8.2. Прохідний об'ємний резонатор

Прохідним резонатором назввають об'ємний резонатор. утворений двома плоскими неоднорідностями, розміщеними на відстані l одна від одної (рис. 8.3).

Таким неоднорідностями можуть бути ініуктивні або ємнісні діафрагми, гратка з реактивних штирів, отвори зв'язку тощо.

Рис. 8.1. Приклади збудження об’емних резонаторів: а – коливання виду ТЕМ_f; б – коливання виду Н₁₀₁; в – коливання виду Ε₁₀₁; г – коливання типу H₁₀₁

Навантажена добротність такого прохідного резоштора визначається за формулою:

, (8.5)

де f_0,5 – розстроєння, при якому потужність, що надходить в узгоджене навантаження, ввімкнене на виході резонатора, вдвічі менша за потужність, що надходить у це навантаження на резонансній частоті.

Визначимо частотну характеристику резонатора, тобто залежність потужності, що надходить в узгоджене навантаження, ввімкнене на виході резонатора, від частоти. Кожну з плоских неоднорідностей, що стоять на вході та виході резонатора, можна охарактеризувати за допомогою матриці розсіювання:

, (8.6)

де S₁₁ – коефіцієнт відбиття від кожної неоднорідності;

S₂₁ – коефіцієнт передачі.

Розглянемо випадок,коли на вході і виході резонатора стоять однакові неоднорідності (наприклад,однакові ґратки з індуктивних штирів або два отвори). Нехтуючи втратами енергії в неоднорідноcтях і стінках резонатора, можна записати:

. (8.7)

Нехай на вхід резонатора надходять падаюча хвиля з амплітудою Ε_пад. Частина енергії падаючої хвилі відбивається від першої неоднорідності, а частина проходить у резонатор: Е_1відб = S₁₁ ε_пад, Е_1пр = S₂₁ Е_пад. Хвиля Е_1пр поширюється по резонатору, доходить до другої неоднорідності, одержавши фазовий зсув β_l, частково відбивається від неї і, ще раз пройшовши резонатор, повертається до першої, неоднорідності з фазовим зсувом 2βℓ, частково проходить через неї і створює відбиту хвилю на вході резонатора:

Проводячи аналогічні міркування для хвиль всередині резонатора, можна показати, що на вході резонатора буде нескінченна кількість відбитих хвиль, а на виході – тих, що пройшли. Підсумовуючи всі відбиті хвилі, маємо:

. (8.8)

Аналогічно сумарне поле на виході резонатора:

. (8.9)

Рис. 8.2. Структура електричних і магнітних полів у півхвильовому коаксіальному, прямокутному і циліндричному резонаторах

Рис. 8.3. Умовне подання прохідного об'ємного резонатора

При |S₁₁| < І ряди (8.8) i (8.9) – геометричні прогресії, що сходяться. Підсумувавши нескінченні ряди, одержимо вираз для результуючого коефіцієнта відбиття на вході Γ І для коефіцієнта передачі резонатора Τ:

(8.10)

У результаті підстановки виразу (8.7) у рівняння (8.10) одержимо:

, (8.11)

де S₁₁ = |S₁₁|e^іφ1

Із формули (8.11) випливає, що вся енергія падаючої хвилі надходить на вихід резонатора, тобто |Т|² = 1, коли:

, (8.12)

де ρ = 1, 2, 3.

Підставивши у залежність (8.12), знайдемо резонансну довжину резонатора:

, (8.13)

Тільки на частоті, при якій виконується рівність (8.12) (це резонансна частота резонатора f_p), |T|² = 1, при відхиленні від неї амплітуда хвилі, що пройшла, зменшується. На рис. 8.4 зображено частотну характеристику коефіцієнта передачі. З умови, що на межі смуги 2Δf_0,5 = 0,5, можна обчислити 2Δf_0.5 i визначити навантажену добротність прохідного резонатора. Аналогічну частотну залежність коефіцієнта передачі має паралельний контур, увімкнений в лінію паралельно.

