15. Образование и движение газовых пузырьков и жидких капель

Диспергирование газов и жидкостей (образование газовых пузырьков и жидких капель), имеющее своей целью увеличение их обнаженной (внешней) поверхности, широко ис-

Рнс. 1-17. Образование газовых пузырьков и капель;

а — к определению размеров пузырька; б ««• контуры пузырьков; в внутренняя цнрт куляция в пузырьках (каплях).

пользуется в процессах физического и химического взаимодей­ствия между этими фазами (газ—жидкость, жидкость—жидкость). Во всех случаях необходимо знать размеры, частоту образования и закономерности движения пузырьков и капель.

Диспергирование газов в жидких средах происходит при исте­чении газов из сопел или отверстий в плоских или криволи­нейных стенках газораспределительных устройств. На образу­ющийся газовый пузырек действуют силы внутреннего и внеш­него давлений (Р_в и Р„), а также поверхностного натяжения (Р_а). При выходе газа из сопла диаметром d пызырек постепенно ра­стет и, достигнув некоторого диаметра б, отрывается. Диаметру б соответствует равновесие действующих сил, которое для элемен­тарной площадки df (рис. 1-17, с) выражается уравнением: dP_B =* =5 dP_H + dP₀ или

(/>■+ Pr£Z) df = I a, + р_жё (ft, + г)] df + o{l/R_l + l/R₂) dl

где p к Po — давления внутри пузырька и на свободной поверхности жидкости; Рг ^и Рж — плотности газа и жидкости; о — поверхностное натяжение; Ri и /?₂ — главные радиусы кривизны поверхности df.

Из последнего уравнения находим давление внутри пузырька:

р = о (1/#, -4- 1/Я₂) -4- Ро + [р_жп_а + 2 (р_ж — p_r)l g (а)

В самой верхней точке пузырька R_x = /?₂ = /?₀ и z = О, поэтому р = 2a/R₀ + р₀ + p,_Kgft₀. Подставив найденное значе­ние р в уравнение (а), получим:

² ₌ ¹ I ¹ ., (Рж —p_r)g . R_a Ri «г о

Если отнести линейные размеры /?₀, R_u R₂ и г к константе

Лапласа b = Л/ -.—²° , и обозначить полученные безраз-

г (р_ж —Pr)g мерные величины соответственно через Rl, Rl, Rl и г*, то послед­нее уравнение примет следующий вид:

г/к* = i//?; + i//?*+2₂* (б)

т » f / * п>*\ п* ^к

^ло 1/ ^о<Рж —Pr)g ,/We\

Так как z =/ (г , /?₀), то /?₀ = = |/ ^ ⁼4ft) *

Иными словами, каждому значению #₀ соответствует свой кон­тур пузырька или капли (рис. 1-17, б) в зависимости от их физи­ческих свойств (р_ж, р_г, о).

Опыт подтверждает качественный характер зависимости (б), но одновременно обнаруживает значительное расхождение с рас­четным значением R₀. Действительный диаметр газовых пузырь­ков б = 2R₀ существенно зависит еще от скорости истечения газа из сопла, следовательно, от его диаметра, d и расхода газа V м³/с. При этом различают два режима истечения: свобод­ный и цепочный. Первый из них наблюдается при ма­лых значениях V и характеризуется существенным расстоянием между всплывающими пузырьками, т. е. каждый новый пузырек образуется после того, как предыдущий уже прошел некоторый путь. При больших расходах газа происходит быстрое образова­ние пузырьков, так что вблизи сопла они касаются друг друга, образуя как бы цепочку.

Режим истечения характеризуется значением параметра Ф = = 1 + (1 + We²/Fr)^1/2, где We = до² dp_mla — критерий Вебера; Ft = w²/gd — критерий Фруда; w — скорость истечения газа. Граница рассматриваемых режимов истечения соответствует Ф_КР = 27.

Средние диаметры образующихся газовых пузырьков опре­деляются по следующим эмпирическим формулам, полученным в результате обобщения многочисленных опытных данных:

приФ< 27 6 = о,9(-^)^1/3Ф¹/² (1.44)

приФ>27 б = 0,5( —У^/Зф1/3 _(М4а)

V Рж£ /

Из приведенных формул следует, что средний диаметр газовых пузырьков при цепочном режиме истечения меньше, чем при 72

. свободном режиме. Заметим, что в первом случае форма пузырь­ков отклоняется от сферической (приближается к эллипсоидной), причем это отклонение возрастает по мере увеличения расхода газа V.

Для диспергирования газов в химических аппаратах, кроме сопел, часто используют перфорированные листы (ситчатые тарелки) с отверстиями разных диаметров. При Ф < 20 диаметры образующихся пузырьков зависят в данном случае от толщины листа, высоты барботируемого слоя жидкости и дру­гих факторов; они могут в 3—4 раза превышать диаметр пузырь­ков, образующихся при истечении из сопел, но не поддаются расчету. При Ф > 20 можно в рассматриваемом случае пользо­ваться для приближенных расчетов формулами (1.44).

В отличие от твердой частицы движение газового пузырька (капли) до момента достижения постоянной (равновесной) ско­рости сопровождается непрерывным изменением его формы, а также внутренними циркуляционными то­ками (рис. 1-17, в). Эти явления существенно не влияют на очень мелкие пузырьки (б <: 0,2 мм), на которые распростра­няются уравнения (1.42) и (1.43), поэтому здесь применимы коэф­фициенты £ для твердой сферической частицы. В интервале от Re = 2 до Re = 1,5 (gp^cr^p⁴)^0,214 скорость подъема пузырька и величина £ определяются по формулам: w₀ = 0,776¹'²⁸/v"'⁵²; I = 18,7Re-°-^6?.

Далее, в области до Re = \{p_xg)^Q-^2bo°-^lb ]/р справедливы сле­дующие формулы: w₀ = 1,91 1/а/р_жб; £ = 0,366 (We/Fr). Нако­нец, в области еще более высоких значений Re: w_D = 0,7141/g8; £ = 2,61.

Диспергирование капельных жидкостей в газовых средах и в объеме других несмешивающихся жидкостей применяется для достижения большой поверхности межфазного контакта при осу­ществлении ряда технологических процессов. Возможны два режима диспергирования: капельный и струйный. В первом случае капли образуются непосредственно при истече­нии жидкости из отверстия в стенке сосуда или из сопла. Во вто­ром случае струя распадается на капли на некотором расстоянии от выходного сечения диспергирующего устройства.

