравнение
(13) на множестве G
определяет функцию n
переменных
,
(14)
и
имеет место тождество
на G.
Теорема
2 (достаточное
условие существования и дифференцируемости
неявной функции n
переменных). Пусть функция F
и ее частные производные
непрерывны в некоторой окрестности
точки
,
и пусть
,
а
.
Тогда уравнение (13) определяет функцию
определенную, непрерывную и дифференцируемую
в некоторой окрестности точки
,
причем
,
а частные производные
находятся по формулам:
.
Рассмотрим
частный случай. Пусть на
дано уравнение
F(x;y;z)=0. (15)
Пусть
это уравнение определяет неявную функцию
z=f(x;y),
дифференцируемую на
,
т.е. справедливо тождество (16)
F(x;y;f(x;y))
0.
Правая часть (16) – сложная функция от х
и у.
В силу условий теоремы (2) (существуют
непрерывные
)
эта функция дифференцируема на D.
Дифференцируя (16) по x,
получим:
.
Отсюда 
. (17)
Дифференцируя (16) по y, получим:
.
Отсюда 
. (18)
Пример
2. Пусть
уравнение
определяет функцию z=f(x;y).
Найти
.
По формулам (17), (18):
,
,
.
Подставляя
сюда выражение для
и
заменяя z
на f(x;y),
найдем
.
Тогда
.
4. Уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности
Пусть уравнение (15) F(x;y;z)=0 определяет поверхность. Тогда (15) называется уравнением поверхности.
Пусть в окрестности (x0;y0;z0) выполняется условия теоремы 2. Тогда в окрестности точки (x0;y0) определена функция z=f(x;y), дифференцируемая в этой окрестности. Тогда поверхность z=f(x;y) имеет касательную плоскость и нормаль в точке (x0;y0).
– уравнение
касательной плоскости,
– уравнение
нормали.
Так
как
,
то
–
уравнение касательной плоскости,
– уравнение
нормали.
Неявные функции могут определяться системой функциональных уравнений.
§ 9. Экстремум функции двух переменных
1. Понятие экстремума, необходимое и достаточное условия
Пусть функция z=f(x;y) задана в некоторой окрестности точки M0(x0;y0) V(M0).
Определение
1.
Функция
z=f(x;y)
имеет в точке M0(x0;y0)
строгий
максимум
(строгий
минимум),
если
,
такая, что
выполнено неравенство f(x;y)<f(х0;y0)
(f(x;y)>f(х0;y0)).
Определение
2.
Функция
z=f(x;y)
имеет в точке M0(x0;y0)
максимум
(минимум),
если
,
такая, что
выполнено неравенство f(x;y)f(х0;y0)
(f(x;y)f(х0;y0)).
Определение 3. Функция z=f(x;y) имеет в точке M0(x0;y0) (строгий) экстремум, если она имеет в этой точке (строгий) максимум или (строгий) минимум.
Точку М0 называют точкой (строгого) экстремума, а значение функции в ней, т.е. f(M0) – (строгим) экстремумом.
Теорема
1
(необходимое условие экстремума). Пусть
функция z=f(x;y)
достигает экстремума в точке
M0(x0;y0).
Если в этой точке существуют частные
производные
и
,
то они в этой точке равны нулю, то есть
=0
и
=0.
Доказательство.
Пусть
z=f(x;y)
имеет в точке M0(x0;y0)
максимум. Тогда
,
такая, что
выполнено
f(x;y)f(х0;y0). (1)
Рассмотрим
точки окрестности V(M0),
для которых y=y0.
На этом множестве точек, т.е. на
,
функция f(x;y)
превращается в функцию f(x;y0)
одной
переменной х.
Из (1) следует, что f(x;y0)f(х0;y0)
.
Это означает, что функция одной
переменной f(x;y0)
имеет в точке х0
максимум. По условию
.
Она совпадает с
в точке х0,
т.е
=
.
На основании необходимого условия
экстремума функции одной переменной
=0.
Следовательно,
=0.
Аналогично,
рассмотрим точки окрестности V(M0),
для которых х=х0.
На этом множестве точек, функция f(x;y)
становится функцией f(x0;y)
одной
переменной у.
Из (1) следует, что f(x0;y)f(х0;y0)
.
Значит, функция одной
переменной f(x0;y)
имеет в точке у0
максимум. По необходимому условию
экстремума функции одной переменной
=0.
Следовательно,
=0.
Замечание.
Если функция z=f(x;y)
дифференцируема в точке (х0;y0),
то условие
равносильно условию
df(х0;y0)=0.
Следствие. Если функция z=f(x;y) имеет экстремум в точке (х0;y0) и дифференцируема этой точке, то df(х0;y0)=0.
Определение 3. Точки, в которых частные производные равны нулю, называются стационарными точками функции z=f(x;y).
Определение 4. Точки, в которых частные производные равны нулю (или не существуют) называются критическими точками функции z=f(x;y).
Из теоремы 1 и определения 3 следует, что если функция дифференцируема, то точки экстремума являются стационарными точками. Обратное неверно. Не всякая стационарная точка является точкой экстремума.
Пример. Рассмотрим функцию z=f(x;y)=x2-y2, f(0;0)=0.
,
(0;0) – стационарная точка.
Рассмотрим
.