Рис. 8.4.Частотна характеристика,коефіцієнта Τ передачі прохідного резонатора

Власну добротність прямокутного об'емного резонатора з коливанням Н₁₀₁ за відсутності в ньому діелектричних втрат можна визначити за формулою:

, (8.14)

де а, б, ℓ – внутрішні розміри порожнини резонатора;

– глибина проникнення поля в метал.

Прохідний резонатор або близький до нього резонатор з одним отвором зв'язку часто реалізується у вигляді відрізка хвилеводу прямокутного перерізу. В такому резонаторі збуджується основний тип коливань Н₁₀₁, тобто по довжині резонатора укладається одна півхвиля електромагнітного поля. Наявність зв'язку (наприклад, діафрагми або отвору) приводить до того, що довжина Резонатора дещо відрізняється від половини довжини хвилі. Якщо Розглядати резонатор з урахуванням шунтуючої дії діафрагми, то Резонансна частота виражається таким співвідношенням:

, (8.15)

де с – швидкість світла;

ℓ – довжина резонатора;

а – розмір широкої стінки хвилеводу;

α – коефіцієнт загасання в хвилеводі, частина якого утворює резонатор;

X – коефіцієнт зв’язку, що визначається відношенням провідності передавальної лінії γ₀ до зведеного значення активної провідності резонатора.

Коефіцієнт загасання можна обчислити за формулою, дБ/м:

, (8.16)

де б – провідність стінок резонатора, (Ом .μ)^-1;

ω = 2π·f , рад/с;

а і b – розміри широкої та вузької стінок хвилеводу, м;

.

За розрахованим значенням коефіцієнта загасання величина власної добротності резонатора:

, (8.17)

де λ₀, λ_χ – відповідно резонатора довжина хвилі та довжина хвилі в хвилеводі, що утворює резонатор.

Значення зовнішньої та навантаженої добротностей можна знайти за допомогою коефіцієнта зв’язку X :

, (8.18)

Крім розрахункового визначення добротності існують три основних методи експериментального визначення добротності порожню·тих резонаторів:

1) повних опорів (вимірювання Q за допомогою вимірювальної лінії);

2) визначення за резонансною характеристикою;

3) вимірювання декремента затухання.

Вимірювання добротності за резонансною характеристикою застосовується у тих випадках, коли допускається ввімкнення об'єкта дослідження за схемою чотириполюсника, тобто є два зв’язки з передавальними лініями. Метод декремента загасання використовується переважно для вимірювання досить великих добротностей порожнистих резонаторів з надпровідних структур.

Метод повних опорів дозволяє одержати значення власної, навантаженої та зовнішньої добротностей системи. Звичайно вимірювання цим методом добротностей у діапазоні від кількох сот до десятка тисяч не пов'язано з труднощами. Вимірювання більш низьких значень добротностей потребує модифікації методу.

Якщо резонатор має тільки один елемент зв'язку, то вимірювання проводять методом двополюсника. Один із досить поширених способів вимірювань добротностей цим методом оснований на вимірюванні коефіцієнта стоячої хвилі в лінії, на кінці якої знаходиться резонатор, залежно від довжини хвилі генератора.

Активна провідність резонатора поблизу резонансної частоти практично незмінна. Тому можна вважати, що вхідна провідність резонатора при збільшенні довжини хвилі змінюється на полярній круговій діафрагмі повних провідностей по колу С = const. Залежність КСХ у лінії від довжини хвилі зображено на рис. 8.5.

Рис. 8.5. Залежність КСХ у лінії передачі, навантаженій на резонатор, залежно від довжини хвилі

Найменша величана КСХ, позначена через р₀, відповідає резонансній довжині хвилі λ₀ і дорівнює або G, aбo 1/G, де G – активна провідність у площині вхідного вікна, виражена у відносних одиницях.