На рис. 1-18 схематически показаны наиболее распространен­ные устройства для диспергирования жидкостей в газовых сре­дах (распылители). Самым несложным устройством яв­ляется простое сопло (рис. 1-18, а), откуда жидкость под некоторым давлением вытекает с большой скоростью в виде струи. Последняя распадается на капли благодаря избыточному скоростному напору относительно газовой среды. Распад проис­ходит на некотором расстоянии от выходного сечения сопла, за­висящем от скорости истечения, формы и шероховатости стенок сопла. В случаях, когда сообщение жидкости большого избыточ­наго давления невозможно или нежелательно, применяют двух-поточное сопло (рис. 1-18, б). Здесь медленно вытека­ющая струя жидкости окружена тангенциальным кольцевым высо­коскоростным потоком газа (воздуха); распад струи происходит, как и в первом случае, под действием разности скоростей обеих фаз. Иными словами, в случае простого сопла для диспергирова-

Рис. 1-18. Устройства для диспергирования газов и жидкостей:

а — простое сопло; б — двухпоточное сопло; в — распыляющий диск; г — распыляющий цилиндр

ния жидкости используется кинетическая энергия последней, а в случае двухпоточного сопла — кинетическая энергия газа.

Причиной распада струи на капли являются продольные волны, возникающие на ее поверхности по выходе из сопла глав­ным образом под действием аэродинамических сил. Последние, возрастая по мере увеличения относительной скорости струи и плотности внешней газовой среды, стремятся деформировать и разорвать струю, чему препятствуют силы поверхностного натя­жения. При небольшой относительной скорости струя на неко­тором расстоянии от выходного сечения разрывается на отдельные части, которые под действием поверхностного натяжения сверты­ваются в сферические капли. С увеличением относительной ско­рости возникают волнообразные деформации струи и происходит ее распад на более мелкие капли. Наконец, при больших относи­тельных скоростях на поверхности струи возникают малые волны, гребни которых отрываются, и струя распадается на очень мел­кие капли (распыляется) вблизи выхода из сопла.

Таким образом, можно различить три режима диспергирова­ния вытекающей струи жидкости, которые условно назовем: 1) капельным, 2) волновым и 3) распыли­тельным. Границы между этими режимами характеризуются соотношением критериев We = w² dpjo и Re = wdlv_m, где w — относительная скорость истечения из выходного сечения сопла диаметром d. Граница первого режима и диаметр образующихся яапель d₀ до достижения этой границы определяются по следу­ющим эмпирическим формулам:

(Weh.^O^.lO^/Re⁰-⁶; d„ = IЛШ [ 1 + 3 (We°-⁵/Re)FГраница между вторым и третьим режимами определяется по формуле: (We)₂.₃ = (0,4-10⁶

⁵)/Re°.⁵, т. е. режиму распыления жидкости соответствует условие: w > 245 (ст^0,4рж²/^°'⁶рж⁶)'

При диспергировании жидкостей с помощью сопел и других устройств (см. ниже) образуется смесь капель различных диа­метров (полидисперсная смесь). Максимальный диа­метр d_M,,_KC капель в этой смеси, как показали многочисленные опытные данные, удовлетворяет уравнению

4>8- IO-⁵We_MaKC = [I + l0⁶(We_MaKC/Re²_MaKC)p² [i -0,5 (р_г/р_ж)]

в котором We_MaKC и Re_MaKC отнесены к с4_акс.

Капли диаметром d₀ > 4_акс имеют поверхностные волны и распадаются на более мелкие. Вследствие полидисперсности смеси образующихся капель в инженерных расчетах часто опе­рируют средним объемно-поверхностным диа-

п I п

метром капель: d_on = JJ diX / Е<*м^я*. ^гД^е "г—число ка­пель узкой фракции, диаметр которых близок к d_u.

Величина d_on при диспергировании жидкостей с помощью простых сопел определяется по формуле:

d_un = Ш (р_ж/р_г We Fr)^1/4 [1 + 3,31 (We»^1/2/Re)]

а при диспергировании двухпоточными соплами (рис. 1-18, б) —по формуле:

^{d0n = 0.585уо/Рж^от + 53,2 (VJV,)1-6 (Рж/К^жТ'}где ш₀т — относительная скорость струи; V_m и V_v — объемные расходы жидко­сти и газа.

Заметим, что диаметр самых крупных капель обычно в 2—3 раза больше d_on, т. е. степень полидисперсности смеси капель, образующейся при истечении жидкости из сопел, весьма велика. Более однородные капли (меньшая полидисперсность) достигается при диспергировании жидкостей посредством горизонтальных дисков (рис. 1-18, в) и вращающихся цилиндров (рис. 1-18, г). Толщину жидкой пленки, покидающей цилиндр или диск, можно рассчитать по формуле (1.36), которую приме­нительно к гравитационному течению жидкой пленки по верти-кальной стенке представим в следующем виде: б = i^3VivJg.

Если расход жидкости равен V м⁴⁵

³/с, то для цилиндра или диска радиусом т получим V_x = V/2nr. Кроме того, при большой скорости вращения цилиндра (диска) центробежная сила значи­тельно превышает силу тяжести. Поэтому заменим g центробеж­ным ускорением coV, где со — угловая скорость вращения. Таким образом

Во вращающемся цилиндре его внутренняя образующая (рис. 1-18, в) наклонена к вертикали под углом Р для обеспечения срыва пленки (при р — 0 пленка будет вращаться вместе с цилин­дром, не покидая его). Поэтому в формуле (1.45) фигурирует sin р. Для горизонтального диска р* = 90° и sin Р = 1.

При малых расходах жидкости, обеспечивающих тонкую пленку жидкости, маленькие диаметры и однородные капли, полезно применять цилиндры с шероховатой внутренней поверх­ностью с целью полного смачивания последней. Угловая скорость вращения цилиндра должна соответствовать условию:

_(2/л1,14_а1,47 со < 266 • I ОТ* -TW—ГГТГт

Наилучшее диспергирование с помощью вращающегося го­ризонтального диска достигается при отсутствии относительной скорости жидкости и диска на его периферии. Это условие, как показывает опыт, удовлетворяется при г (2я/К)⁰'⁵ (ш_ж)⁰-²⁵ > 5. Отсюда находим выражение для минимального диаметра диска: (2г)_мнн = 4К⁰'⁵ (covj-⁰-²⁵ при со > 3,85 l(Vv_x) ^1/6/(2г)⁰'⁷⁵ ](р_ж^/о)⁰-².

В указанных условиях средний объемно-поверхностный диа-. метр капель можно в первом приближении определить по фор­муле (в м): d_un = 0,425 (о/гс²гр_ж)°.⁵, где п — число оборотов, с^-1; г — радиус шайбы, м.

Диспергирование одной жидкости в среде другой жидкости (обе жидкости взаимно нерастворимы) производится путем их механического перемешивания, чаще всего турбинными мешал­ками, с которыми мы познакомимся ниже. При этом одна из жидкостей распадается на капли, образуя дисперсную фазу, распределенную в другой жидкости, составляющей сплошную фазу. Интенсивность процесса диспергирова­ния зависит от отношения инерционных сил, обусловленных относительной скоростью обеих фаз ш_от, к силе межфазного по­верхностного натяжения о. Отношение этих сил, как известно, характеризуется критерием Вебера: We = ш_отр_жй_к/о, где d_K — диаметр капли.

