2. Экстремум неявно заданной функции

Пусть уравнение F(x;y;z)=0 задает неявно функцию z=f(x;y). Пусть функция дважды непрерывно дифференцируема в . Если (х₀;у₀) – стационарная точка, то в ней выполнены равенства:

, ,

, .

Очевидно, верно и обратное утверждение. Следовательно, стационарные точки неявной функции могут быть найдены из системы:

Достаточное условие формулируется так же, как в случае явного задания функции.

3. Нахождение наибольших и наименьших значений

Пусть функция z=f(x;y) определена и дифференцируема на ограниченной замкнутой области G. Тогда она на имеет наибольшее и наименьшее значения. Если наибольшее (наименьшее) значение функция f принимает во внутренней точке области , то эта точка является точкой максимума (минимума). Т.о., подозрительными точками внутри области являются стационарные точки. Но функция f может принимать наибольшее (наименьшее) значения и на границе области G.

План нахождения наибольшего и наименьшего значений функции

1. Найти стационарные точки внутри области и значения функции в них.

2. Найти наибольшее и наименьшее значения на границе области. Для этого границу области следует задать либо одним уравнением, либо параметрически. Тогда на границе исходная функция будет функцией одного переменного.

3. Если в области существуют точки, в которых функция не дифференцируема, то надо вычислить в них значения функции.

4. Из полученных чисел выбрать наибольшее и наименьшее.

Пример. Найти наибольшее и наименьшее значения функции z=f(x;y)=2x²-2y² в круге х²+у²9.

 1) ,  (0;0) – стационарная точка.

z₁=f(0;0)=0.

2) Граница области задана уравнением х²+у²=9. Отсюда у²=9-х². Тогда на границе получаем функцию одной переменной: z=2x²-2(9-х²), z=4х²-18, x[-3;3].

z=8x, z=0 при х=0. Тогда у=3. Значения функции в стационарных точках границы: z₂=f(0;3)=-18, z₃=f(0;-3)=-18.

Значения функции на концах отрезка [-3;3]: z₄=f(3;0)=18, z₅=f(-3;0)=18.

3) z_наиб.=f(3;0)=f(-3;0)=18, z_наим.=f(0;3)=f(0;-3)=-18. 

§ 10. Экстремум функции нескольких переменных

1. Необходимые условия локального экстремума функции n переменных

Рассмотрим случай большего числа переменных. Пусть функция u=f(M)=f(x₁,x₂,…,x_n) определена в некоторой окрестности точки .

Определение. Функция u=f(M) имеет в точке M₀ локальный максимум (минимум), если существует такая окрестность точки M₀, в которой для любой точки MM₀ выполняется неравенство f(M)<f(M₀) (f(M)>f(M₀)).

Если функция имеет в точке M₀ локальный максимум или локальный минимум, то говорят, что она имеет в этой точке локальный экстремум (или просто экстремум).

Теорема 1 (необходимое условие экстремума). Если функция u=f(M)=f(x₁,x₂,…,x_n) имеет в точке локальный экстремум, и в этой точке существует частная производная функции по аргументу x_k, то .

Следствие. Если функция u=f(M)=f(x₁,x₂,…,x_n) имеет в точке локальный экстремум и дифференцируема в этой точке, то при любых значениях дифференциалов независимых переменных dx₁, …, dx_n.

Точки, в которых первый дифференциал функции равен нулю, называют точками возможного экстремума этой функции. Для отыскания точек возможного экстремума функции u=f(x₁,x₂,…,x_n) нужно решить систему n уравнений с n переменными: