5. Геометрический смысл дифференциала

Пусть функция z=f(x;y) дифференцируема в точке (х₀;у₀). Тогда в этой точке существует дифференциал , а график функции в точке (x₀;y₀;z₀) имеет касательную плоскость, задаваемую уравнением (11).

Р₀ – точка касания, Q – касательная плоскость, т. LQ, [P₀L]Q, принадлежит поверхности z=f(x;y). P₀K║М₀М, М₀ – проекция точки Р₀ на хOу.

KP=MP–МК=MP–M₀P₀=z–z₀=∆z.

∆z – приращение аппликаты на поверхности в точке Р₀, соответствующее приращениям ∆x, ∆y абсциссы и ординаты. KL=ML–MK=ML–M₀P₀=ML–z₀.(*) Из уравнения касательной плоскости ML=z₀+dz. Отсюда dz=ML–z₀. (**)

Из соотношений (*) и (**) следует, что KL=dz.

Следовательно, дифференциал функции в точке M₀(x₀,y₀) численно равен приращению КL аппликаты точки Р₀ на касательной плоскости, соответствующему приращению аргументов ∆x и ∆y.

§5. Дифференцирование сложной функции

1. Дифференцирование сложной функции

Пусть функция z=f(x;y) определена в области G, а х и у сами являются функциями от переменной t: х=φ(t), у=ψ(t). Пусть t изменяется в промежутке так, что (х;у)=(φ(t);ψ(t))G. В этом случае функция

z=f(φ(t);ψ(t))=F(t) (1)

является сложной функцией одной переменной t.

Теорема 1. Если существуют производные , в точке t и существуют непрерывные частные производные , в соответствующей точке (х;у)=(φ(t);ψ(t)), то существует производная от сложной функции (1), и она может быть вычислена по формуле:

. (2)

Доказательство.

Придадим переменной t приращение тогда x и y получат соответствующие приращения и , а функция z=f(x;у) получит приращение . Так как z=f(x;у) в точке (x;y) имеет непрерывные частные производные, то по теореме 3 §4 она дифференцируема в этой точке. Следовательно, ее полное приращение может быть записано в следующем виде:

=, где ,.

Разделим равенство на :

. (3)

Пусть . Так как функции х=φ(t) и у=ψ(t) дифференцируемы в точке t, то они непрерывны в этой точке. Тогда при . Значит, и , при . Т.к. функции x и у по условию имеют производные и в точке t, то

, .

Это означает, что правая часть (3) имеет предел при :

.

Тогда существует предел и левой части (3) при : .

Переходя в (3) к пределу при , получим (2).

Частный случай: , то есть . Тогда

.

Пример 1. z(x,y)=, x=e, y=ln(1-t). Найти .

 z определена на , . z является функцией от t:

(*) z(t)=, .

Вычислим по формуле (2).

.

Но можно найти и непосредственно из (*). 

Эффективность дифференцирования по формуле (2) проявляется в более сложных примерах.

Пример2. .

 .

Непосредственно отсюда вычислить сложно.

…

(подставить вместо х и у выражения через t). 

Пример 3. .

 Пусть , тогда z=f(x,y), х=φ(t), у=ψ(t),

. 

Пусть теперь функция z=f(x,y) задана в некоторой области G а x и y являются функциями от переменных u и v: . Причём u и v определены в такой области Н, что (u,v)Н точка (х,у)=G. Тогда z является сложной функцией от переменных u и v:

. (4)

Теорема 2. Если существуют частные производные на H и непрерывные частные производные на области G, то существуют частные производные от сложной функции (4) на H , которые могут быть вычислены по формулам:

(5)

. (6)

Доказательство.

Пусть (u,v)Н. Зафиксируем v. Тогда (4) обращается в сложную функцию одной переменной u вида (1), к которой можно применить теорему 1. На основании этой теоремы

.

Аналогично, фиксируя u, получим сложную функцию одной переменной v: к которой можно применить теорему 1, получим (6).

Пример 4. Найти частные производные сложной функции .

 Обозначим - промежуточные переменные, x,y,z – независимые переменные.

,

,

. 