Как показали опытные данные, процесс диспергирования протекает при We> 12, а образующаяся смесь капель является полидисперсной. Средний диаметр капель можно с некоторым приближением выразить следующей фор­мулой:

d_K = Co°-⁶/£°'⁴Pc- (в)

где Е— диссипация энергии, отнесенная к единице массы перемешиваемых жидкостей; р₀ — плотность сплошной фазы; С — коэффициент, зависящий от 76

, физических свойств жидкостей, конструктивных и технологических факторов; он определяется опытным путем.

Из формулы (в) следует, что диаметр образующихся капель падает с умень­шением поверхностного натяжения, а также с увеличением удельной диссипа­ции энергии и плотности сплошной фазы. Это положение, однако, справедливо -до момента достижения некоторой предельной концентрации дисперсной фазы, после чего нарастание дисперсности сильно замедляется или даже практически прекращается из-за коалесценцни соударяющихся капель.

16. Движение жидкости (газа) в неподвижных слоях зернистых материалов и насадок

Интенсивность процессов химического взаимодействия и тепло-и массообмена между жидкостями (газами) и твердыми веществами возрастает, как правило, с увеличением удельной межфазной поверхности (т. е. приходящейся на 1 м³ насыпного слоя твердого вещества). По этой причине в рассматриваемых процессах исполь­зуют твердые вещества в форме мелких зерен случайной геометри­ческой формы, часто также в виде мелких шариков и таблеток. Взаимодействующая жидкость (газ) движется восходящим или нисходящим потоком через слой зернистого материала, который располагается большей частью в вертикальных цилиндрических аппаратах. Объем просветов (пустот) в слоях зернистых мате­риалов обычно невелик (около 26—40%), поэтому при необхо­димости его увеличения вместо мелких зерен используют более крупные тела различной формы (см. рис. Х-2), называемые н а -садками. Последние изготовляют из материалов достаточно прочных, коррозионноустойчивых и, по возможности, невысокой плотности (полимеры, керамика, фарфор, металлы). К насадкам предъявляют также такие требования, как минимальное сопро­тивление потоку жидкости (газа), равномерное ее распределение по сечению слоя, возможно большая удельная поверхность /.

Слои зернистых материалов могут состоять из частиц одина­кового (монодисперсный слой) и различных диа­метров (полидисперсный слой). Важнейшими ха­рактеристиками зернистого слоя являются относительная объем­ная доля пустот е, называемая порозностью, размер частиц d, их форма и удельная поверхность/ м²/м³. Если в объеме зернистого слоя V м⁸ содержится У_т м³ плот­ного (монолитного) материала, то е = (V— V_T)/V = 1 — VjlV.

Обозначив через р„ насыпную плотность зернистого материала, а через р_х — плотность самого материала и принимая во внима­ние Vp_H — V_Tp_T, получим: е = 1 — р_н/р_т-

6(1-8)

jtd² =

В случае монодисперсного слоя сферических частиц диаме­тром d количество последних в 1 м³ слоя равно [6 (1 — e)]/nd³. Поэтому имеем (в м²/м³):

б(1-в)

ным ускорением coV, где со — угловая скорость вращения. Таким образом

Во вращающемся цилиндре его внутренняя образующая (рис. 1-18, в) наклонена к вертикали под углом В для обеспечения срыва пленки (при 6 = 0 пленка будет вращаться вместе с цилин­дром, не покидая его). Поэтому в формуле (1.45) фигурирует sin 6. Для горизонтального диска 6 = 90° и sin 6 = 1.

При малых расходах жидкости, обеспечивающих тонкую пленку жидкости, маленькие диаметры и однородные капли, полезно применять цилиндры с шероховатой внутренней поверх­ностью с целью полного смачивания последней. Угловая скорость вращения цилиндра должна соответствовать условию:

ох 266.10-" —^ш—

1,67 1,2 0,28 гж гж

Наилучшее диспергирование с помощью вращающегося го­ризонтального диска достигается при отсутствии относительной скорости жидкости и диска на его периферии. Это условие, как показывает опыт, удовлетворяется при г (2я/Т)^0,5 (соу_ж)⁰'²⁵ > 5. Отсюда находим выражение для минимального диаметра диска: (2г)_мин = 4V⁰'⁵ (ong-⁰'²⁵ при со > 3,85 l(Vv_x) ^1/6/(2г)⁰'⁷⁵ ](р_ж£/а)⁰'².

В указанных условиях средний объемно-поверхностный диа-. метр капель можно в первом приближении определить по фор­муле (в м): d_oa = 0,425 (а/п²гр_ж)⁰-⁵, где п — число оборотов, с^-1; т — радиус шайбы, м.

Диспергирование одной жидкости в среде другой жидкости (обе жидкости взаимно нерастворимы) производится путем их механического перемешивания, чаще всего турбинными мешал­ками, с которыми мы познакомимся ниже. При этом одна из жидкостей распадается на капли, образуя дисперсную фазу, распределенную в другой жидкости, составляющей сплошную фазу. Интенсивность процесса диспергирова­ния зависит от отношения инерционных сил, обусловленных относительной скоростью обеих фаз ш_от, к силе межфазного по­верхностного натяжения ст. Отношение этих сил, как известно, характеризуется критерием Вебера: We = ш_отр_ж<4/а, где d_K — диаметр капли.

Как показали опытные данные, процесс диспергирования протекает при We> 12, а образующаяся смесь капель является полидисперсной. Средний диаметр капель можно с некоторым приближением выразить следующей фор­мулой:

й_{к = Са}0,6_/£0,4_р0,_{: (в)}

где Е — диссипация энергии, отнесенная к единице массы перемешиваемых жидкостей; р₀ — плотность сплошной фазы; С — коэффициент, зависящий от физических свойств жидкостей, конструктивных и технологических факторов; он определяется опытным путем.

Из формулы (в) следует, что диаметр образующихся капель падает с умень­шением поверхностного натяжения, а также с увеличением удельной диссипа­ции энергии и плотности сплошной фазы. Это положение, однако, справедливо до момента достижения некоторой предельной концентрации дисперсной фазы, после чего нарастание дисперсности сильно замедляется или даже практически прекращается из-за коалесценции соударяющихся капель.