Щоб визначити параметри резонатора, необхідно розв'язати невизначеність між G = Р_о і G = 1/р. З цією метою звичайно розглядають фазову характеристику порожнистого резонатора, яка являє собою залежність положення мінімуму стоячої хвилі в підвідній лінії від довжини хвилі генератора. Типовий вигляд фазових характеристик зображено на рис.8.6.

Через ℓ_mln тут позначено відстань між резонатором i одним із найближчих мінімумів напруги. Як видно з рис. 8.6, а, у випадку перезв'язку резонатора з вихідною лінією (G < І), коли коло G = const на рис. 8.6, а охоплює центр кругової діаграм, різке розстроювання генератора відносно резонансу приводить до зміщення мінімуму на величину ±λ_x/4 Таким чином, при G < 1 фазова характеристика резонатора зазнає поблизу резонансу повного зміщення, яке наближається до половини довжини хвилі в розглядуваній лінії.

Рис. 8.6. Фазові характеристики резонаторів при різному зв'язку

Рис. 8.7. Кругові діаграми для резонаторів при різному зв'язку:

Інша справа в режимі недозв'язку (G > 1), коли коло G = const на рис.8.7, б не охоплює центра кругової діаграми.

a – G < 1; б – G > 1

Мінімум стоячої хвилі при різкому розстроюванні в обидва боки від резонансу повертається в положення, де він знаходився при резонансі. Максимальне відхилення фазової характеристики у цьому випадку завжди менше λ_χ/4, як показано на рис. 8.6, б.

Звідси випливає, що, маючи експериментально зняту криву p = f(λ) і визначивши додатково за точками вид фазової характеристики ℓ_mіn = f(λ), можна знайти важливий параметр порожнистого резонатора – активну провідність G, приведену до входу лінії та виражену у відносних одиницях.

Діапазонні характеристики р = f(λ) і ℓ_min = f(λ) дають можливість визначити добротності резонатора.

Із теорії відомо таке:

, (8.19)

, (8.20)

, (8.21)

де B – реактивна провідність резонатора, виражена у відносних одиницях і виміряна відносно тієї ж площини відліку, для якої визначено активну провідність G .

Величини λ₀ i G, що входять до рівнянь (8.19) – (8.21), можна безпосередньо розрахувати за допомогою експериментально знятих графиків (див. рис. 8.5 і 8.6, а, б). Щоб обчислити значення Q, необхідно знати додатково величину dB/dλ або, в силу лінійності залежності B = f(λ), величину [B]/Δ λ. 3 цією метою можна використовувати графік ρ = f(λ), показаний на Рис. 8.5. Виберемо на графіку будь-яку з точок, що відповідає Довжині хвилі λ_χ i не дорівнює λ₀. Проведемо на круговій дiаграмі коло ρ = = const, яке відповідав виміряній величині КСХ (див. рис. 8.7). Точка перетину кіл р = const і G = const визначає абсолютну величину реактивної провідності В при даному розстроюванні:

∆λ = |λ_χ – λ₀|

Після цього можуть бути обчислені величини, які нас цікавлять, із таких рівнянь:

, (8.22)

, (8.23)

, (8.24)

При розрахунках добротностей достатньо здійснити відлік |B| у даній точці. Для підвищення точності, однак, можна користуватись вимірюваннями КСХ при різних значеннях довжини хвилі, вибираючи значення КСХ, зручні з практичної точки зору.

Такі ж результати можна одержати й аналітичним шляхом, обминаючи графічний розрахунок. Нескладні обчислення приводять до такого виразу, який зв’язуе абсолютну величину реактивної провідності B з модулем коефіцієнта відбиття Γ:

, (8.25)

Після визначення величини Б добротності Q_o, Q_H i Q_зовн розраховуються за рівняннями (8.22) – (8.24) і (8.25).