На оси Ох
f(x;0)=x2>0,
на оси Оу
f(0;y)=-y2<0.
Следовательно, в любой окрестности
есть значения функции, как большие
f(0;0)=0,
так и меньшие f(0;0)=0.
Значит, точка (0;0) не может быть точкой
экстремума.
Теорема 2 (достаточное условие экстремума).
Пусть
функция z=f(x;y)
определена и имеет непрерывные частные
производные до второго порядка
включительно в некоторой окрестности
точки М0(x0;y0)
V(x0;y0).
Пусть М0(x0;y0)
- стационарная точка, то есть
и
.
Обозначим
.
Тогда
1) если то z=f(x;y) имеет в точке М0(x0;y0) экстремум, причем при A<0 (C<0)- локальный максимум, при - локальный минимум;
2) если , то точка М0(x0;y0) не является точкой экстремума;
3) если , то никакого заключения о характере стационарной точки сделать нельзя, требуются дополнительные исследования.
Доказательство.
Т.к.
по условию функция имеет непрерывные
частные производные второго порядка,
то можем записать для нее формулу Тейлора
с остаточным членом в форме Лагранжа,
ограничиваясь двумя членами:
(0<<1).
Т.к. М0(x0;y0) - стационарная точка, то df(x0;y0)=0, следовательно,
,
где х=х-х0, у=y-y0.
Положим
,
где
,
,
где
,
,
где
.
Т
.к.
частные производные второго порядка
непрерывны, то
.
Полное приращение функции запишется в
виде:
.
Положим
,
где
.
Тогда
.(2)
1)
Пусть
.
В этом случае АС>0, следовательно, А0, и первый трехчлен в скобках в формуле (2) можно записать следующим образом:
. (3)
Очевидно,
что при
выражение в квадратных скобках
положительно. Следовательно, первый
трехчлен формулы (2) сохраняет знак
коэффициента А.
Модуль этого трехчлена – непрерывная
на [0;2]
функция от
и, значит, достигает на [0;2]
своего наименьшего значения m:
.
Теперь рассмотрим второй трехчлен в (2). Если выбрать достаточно малым (а, значит, и х, у малы), то, поскольку ,,0 при х,у0, будем иметь
.
Но тогда все выражение в скобках в (2) будет сохранять тот же знак, что и первый трехчлен, то есть знак коэффициента А.
Итак, если A>0, то и f(x0;y0)>0. Следовательно, f(x;y)>f(x0;y0). Т.е. в точке (x0;y0) функция имеет строгий минимум. А если A<0, то и f(x0;y0)<0. Следовательно, f(x;y)<f(x0;y0). Значит, в точке (x0;y0) функция имеет строгий максимум.
2)
Предположим теперь, что
.
а) Пусть А0. Тогда можно использовать преобразование (3).
Если
=1=0,
то из (3) следует, что выражение в квадратных
скобках равно
.
Если
=2
определить
так, что Acos2+Bsin2=0
(ясно, что при этом sin20,
т. к. иначе будет А=0),
то выражение в квадратных скобках равно
.
Если достаточно мало, то второй трехчлен в скобках в (2) будет сколь угодно мал. Следовательно, знак f определяется знаком первого трехчлена.
Из (3) следует:
при A>0 и =1 он положителен,
=2 он отрицателен,
при A<0 и =1 он отрицателен,
=2 он положителен.
Итак, в любой окрестности точки (х0;y0) f будет иметь значения противоположных знаков на лучах =1 и =2. Следовательно, точка (х0;y0) не может быть точкой экстремума.
б) Пусть А=0. Тогда первый трехчлен в (2) равен
.
Если
А=0,
то из условия
следует, что В0.
Тогда можно взять угол
настолько малым, чтобы выражение
2Bcos+Csin
было близко к 2В
и, значит, сохраняло знак. Тогда при =1
и =-1
первый трехчлен в (2) будет иметь
противоположные знаки. Следовательно,
и в этом случае точка (х0;y0)
не может быть точкой экстремума.
Теорема 2 равносильна следующей теореме.
Теорема 3. Пусть df(х0;y0)=0. Если d2f(х;y) сохраняет знак в некоторой достаточно малой окрестности точки (х0;y0), то в этой точке функция имеет строгий экстремум, причем, если d2f(х0;y0)<0, то строгий максимум, а если d2f(х0;y0)>0, то строгий минимум.
В таком виде достаточное условие экстремума переносится на случай функций любого числа переменных.
Пример. Исследовать функцию f(x;y)=xy(a-x-y), a>0 на экстремум.
.
Найдем стационарные точки.
fx=y(a-x-y)-xy=y(a-2x-y), fy=x(a-x-y)-xy=x(a-x-2y) 
Стационарные
точки: О(0;0),
М(а;0),
N(0;a),
.
Проверим, являются ли они точками экстремума.
, 
, 
.
О(0;0): А=0, В=а, С=0, АС-В2=0-а2<0 экстремума нет;
М(а;0): А=0, В=-а, С=-2а, АС-В2=0-а2<0 экстремума нет;
N(0;a): А=-2a, В=-а, С=0, АС-В2=0-а2<0 экстремума нет;
: 
,
,
,
К
– точка экстремума, т.к. A<0,
то
- точка максимума.