16. Движение жидкости (газа) в неподвижных слоях зернистых материалов и насадок

Интенсивность процессов химического взаимодействия и тепло-и массообмена между жидкостями (газами) и твердыми веществами возрастает, как правило, с увеличением удельной межфазной поверхности (т. е. приходящейся на 1 м³ насыпного слоя твердого вещества). По этой причине в рассматриваемых процессах исполь­зуют твердые вещества в форме мелких зерен случайной геометри­ческой формы, часто также в виде мелких шариков и таблеток. Взаимодействующая жидкость (газ) движется восходящим или нисходящим потоком через слой зернистого материала, который располагается большей частью в вертикальных цилиндрических аппаратах. Объем просветов (пустот) в слоях зернистых мате­риалов обычно невелик (около 26—40%), поэтому при необхо­димости его увеличения вместо мелких зерен используют более крупные тела различной формы (см. рис. Х-2), называемые н а -садками. Последние изготовляют из материалов достаточно прочных, коррозионноустойчивых и, по возможности, невысокой плотности (полимеры, керамика, фарфор, металлы). К насадкам предъявляют также такие требования, как минимальное сопро­тивление потоку жидкости (газа), равномерное ее распределение по сечению слоя, возможно большая удельная поверхность /.

Слои зернистых материалов могут состоять из частиц одина­кового (монодисперсный слой) и различных диа­метров (полидисперсный слой). Важнейшими ха­рактеристиками зернистого слоя являются относительная объем­ная доля пустот е, называемая порозностью, размер частиц d, их форма и удельная поверхность/ м²/м³. Если в объеме зернистого слоя V м³ содержится 7_Т м³ плот­ного (монолитного) материала, то е = (V— V_T)/V = 1 — V^/V.

Обозначив через р„ насыпную плотность зернистого материала, а через р_т — плотность самого материала и принимая во внима­ние Кр_н = К_тр_т, получим: 8 = 1 — р_н/рт-

В случае монодисперсного слоя сферических частиц диаме­тром d количество последних в 1 м³ слоя равно [6 (1 — е) 1/W³. Поэтому имеем (в м²/м³):

⁶⁽¹~⁸⁾ гот.. ⁶⁽¹~В слое, поперечное сечение и высота которого соответственно равны г⁸⁾

⁷ и Я, суммарная поверхность всех каналов, равная сум­марной поверхности всех частиц, составляет FHf. Следовательно, смоченный периметр всех каналов равен FHflH = Ff, а их сум­марное живое сечение равно bF. Эквивалентный (гидравлический) диаметр канала, как известно, выразится так:

^{э =} Tf ⁼ Т' Т=7

Для определения гидравлического сопротивления (перепада давления Ар) зернистого слоя высотой Я и площадью попереч­ного сечения F воспользуемся известным выражением:

о

где / — длина каналов; w_H — средняя скорость, движения жидкости (газа) в ка­налах слоя.

Вследствие извилистости каналов I = срЯ, причем <р > 1; учитывая порозность, до_и = до/е, где до —средняя скорость жидко­сти, отнесенная к поперечному сечению слоя (в пустом аппарате). После подстановки значений /, d и до_и получим:

а 1 и 3 (1 — е) и>²р_ж . .

Все приведенные уравнения применимы также к частицам несферической формы, если воспользоваться коэффициентом сфе­ричности ср_с и эквивалентным диаметром d₃. Из выражения ср_с — = FJF = d\jd² следует, что в случае несферических частиц в формуле (1.46) нужно заменить величину d отношением dJV^_z.

Порозность слоя сферических частиц диаметром d зависит от диаметра аппарата d_a, в котором помещен слой: е = 0,375 + + 0,34 (dld_a).

Для керамических и фарфоровых насадок размером от 20 до 50 мм: кольца Рашига и насадка Инталокс — 8 = 0,70—0,8; седла Берля — 8 = 0,65—0,75. У металлических насадок порозность достигает 0,90. Точные значения в для распространенных насадок различных размеров приведены в технических спра­вочниках.

Значения Ар в случае насадок при турбулентном режиме течения могут быть рассчитаны по уравнению (а) при следующих значениях Яф:

для слоя дробленых материалов (кокс, известняк, гранит и т. п.), а также колец Рашига Х<р = (150/Re) -f- 1,75;

для седел Берля и Инталокс, а также для колец Палля А<р = (160/Re) m -f--f (4,5/Re⁰-¹) m, где tn « 0,85.

Для полидисперсного слоя сферических и округлых частиц Я,<р = (160/Re + -f- 3, l/Re^0,1) (е/р_п)⁰'⁷⁵, где е и е_п— порозности моно- и полидисперсного слоев, а число Re отнесено к среднегармоническому диаметру частиц d_cr:

1

Величина К является функцией режима течения. Если при­нять, что в случае ламинарного режима справедливо выраже­ние (1.16), полученное ранее для потока в прямой трубе, то на­ходим:

I _ ₌ б^Р-ж 3-64р._ж (1 — е) ~ Re ~ аМэРж ~~ 2и> <?р_ж

(Ар)_Ла„ = 72-(Ц^1.^_ф// (б)

Для турбулентного режима трудно выразить величину А, общей формулой. Заметим, кроме того, что верхний предел су­ществования ламинарного режима течения в зернистых слоях значительно ниже, чем при движении жидкости в трубах; он соответствует примерно Re <: 2. Переходному режиму течения в зернистых слоях отвечает меньший интервал значений Re, чем при движении в трубах. Наконец, в выражениях (а) и (б) не поддается расчету коэффициент ср. В связи с этими затруднениями на практике пользуются универсальной полуэмпирической фор­мулой, позволяющей определять перепад давления Ар в неогра­ниченном интервале значений Re:

д_р.[₁Б0-1Ц^-.^₊1.7Б^1.^-]я (1-46) причем v_bv₂, ...,v_n — объемные доли частиц с диаметрами й_ъ d₂, ...,d_n.

17. Псевдоожиженный слой зернистых материалов

Общие положения. Слой зернистого твердого материала, пронизываемый восходящим потоком жидкости или газа, может находиться в двух качественно различных стационарных состоя­ниях. При скорости потока w ниже некоторой критической ве­личины w'o твердые частицы неподвижны (рис. 1-19, а), порозность слоя е неизменна, а его гидравлическое сопротивле­ние Ар, как было показано в предыдущем разделе, возрастает со скоростью до. По достижении скорости до₀ гидравлическое сопро­тивление зернистого слоя становится равным его весу, слой взве­шивается, твердые частицы теряют прежний взаимный контакт, получают возможность перемещаться и перемешиваться; слой расширяется, в нем наблюдается проскакивание газовых пузырей, а на его свободной поверхности — волны и всплески. В этом со­стоянии (рис. 1-19, б) слой напоминает кипящую жидкость, благодаря чему он назван псевдоожиженный, или кипящим. С дальнейшим ростом скорости потока до некоторой величины Доо слой продолжает расширяться и интенсивность дви­жения частиц увеличивается. При до > до₀' сила гидродинамиче­ского сопротивления становится больше силы тяжести и твердые частицы выносятся из слоя. Скорость до₀ называется ско­

ростью начала псевдоожижения, а скорость w'o — скоростью начала уноса.

