§4. Частные производные и дифференцируемость функции нескольких переменных

1. Понятие частных производных

Рассмотрим вначале случай функции двух переменных. Пусть функция z=f(x,y) определена на открытом множестве , (х₀,у₀) – внутренняя точка множества G.

Определение. Если существует конечный предел

,

то он называется частной производной функции z=f(x,y) по переменной х в точке (х₀,у₀) и обозначается , , , .

Если существует конечный предел

,

то он называется частной производной функции z=f(x,y) по переменной у в точке (х₀,у₀) и обозначается , , , .

Итак, =, =.

Из определения следует, что частная производная функции z=f(x,y) по переменной х в точке (х₀,у₀) является обычной производной функции одной переменной f(х,у₀) в точке х₀. Если функция z=f(x,y) имеет частную производную в каждой точке (х,у)G, то говорят, что частная производная существует на G. В этом случае каждой точке (х,у)G соответствует число . Этим на множестве G определяются две функции, которые обозначаются и , и называются частными производными функции f на множестве G. Т.к. частная производная функции f определяется как обычная производная функции одной переменной х (или у), получаемой из f фиксированием другой переменной у (или х), то правила дифференцирования функций одной переменной применимы для нахождения частных производных функций нескольких переменных.

Пример 1. Найти частные производные функции .

 .

,

. 

Аналогично определяются частные производные функции трех и большего числа переменных.

Пусть функция u=f(x₁,x₂,…x_n) определена на открытом множестве , - внутренняя точка множества G.

Определение. Если существует конечный предел

,

то он называется частной производной функции u=f(x₁,x₂,…x_n) по переменной x_j в точке и обозначается , , , .

Геометрический смысл частных производных

Пусть функция z=f(x,y) определена на множестве . Рассмотрим поверхность z=f(x,y), являющуюся графиком этой функции. Пусть точка M₀(x₀,y₀,z₀) принадлежит поверхности. Проведем через точку M₀ плоскость x=x₀, параллельную плоскости yOz. Кривая z=f(x₀,y) является линией пересечения поверхности и плоскости. Частная производная данной функции по переменной у совпадает с производной функции f(x₀,y) в точке у=у₀:

.

Следовательно, равна угловому коэффициенту касательной к кривой z=f(x₀,y) в точке M₀(x₀,y₀,z₀). , где  - угол между касательной и положительным направлением оси Оу.

2. Дифференцируемость и дифференциал функции нескольких переменных

Пусть функция z=f(x,y) определена на множестве , (х₀,у₀) – внутренняя точка множества G. Придадим значениям х₀ и у₀ приращения х и у, одновременно не равные нулю, так, что точка (х₀+х,у₀+у)G. Тогда полное приращение функции z=f(х₀+х,у₀+у)-f(х₀,у₀).

Пример 2. Найти полное приращение функции z=x²-xy+y² в точке (х₀,у₀).

.

Если координатам фиксированной точки (х₀,у₀) придают фиксированные приращения, то z–число. Если фиксируется только точка (х₀,у₀), то z=z(x,y) - функция переменных x и y. Если ничего не фиксируется, то z=z(х₀,у₀,x,y)– функция четырех переменных.

В примере z можно представить в виде z=Ах+Ву+х+у, где - постоянные, - функции от x,y, такие, что .

Но не для каждой функции двух переменных ее полное приращение можно представить таким образом.

Определение. Пусть функция z=f(x,y) определена на множестве . Функция f(x,y) называется дифференцируемой в точке (х₀,у₀)G, если ее полное приращение в этой точке можно представить в виде

z=Ах+Ву+х+у, (1)

где А, В - постоянные, =(x,y), =(x,y)- бесконечно малые функции при х0, у0.

Полное приращение дифференцируемой функции можно записать также в виде:

z=Ах+Ву+, (2)

где , .

Покажем, что (1) эквивалентно (2).

1) (1)(2). Т. к. первые два слагаемых одинаковые, то надо показать, что х+у можно представить в виде  (с выполнением соответствующих условий).

, где .

, (*)

т.к. .

Пусть , тогда x0, y0. Значит, по условию, 0, 0. Следовательно, в силу неравенства (*), 0. Итак, 0 при 0.

2) (2)(1). ,

где .

. (**)

Пусть x0, y0. Тогда 0. Отсюда, по условию, 0. А, значит, в силу неравенств (**), 0, 0.

Итак, условия (1) и (2) эквивалентны.

Замечание. Т.к. , то =() при 0, и (2) можно записать в виде

z=Ах+Ву+(). (3)

Определение. Пусть функция z=f(x,y) дифференцируема в точке (х₀,у₀). Дифференциалом функции f в точке (х₀,у₀). Называется линейная относительно x и y часть полного приращения функции в точке (х₀,у₀).

