2. Дифференциалы высших порядков

I. Пусть z=f(x;y), где х, у – независимые переменные, определена на области G и имеет на этой области непрерывные частные производные. Тогда она дифференцируема, и ее дифференциал равен

, где dx=Δx, dy=Δy.

Следовательно, dz – функция четырех переменных: х, у, dx, dy. Зафиксируем dx и dy. Тогда dz=φ(x;y). Если функция f на G имеет непрерывные частные производные второго порядка, то функция dz=φ(x;y) на этой области имеет непрерывные частные производные, следовательно, она дифференцируема на G и имеет дифференциал.

Определение. Дифференциалом второго порядка d²z функции z=f(x;y) называется дифференциал от ее дифференциала первого порядка dz:

d²z=d(dz).

.

Т.к. , то

. (6)

Символическая запись второго дифференциала: .

Если функция f на G имеет непрерывные частные производные третьего порядка, то функция d²z=ψ(x;y) на этой области имеет непрерывные частные производные, следовательно, она имеет дифференциал. Дифференциал от этой функции называется дифференциалом третьего порядка функции z=f(x;y) и обозначается d³z. Таким образом,

.

Символическая запись: .

Если функция f на G имеет непрерывные частные производные n-го порядка, то на G существует дифференциал n-го порядка, и он определяется с. о.: dⁿz=d(d^n-1z).

.

II. Дифференциалы высших порядков от сложной функции.

Пусть z=f(x;y) определена на области G, x=φ(u;v), y=ψ(u;v) определены на области H, где u, v – независимые переменные, причем (u;v)H . Тогда определена на H. Если функция z=f(x;y) имеет непрерывные частные производные n-го порядка на G, и функции x и y имеют непрерывные частные производные n-го порядка на H, то сложная функция h имеет непрерывные частные производные n-го порядка на H. Тогда существуют дифференциалы 1, 2,…, n-го порядков от сложной функции h(u;v) на H.

( - функции от u и v),

, ,

dz – функция от u и v.

.

Следовательно, . (7)

Вывод. Сравнивая (6) и (7) видим, что дифференциал второго порядка не имеет инвариантной формы. Дифференциалы высших порядков также не обладают свойством инвариантности формы.

Частный случай.

Пусть z=f(x;y) определена на G, , где u, v – независимые переменные, α₁,…, γ₂ – числа. Тогда

.

,

.

Значит, dx и dy не зависят от u и v, и поэтому d²x=d(dx)=0, d²y=d(dy)=0. Подставляя эти равенства в (7), получим (6).

Т.о., в частном случае, когда x и y – линейные функции, форма второго дифференциала инвариантна. Аналогично, и формы дифференциалов высших порядков в этом случае инвариантны.

3. Формула Тейлора для функции двух переменных

Пусть функция F(t) в некоторой окрестности V(t₀) имеет производные до (n+1)-го порядка включительно. Тогда справедлива формула Тейлора:

. (8)

Обозначим t-t₀=Δt, F(t)-F(t₀)=ΔF(t₀),

F'(t₀)(t-t₀)=F'(t₀)Δt=dF(t₀),

F''(t₀)(t-t₀)²=F''(t₀)(Δt)²=d²F(t₀) и т.д.

Тогда (8) можно записать в виде

, где 0<θ<1. (9)

В виде (9) формула Тейлора распространяется и на случай функций нескольких переменных.

Теорема. Пусть функция z=f(x;y), где х, у – независимые переменные, определена и имеет непрерывные частные производные до (n+1)-го порядка включительно в некоторой окрестности точки М(х₀;y₀) V_δ(х₀;y₀). Тогда Δх, Δу, удовлетворяющих условию , имеет место формула Тейлора:

, где 0<θ<1. (10)

Доказательство.

Зафиксируем Δх, Δу: , где .

Тогда ММ₀V_δ(х₀;y₀). Параметрические уравнения отрезка ММ₀:

(11)

Функция на [0;1] становится сложной функцией от переменной t:

f(x;y)=f(х₀+tΔx;y₀+tΔy)=F(t). (12)

По условию f(x;y) имеет непрерывные частные производные до (n+1)-го порядка включительно на V_δ(х₀;y₀). Функции х и у, как линейные, имеют непрерывные производные любого порядка. Поэтому F(t) имеет непрерывные производные до (n+1)-го порядка включительно на [0;1]. Тогда для F(t) на [0;1] справедлива формула Тейлора (9).Положим в ней t₀=1, t₀+Δt=1, Δt=1:

. (13)

Перейдем здесь к f(x;y), используя (12).

ΔF(0)=F(1)-F(0)=f(х₀+Δx;y₀+Δy)-f(х₀;y₀)=Δf(х₀;y₀).

Форма первого дифференциала инвариантна. Тогда, учитывая (11) при вычислении dx и dy, получим

,

т.к. dt=Δt=1.

Поскольку х=х₀+tΔx, y=y₀+tΔy – линейные функции, то дифференциалы высших порядков от функции F(t)=f(x;y) обладают свойством инвариантности.. Следовательно, для их вычисления мы можем использовать простейшую форму:

.

Аналогично, ,…, ,

.

Подставляя все выражения в (13), получим (10).

Формула Тейлора имеет большое значение при вычислении приращений и значений функции с большой степенью точности.