Непосредственно после перехода в псевдоожиженное состоя­ние слой несколько расширяется, он однороден; его свободная поверхность практически неподвижна, перемещение частиц вы­ражено слабо. С ростом скорости газа и расширения слоя в его

Рис. 1-19. Разновидности псевдоожиженного слоя:

а — неподвижный слой; б — кипящий слой; в — слой с барботажем газовых пузырей? г — поршнеобразиый слой; д — слой со сквозными каналами; е — фонтанирующий слой-1 — корпус аппарата; 2 — опорио-распределительная решетка; 3 — твердые частицы; 4 — газовые пузыри; 5 — газовые «пробки»; 6 — сквозные каналы; 7 — фонтан; 8 —. осевое ядро слоя; 9 — сползающий слой твердых частиц.

объеме появляются газовые пузыри (нарушается однородность), повышающие интенсивность перемешивания частиц и вызывающие колебания свободной поверхности слоя. При этом возрастает порозность слоя, увеличцваются размеры и количество всплыва­ющих газовых пузырей (рис. 1-19, в), резко турбулизирующих слой. При выходе из слоя пузыри, прорывая его свободную по­верхность, вызывают ее колебания и появление всплесков твердых частиц. В узких и высоких слоях восходящие пузыри сливаются и могут занять все поперечное сечение, образуя перемещающиеся вверх газовые «пробки», которые чередуются с движущимися 80

«поршнями» твердых частиц (рис. 1—19, г). В таком поршне-образном псевдоожиженном слое перемешивание твердых частиц в вертикальном направлении затруднено:

Зернистому слою, псевдоожиженному газами, свойственна пульсация давления и порозности в отдельных точках с частотой от 1 до 10 в секунду, вызванная периодическим образованием газовых пузырей. Размер последних возрастает с увеличением диаметра твердых частиц, но уменьшается при добавлении к круп­нозернистому слою порции более мелких частиц. В слое твердых частиц, склонных к агрегированию, при скоростях газа, незна­чительно превышающих wl, образуются сквозные ка­налы (рис. 1-19, д), через которые газ проходит без полного контакта с твердыми частицами. Эти каналы часто либо полностью исчезают при увеличении скорости газа, либо сохраняются лишь в основании слоя (у опорно-распределительной решетки). При высоких давлениях, когда плотности газа и твердых частиц со­измеримы, слой приближается к однородному.

При псевдоожижении зернистых материалов в коническо-цилиндрических и конических аппаратах с углом в вершине более 15—20° возможно образование фонтанирующего слоя (рис. 1-19, е). Здесь газ, проходя преимущественно в цен­тральной зоне слоя, увлекает твердые частицы и фонтаном выбра­сывает их к периферии, где они сползают вниз вдоль боковой поверхности.

Если ожижающим агентом является капельная жидкость, то после псевдоожижения слой постепенно расширяется и остается однородным вплоть до размывания свободной поверхности. В дан­ном случае движение твердых частиц выражено слабее, вдоль оси слоя наблюдается более четкая их сепарация по размерам и плотностям. При псевдоожижении маловязкими жидкостями слоя тяжелых и крупных твердых частиц все же могут возни­кать пульсации давления и порозности.

Очень важную роль в аппаратах с псевдоожиженным слоем зернистого материала играет конструкция опорно-распре­делительной решетки. К последней предъявляется ряд серьезных требований: равномерное распределение ожижа-ющего потока по сечению аппарата и исключение образования застойных зон в слое; предотвращение провала твердых частиц при внезапном уменьшении скорости потока; минимальное ги­дравлическое сопротивление; простота конструкции и легкость эксплуатации. Так как эти требования практически несовме­стимы, то предложено много конструкций решеток, приспособ­ленных к отдельным технологическим процессам.

Конструктивно наиболее простыми являются плоские перфо­рированные, или полусотовые, решетки с круглыми или продолговатыми отверстиями, которые не исключают, однако, образования застойных зон на участках между отверстиями для прохода ожижающего агента (газа, жидкости). Отмеченного

недостатка не имеют сотовые решетки (рис. 1-20, а, б), но они значительно сложнее в изготовлении. На рис. 1-20,'в, 'г показаны схемы двух беспровальных решеток: первая изготовлена из перфорированных плоских металлических листов, а вторая сварена из уголков. В аппаратах небольших размеров оправдало себя газораспределительное устройство в виде

Рис. 1-20. Схемы опорно-распределительиых устройств:

а — полусотовая решетка; б,— сотовая решетка; е — беспровальная уголковая решетка; г — беспровальная плоская решетка; д — конусный распределитель; 1 — диффузор; 2 — коллектор газа; 3 — выход твердого материала; 4 — подвод газа; 5 — защитный конус.

конусного распределителя — диффузора с бо­ковым тангенциальным вводом потока ожижающего агента (рис. 1-20, д). Известно множество более сложных распредели­тельных устройств, применение которых весьма ограниченно. Заметим, что равномерность псевдоожижения зависит не только от конструкции опорно-распределительнсй решетки, но от разме­ров и формы твердых частиц, скорости потока ожижающего агента, способа его подвода и других факторов При прочих равных условиях равномерность псевдоожижения повышается по мере увеличения скорости прохождения ожижающего агента через живое сечение решетки, но при этом возрастает, однако, ее ги­дравлическое сопротивление. На практике доля живого сечения решетки обычно составляет 1—10% от ее площади.

Скорости начала псевдоожижения (w'₀) и начала уноса (W₀). Состояние псевдоожиженного слоя изображается «кривой псевдо­ожижения», выражающей зависимость перепада давления Ар

Рис. 1-21. Кривые псевдоожиження:

а _ идеальная; б — реальная; в — для полндисперсной смеси.

в слое (не считая решетки) от скорости ожижающего агента до (жидкости, газа) в незаполненном сечении аппарата. На рис. 1-21,о показана кривая идеального псевдоожижения моно­дисперсного слоя твердых частиц в аппарате постоянного попереч­ного сечения /_с. Восходящая ветвь OA (прямая при ламинарном течении и кривая при других режимах) соответствует движению ожижающего агента через неподвижный зернистый слой. Абсцисса точки A (w = Wq) выражает скорость начала псевдоожиження. Горизонтальный участок А В изображает псевдоожиженное со­стояние, характеризующееся равенством сил давления потока на слой твердых частиц и их веса; здесь сохраняется Ар = const. Абсцисса точки В выражает скорость начала уноса w'q. При ско­ростях w > w'o твердые частицы выносятся потоком, вес слоя падает и, следовательно, уменьшается Ар.