Обозначается dz, df(х₀,у₀).

dz=Ах+Ву. (4)

Т.о., z=dz+х+у или z=dz+(). (5)

Т.к. z-dz=(), то z и dz одного порядка малости при 0. Из (5) также следует, что dz0 – главная часть полного приращения функции при 0. Т.о., дифференциал обладает двумя свойствами:

1) является линейной частью приращения функции;

2) если dz0, то он является главной частью полного приращения при 0.

Из второго свойства следует применение дифференциала к приближенным вычислениям:

f(х₀,у₀)df(х₀,у₀) при 0,

f(х₀+х,у₀+у)=f(х,у)f(х₀,у₀)+df(х₀,у₀).

Теорема 1 (непрерывность дифференцируемой функции). Если функция z=f(x,y) дифференцируема в точке (х₀,у₀), то она непрерывна в этой точке.

Доказательство.

Пусть функция z=f(x,y) дифференцируема в точке (х₀,у₀). Тогда ее полное приращение может быть представлено в виде (1)

z=Ах+Ву+х+у,

где А, В - постоянные, .

Пусть x0, y0. Тогда 0, 0, и, значит, f(х₀,у₀)0. Т.е. бесконечно малым приращениям аргументов в точке (х₀,у₀) соответствует бесконечно малое полное приращение функции. Следовательно, по определению, функция z=f(x,y) непрерывна в точке (х₀,у₀).

Теорема 2 (необходимое условие дифференцируемости). Если функция z=f(x,y) дифференцируема в точке (х₀,у₀), то в этой точке существуют конечные частные производные , , и имеет место равенство:

, (6)

т.е. всегда .

Доказательство.

Т.к. функция дифференцируема в точке (х₀,у₀), то имеет место (1). Пусть х₀ получает приращение х0, а у₀ остается неизменным, т.е. у=0. Тогда

.

Обозначим , . Тогда

.

Разделим обе части этого равенства на х0: .

Т.к. существует предел правой части при х0: , то существует и предел левой части: , и эти пределы равны:

=А.

Аналогично доказывается, что =В.

Замечание 1. Теорема, обратная к теореме 1, неверна. Функция, непрерывная в точке (х₀,у₀), может быть не дифференцируема в ней.

Пример 3. z=f(x,y)=|x|.

 , функция непрерывна на .

Покажем, что функция дифференцируема на , кроме точек оси Оу.

Следовательно, у не существует. Из теоремы 2 следует, что функция не дифференцируема на оси Оу. 

Замечание 2. Теорема, обратная к теореме 2, не имеет места. Функция f(x,y), имеющая частные производные и , может и не быть дифференцируемой в точке (х₀,у₀).

Пример 4. Доказать, что функция имеет в точке (0;0) частные производные, но не дифференцируема в этой точке.

 ,

,

.

Итак, частные производные существуют в точке (0;0).

Докажем, что функция не дифференцируема в точке (0;0). От противного. Пусть функция дифференцируема в точке (0;0). Тогда

может быть представлено в виде:

, где .

Т.к. , то

.

Докажем, что этот предел не существует. Пусть х0, у0, так, что у=kx, k0. Тогда

.

Предел зависит от k, значит, он не существует. Поэтому сделанное предположение неверно, и функция не дифференцируема в точке (0;0). 

Теорема 3 (достаточное условие дифференцируемости функции двух переменных). Пусть функция f(x,y) в некоторой окрестности точки (х₀,у₀) имеет частные производные и , которые непрерывны в точке (х₀,у₀). Тогда функция f(x,y) дифференцируема в точке (х₀,у₀).

Доказательство.

Пусть функция f(x,y) и ее частные производные и определены в некоторой окрестности точки М₀(х₀,у₀): .

Придадим х₀, у₀ произвольные приращения х и у, не равные нулю одновременно и такие, чтобы . Тогда функция f получит приращение , которое можно представить в виде:

(7)

Первая скобка является частным приращением по переменной х функции f(x,y) в точке ; вторая скобка является частным приращением функции f(x,y) по переменной у в точке (х₀,у₀). Т. к. первая скобка является приращением функции одной переменной в точке х₀, а вторая - приращением функции одной переменной в точке у₀, то к ним можно применить теорему Лагранжа.

В силу условия функция имеет производную на , а функция имеет производную на .Тогда применяя теорему Лагранжа, получим

=, (8)

, . (9)

Подставим (8) и (9) в (7):

, .

Добавим и вычтем справа и :

. (10)

Обозначим , ,

, .

Тогда . Если доказать, что при , то функция f(x,y) будет дифференцируема в точке (х₀,у₀) по определению.

Пусть . Так как , то , , . Тогда в силу непрерывности частных производных в точке (х₀,у₀)

, .

Следовательно, , . По определению функция f(x,y) дифференцируема в точке (х₀,у₀).