3. Выражение дифференциала через частные производные

Пусть функция z=f(x,y) дифференцируема в точке (х₀,у₀)G, f определена на . Тогда в этой точке имеет место соотношение

,

и функция имеет дифференциал

.

Под дифференциалами независимых переменных понимают произвольные приращения этих переменных, т. е. dx=x, dy=y.

Тогда .

Обозначим

- частный дифференциал функции по переменной х, - частный дифференциал функции по переменной у. Тогда

dz=d_xz+d_yz.

Очевидно, что дифференциал функции в точке (х₀;у₀) есть функция двух переменных х и у: df(х₀;у₀)=(x;y). Если функция дифференцируема в каждой точке множества G, то говорят, что она дифференцируема на G. В этом случае f на G имеет дифференциал

, (х,у)G,

и dz=(x;y;x;y) – функция четырех переменных.

4. Касательная плоскость и нормаль к поверхности

Напомним вначале понятие касательной к кривой.

Пусть дана кривая и точка М₀ на ней. Возьмем произвольную точку М, принадлежащую кривой, и проведем секущую М₀М. Пусть =(М₀;М).

Определение. Прямая М₀Т называется касательной к кривой в точке М₀, если угол  между этой прямой и секущей стремится к нулю, когда 0, независимо от способа передвижения точки М по кривой к точке М₀.

Аналогично вводится понятие касательной плоскости к поверхности.

Пусть точка Р₀ принадлежит поверхности, Р – произвольная точка поверхности. Проведем секущую Р₀Р, =(Р₀;Р). Рассмотрим плоскость Q: P₀Q.

Определение. Плоскость Q, проходящая через точку Р₀, принадлежащую поверхности, называется касательной плоскостью в этой точке, если угол  между этой плоскостью и секущей Р₀Р стремится к 0, когда точка Р стремится к точке Р₀, т.е. (Р₀;Р)0.

Определение. Нормалью к поверхности в точке Р₀ на ней называется прямая, проходящая через точку Р₀ и перпендикулярная касательной плоскости в этой точке.

На рисунке P₀N – нормаль.

Теорема 4. Если функция z=f(x;y) дифференцируема в точке (х₀;у₀), то в точке P₀(x₀;y₀;z₀), где z₀=f(x₀;y₀) существуют касательная плоскость и нормаль к поверхности z=f(x;y). Уравнение касательной плоскости имеет вид

, (11)

Нормаль задается уравнением:

. (12)

Доказательство.

Пусть P(x,y,z) принадлежит поверхности. Положим х=х-х₀, у=у-у₀, z=z-z₀. тогда условие (3) дифференцируемости функции z=f(x,y) примет вид

, (13)

где , . Рассмотрим уравнение

или .

Из курса аналитической геометрии известно, что это уравнение определяет в декартовой системе координат плоскость, проходящую через точку P₀(x₀;y₀;z₀) и имеющую нормальный вектор . Докажем, что эта плоскость Q является касательной в точке Р₀ к поверхности. Для этого достаточно показать, что

1. плоскость Q проходит через точку Р₀ поверхности;

2. угол  между нормальным вектором к этой плоскости и любой секущей Р₀Р стремится к , когда точка Р, принадлежащая поверхности, стремится к точке Р₀, т.е. когда 0.

1) очевидно. Докажем 2).

Вычислим косинус угла  между векторами и .

, , ,

 .

Из (13) следует, что . Следовательно,

.

Значит,  , и, следовательно, 2) доказано.

Т.о., касательная плоскость к поверхности z=f(x;y) в точке (x₀;y₀;z₀) задается уравнением (11), а условие дифференцируемости функции в точке (x₀;y₀) с геометрической точки зрения означает существование касательной плоскости к графику функции z=f(x;y) в точке P₀(x₀;y₀;z₀).

Напомним, что уравнение прямой, проходящей через точку P₀(x₀;y₀;z₀) и имеющей направляющий вектор , имеет вид

.

Так как направляющим вектором нормали является вектор , то уравнение нормали:

.