В реальных условиях кривая псевдоожижения (рис. 1-21, б) отличается от изображенной на рис. 1-21, а. Дело в том, что за пределами Wq величина Ар продолжает некоторое время расти в связи с затратами энергии на преодоление сил сцепления твер­дых частиц, а также на их трение со стенкой и между собой. После перехода слоя в псевдоожиженное состояние сопротивление его мгновенно падает до характерного уровня Ар. Значение пика давления Ля зависит от свойств твердых частиц, геометрической формы аппарата и конструкции опорно-распределительной ре-щетки. Так, в аппаратах постоянного поперечного сечения Ал == - =.(0,05—0,15) Ар; в конусных аппаратах Ал значительно выше. Кривая псевдоожижения, показанная сплошными линиями на рис. 1-21, б, строится по сопряженным значениям Ар и до, непосредственно измеренным при постепенном увеличении ско­рости потока ожижающего агента; в этом случае говорят о к р и -вой прямого хода. Если же строить кривую псевдо­ожижения по сопряженным значениям Ар и w, измеренным при постепенном уменьшении скорости от w"_Q до нуля, то получится кривая, показанная штрих-пунктирной линией на рис. 1-21, б и носящая название кривой обратного хода. Мы видим, что обе кривые совпадают в области развитого псевдоожи­жения, но расходятся вблизи начала псевдоожижения и во всей области w < w'₀, причем отсутствует пик давления. Меньшие значения Ар для неподвижного слоя по кривой обратного хода обусловлены более рыхлой упаковкой слоя в результате пони­жения скорости w.

Заметим, наконец, что в результате неполного псевдоожижения слоя линия на участке от w'₀ до w"₀ может в реальных условиях оказаться не горизонтальной (пунктирные линии на рис. 1-21, б).

(1-в„)* СяЧ . .,. 1-е, РжЮ

Н (а)

Величина Ар — const для всей области скоростей от w'₀ до щ, т. е. в том числе и в точке А (рис. 1-21, а). Для слоя постоянного поперечного сечения высотой Я можно определить Ар по фор­муле (1.46):

Д,= р50^.^₊₁₎₇5_

Здесь w'q — скорость начала псевдоожижения неподвижного слоя твердых частиц диаметром d и порозностью е₀.

С другой стороны, масса рассматриваемого слоя, приходя­щаяся на 1 м² площади его сечения, с учетом выталкивающей силы равна

01 = £(Рт-Рж)(1-е„)Я (б)

где р_т — плотность твердых частиц в слое.

Так как энергия потока ожижающего агента, характеризуемая потерей давления Ар, затрачивается на взвешивание зернистого слоя, то из выражений (а) и (б) находим:

§(Рт-Рж) = 150—^ ^ + 1,75 — ₃

Помножив обе части последнего равенства на й³/р_жу_ж и вы­разив ц_ж в виде \_жр_ж, получим:

g«P(Рт-Рж)_,_кд 1-во ^wo^d . 1.75 К)²<* ^ I5U о * 1 о о

Рж*_ж ²

^Е0 *ж ^е0 *ж

или

_Ar=l50-^Re₀+-^(Re^ (1.47)

Уравнение (1.47) позволяет определить значение Re₀ =» = wod/\_M и, следовательно, искомое значение щ.

В правой части уравнения (1.47) первое слагаемое, как из­вестно, представляет ламинарную составляющую, а второе — турбулентную. О. М. Тодес показал, что без практического ущерба 84 для точности инженерного расчета во втором слагаемом уравне-ния (1.47) можно заменить один Re величиной V (eg/1,75) Аг, поскольку при развитом турбулентном режиме первое слагаемое этого уравнения пренебрежимо мало. Тогда получим:

откуда

Re_n = ^Аг . (1.47а)

Если в последнюю формулу подставить е₀ = 0,4, что харак­терно для неподвижного слоя округлых частиц, то получим:

Re₀ = ^Аг (1.476)

1400 + 5,22 l^Ar

Полидисперсный зернистый слой переходит в псевдоожиженное состояние не при одной фиксированной скорости ожижающего агента, а в некотором интервале скоростей: от w'_H до w'„. При скорости w„, называемой скоростью начала взве­шивания, переходят в псевдоожиженное состояние лишь самые мелкие твердые частицы. При w > w'_H в псевдоожиженное состояние постепенно переходят все более крупные частицы и, наконец, при скорости w'_a, называемой скоростью пол­ного псевдоожижения, весь слой становится псевдо-ожиженным. Заметим, что w'_H обычно выше скорости начала псевдоожижения монодисперсного слоя наиболее мелких ча­стиц w'm, a w'_n — ниже скорости начала псевдоожижения моно­дисперсного слоя наиболее крупных частиц w'_K. Это явление объясняется тем, что крупные частицы препятствуют псевдо­ожижению мелких, но последние, наоборот, способствуют псевдо­ожижению крупных (играют как бы роль «смазки»). В интервале w'„ < w < w'_n сопротивление слоя плавно растет и становится постоянным при w > w'„ (рис. 1-21, в). Скорости w'„ и w'_K не под­даются теоретическому расчету и могут быть приближенно оце­нены по формуле (1.47а) по размерам мелких и крупных частиц.

Скорость начала уноса твердых частиц из монодисперсного псевдоожиженного слоя Wq не поддается точному расчету из-за ее сложной зависимости от множества факторов (размер и форма частиц, содержание и размеры газовых пузырей, профиль скорости потока ожижающего агента в надслоевом пространстве и др.). Явление еще больше усложняется в случае полидисперсного слоя. В связи с этим для приближенного определения w'₀ принимают ее равной скорости витания (осаждения) одиноч­ных частиц. Эту скорость, как уже известно, можно рассчитать для сферических частиц по общей формуле (1.43): Re„ = w'tflh = = 1/(4/30 Аг.

Подставляя значения С, соответствующие различным режимам движения (см. раздел 14), можно рассчитать искомые значе­ния w'o. В случае несферических частиц, как уже сказано ранее, вводят коэффициент их сферичности. Достаточно точные резуль­таты расчета получаются также по формуле (1.43а), справедливой при всех режимах движения. Унос мелких частиц из полидисперс­ного слоя происходит при скоростях, несколько превышающих, а крупных частиц — при скоростях, несколько ниже их инди­видуальных скоростей витания. Большое влияние на величину безвозвратного уноса твердых частиц из псевдоожиженного слоя оказывает высота надслоевого (сепарационного) пространства, где всегда присутствуют как мелкие, так и крупные частицы. Очевидно, при достаточной высоте надслоевого пространства будут уноситься преимущественно мелкие, а при недостаточной высоте также и крупные частицы.

Расширение псевдоожиженного слоя. Псевдоожижение слоя зернистых материалов сопровождается его расширением — уве­личением его объема и порозности е по мере повышения скорости ожижающего агента w. Если объем слоя в неподвижном состоянии равен V₀ (порозность е₀), а в псевдоожиженном — V (порозность е), то степень расширения слоя составляет V/V₀. Однако объем твердого материала V_T одинаков в обоих состояниях слоя, поэтому V_T = V₀ (1 — е₀) = V (1 — е), откуда V/V₀ = (1 — - воУО - в).

В аппарате постоянного поперечного сечения обоим состоя­ниям слоя соответствуют его высоты Я₀ и Н, поэтому V/V₀ =

= Н/Н₀ = (1 - 8₀)/(1 - 8).

Очевидно, для определения степени расширения или высоты псевдоожиженного слоя необходимо знать его порозность е. Чтобы найти е, воспользуемся формулой (1.476), предварительно умножив ее числитель и знаменатель на величину 18/1400 => = 0,0128:

Re₀ = 0,0128 Ar/(l8 + 0,61 1/"о,0128 Аг)

Воспользуемся также формулой (1.43а):

Re₀ = Аг/(18 + о,61 VTt)

Первая из двух последних формул описывает витание частиц в слое с плотной упаковкой (е₀ = 0,4), а вторая — витание оди­ночных частиц (е = 1). Постулируя аналогичный вид выражения при любой порозности в пределах от 0,4 до 1,0, придется заменить число 0,0128 другой величиной f (е), зависящей от порозности. Тогда

Re = [Аг / (е)]/[ 18 + 0,61 УАхЩ] Так как f (е) = 1 при е = 1, что удовлетворяет условию / (е) = е", то полагая для е = 0,4 то же условие 0,4" = 0,0128,

получим п = 4,75. Таким образом, формула принимает следу­ющий конкретный вид:

Re = Ar_e⁴-⁷⁵/(l8 + 0,61 J/Are⁴'⁷⁵) (1-48)

Формула (1.48) хорошо согласуется с опытными данными для однородного псевдоожижения. Применив тот же прием, что и при выводе формулы (1.43а), О. М. Тодес привел формулу (1.48) к следующему виду, более удобному для практических расчетов:

е= (18Re + 0,36Re2/Ar)⁰'²¹ (1.48а)

Заметим, что формулы (1.48) и (1.48а) применимы также для расчета процесса стесненного осаждения твердых частиц в жидких средах (разделение суспензий), чем мы и воспользуемся ниже. Эти формулы, однако, не применимы к неоднородным псевдоожи-женным слоям. Порозность последних определяется по эмпириче­ской формуле: е = е₀ (w/w'₀)^m = е₀\Г". Здесь величина W, рав­ная отношению рабочей скорости ожижающего агента к скорости начала псевдоожижения, носит название числа псевдо­ожижения. Показатель степени т колеблется от 0,05 для мелких частиц до 0,15 — для крупных. Заметим, что на практике порозность неоднородного псевдоожиженного слоя не слишком крупных частиц редко превышает 0,70—0,75 даже при больших значениях W.

18. Движение двухфазных потоков

Двухфазными называются потоки, состоящие из сплош­ной фазы и распределенной в ней дисперсной фазы. Соответственно агрегатному состоянию этих фаз различают потоки двух видов: 1) газ — твердые частицы (газовзвеси), жидкость — твер­дые частицы (суспензии) и 2) газ—жидкость и жидкость-жидкость (эмульсии). Потоки первого типа отличаются постоянством формы и размеров дисперсной фазы (твердых ча­стиц); в потоках второго типа частицы дисперсной фазы (газовые пузырьки, капли) могут изменять свою форму и размеры благо­даря дроблению и коалесценции в зависимости от их физических свойств и скорости. Двухфазные потоки часто встречаются в аппа­ратах для осуществления ряда технологических процессов; их приходится также транспортировать в трубопроводах на различ­ные расстояния.

Математическое описание движения двухфазных потоков встре­чает пока большие затруднения, обусловленные чрезвычайной сложностью структуры этих потоков. Дело в том, что дисперсная фаза, как правило, неравномерно распределена по сечению по­тока; ее локальные концентрации обычно изменяются по длине потока, обе фазы движутся с различными скоростями, оказывая влияние друг на друга. Структура потока еще больше услож­няется в случаях, когда дисперсная фаза состоит из частиц раз-

ных размеров и плотности. В связи с этим инженерные расчеты двухфазных потоков базируются на закономерностях, устанавли­ваемых экспериментальным путем. Ниже мы ограничимся главным образом методом расчета гидравлического сопротивления, встре­чаемого двухфазными потоками при движении в трубопроводах и некоторых аппаратах.

ответвленным трубопроводам к каждому потребителю через от­дельное сепарирующее устройство

При транспортировке зернистого материала на более значи­тельные расстояния, необходимости его забора из различных точек и доставки разным потребителям применяют схему сме­шанного пневмотранспорта, т. е. последовательное сочета­ние обеих рассмотренных схем.

П невмотранспорт и гидротранспорт. Потоки газа и жидкости используют в ряде химических производств для перемещения зернистых материалов с целью их транспортировки на различные расстояния, а также для осуществления физических и химических процессов между обеими фазами. Перемещение зернистых материа­лов газовым потоком называется пневмотранспортом, а жидкостным потоком — гидротранспортом. Оба вида транспорта осуществляются в горизонтальных и вертикальных трубопроводах.

По своему назначению и дальности перемещения зернистого материала различают три типа пневмотранспорта. Для перемеще­ния материала на расстояния до ~100 м из ряда точек к одному потребителю применяют всасывающий пневмотранспорт (рис. 1-22, а), работающий под разрежением до 0,05—0,06 МПа. Здесь зернистый материал увлекается из многих заборных точек всасываемым потоком воздуха и, отделившись в сепарирующем устройстве (циклоне), стекает в бункер, а оттуда направляется к потребителю. Воздух, пройдя обеспыливающий фильтр, отса­сывается воздуходувкой и выбрасывается в атмосферу.

Для транспортировки зернистых материалов на сотни метров из одной точки к многим потребителям применяют схему нагне­тательного пневмотранспорта, работающую под давлением 0,3—0,4 МПа (рис. 1-22, б). Здесь зернистый материал непрерывно вводится в нагнетательную линию воздуходувки и отводится по

Наиболее простым по механизму действия и в эксплуатации является вертикальный пневмотранспорт (рис. 1-23, а). Здесь зернистый материал, подаваемый питателем, увлекается восходящим потоком газа, разгоняется на участке /_р и достигает постоянной характерной скорости и, с которой перемещается по трубе вверх. На выходе из трубы зернистый материал отде­ляется от газа в сепарирующем устройстве, а газ после обеспыли­вания выбрасывается из системы. Таким образом, пневмотранс-портный трубопровод состоит из двух участков. В первом из них длиной /_р, где происходит разгон твердых частиц до постоянной скорости и (разгонный участок), концентрация зернистого ма­териала уменьшается снизу вверх. На втором (стабилизирован­ном) участке длиной 1_С скорость и концентрация зернистого ма­териала в потоке постоянны.

При горизонтальном пневмотранспорте твердые ча­стицы в трубопроводе под действием силы тяжести смещаются ближе к его основанию (рис. 1-23, б), а при малых скоростях газа они могут выпадать из потока или перемещаться «по дну» трубы «дюнами» (рис. 1-23, в). В зависимости от размера, плотности частиц и скорости газа «дюны» могут появляться на разгонном

участке и исчезать на участке стабилизированного потока (рис. 1-23, г).

Объемная доля твердых частиц В_т в потоке газовзвеси, назы­ваемая объемной концентрацией, колеблется на практике от 0,01 до 0,04 (от 1 до 4%). Очевидно, если порозность этого потока равна е, то В_т = 1 — е. В инженерных расчетах часто пользуются расходной концентрацией В_р, выражающей отношение массового расхода твердого материала (в кг/ч) к массовому расходу транспортирующего газа. Так как газ и твердые частицы движутся с разными скоростями, то расход­ная массовая концентрация В_р отличается от истинной В_н, которая выражает массу твердых частиц в потоке газовзвеси, приходя­щуюся на 1 кг газа. Между величинами В_т и В_и существует сле­дующее соотношение

В - Р^тр| ₌(1—е)р_т ^Ри (1-Рт)Рр Фг

в котором р_т и р_г — плотности твердого материала и газа.

Если на участке трубопровода длиной / и поперечным сече­нием / движется поток газа со скоростью w, отнесенной к пустому трубопроводу, а массовый расход твердого материала через трубу равен С_т кг/ч и время прохождения им участка / равно т ч, то с учетом Их = и получим: В_р = О_т//дор_г; 6_И = G_Tx///p_re = = О_т//ыр_ге, откуда В_и = В_р (w/иг).

Скорость движения твердых частиц и относительно потока легко оценить, так как при вертикальном пневмотранспорте она близка к скорости витания w₀, определяемой по формуле (1.43) или (1.43а). Следовательно, в вертикальном пневмотранс­порте и — w —w₀. При Пользовании формулой (1.43) принимают для сферических частиц £ = 24/Re₀ в случае ламинарного режима, £ = Ю/Reo'⁵ — в случае переходного и £ — 0,44 — в случае турбулентного режима. Напомним, что формула (1.43а) приме­нима ко всем режимам течения. Формулы (1.43) и (1.43а) при­менимы также к частицам неправильной формы, если ввести коэффициент сферичности, или фактор формы.

Для устойчивого пневмотранспорта рекомендуется скорость газа w, превышающая в 1,5—2 раза скорость витания w₀ самой крупной частицы транспортируемого зернистого материала. При гидротранспорте допустимо отношение w/w₀ > 5.

Отличительной особенностью гидротранспорта является зна­чительно меньшее отношение плотностей транспортируемых твер­дых материалов и транспортирующей среды (около 2 вместо ~2000). Вследствие этого гидротранспорт требует значительно меньших скоростей потока, чем пневмотранспорт, допускает зна­чительно большее значение В_р и используется для перемещения материалов на расстояния, измеряемые километрами и десятками километров. Заметим также, что в случае гидротранспорта жидкость и твердые частицы перемещаются с практически одина­ковой скоростью, близкой к скорости витания твердых частиц.

Потеря давления Ар в вертикальном трубопроводе высотой / для пневмо- и гидротранспорта складывается из статического давления столба твердых частиц и жидкости (Ар_ст), потерь на тре­ние потока транспортирующего агента о стенки (Ар_г), на трение между твердыми частицами и транспортирующим агентом (Ар„), создание ускорения частиц на разгонном участке (Ар_р): Ар — : = Ар_ст + Ар_ч + Ар, + Ар_р.

Обозначив через р_ж плотность жидкости, получим:

_{Дрст = +} П*а _{= t [РтРт + (1} _ _{Рт) рж] g}

В случае пневмотранспорта величина (1 —6_Т) p_cg очень мала

0,88Р_Р

0,2 +

-0,2 ^;тр

Re

Величина Ар_ч очень мала в случае гидротранспорта из-за близости скоростей твердых частиц и жидкости, но может ока­заться существенной при пневмотранспорте. Метод теоретиче­ского расчета величины Ар_ч пока отсутствует и в инженерных расчетах используют эмпирические формулы для определения суммы Ар_т -J- Ар_ч. Одна из таких формул для стабилизированного участка имеет следующий вид:

Лп _1_л„ 1 ^/с JG + GAJL- г -

Aft- + Лрч = -J-^ 27 " ' ^с Здесь 1_С и d_TP —длина и диаметр стабилизированного участка трубопровода; G и G_T—массовые расходы несущей среды и твердого материала; / — площадь поперечного сечения трубы; w —скорость потока; причем критерий Рейнольдса, базирующийся на диаметре трубы, Re_Tp = wd_Tp/v.

Для расчета потери давления на разгонном участке пользуются следующей эмпирической формулой: Ар_р = 3,lFr°'^—

²²6_p (ш²/2) р, где Fr = gd_rvi/wl; w_B — скорость витания транспортируемых твер­дых частиц; р — плотность несущей среды.

При горизонтальном пневмо- и гидротранспорте перемещаемые твердые частицы имеют не только горизонтальную составляющую скорости ш_|0р, но и вертикальную, обусловленную силой тяжести. Между величиною w_IO]> и средней скоростью несущего потока ш существует следующая зависимость:

~ ■+«»(*-'Г■(^П'+тйа

где Fr и Fr₀ базируются иа средней скорости потока и иа скорости свободного осаждения частиц.

Потеря давления Ар в горизонтальном пневмо- или гидропро­воде длиной / и диаметром d_Tp слагается из потери давления при движении одного лишь несущего потока (газа, жидкости) Ар_г

участке и исчезать на участке стабилизированного потока (рис. 1-23, г).

Объемная доля твердых частиц р\ в потоке газовзвеси, назы­ваемая объемной концентрацией, колеблется на практике от 0,01 до 0,04 (от 1 до 4%). Очевидно, если порозность этого потока равна е, то Р_т = 1 —е. В инженерных расчетах часто пользуются расходной концентрацией Р_р, выражающей отношение массового расхода твердого материала (в кг/ч) к массовому расходу транспортирующего газа. Так как газ и твердые частицы движутся с разными скоростями, то расход­ная массовая концентрация Р_р отличается от истинной Р„, которая выражает массу твердых частиц в потоке газовзвеси, приходя­щуюся на 1 кг газа. Между величинами Р_т и Р_и существует сле­дующее соотношение

о _ В_тр, _(' —в)р_т

^Р" (1-Рт)Рг Фг

в котором р_т и р_г —плотности твердого материала и газа.

Если на участке трубопровода длиной / и поперечным сече­нием /движется поток газа со скоростью w, отнесенной к пустому трубопроводу, а массовый расход твердого материала через трубу равен G_T кг/ч и время прохождения им участка / равно т ч, то с учетом Их = и получим: Р_р = О_т//дор_г; Р„ = 0,_гт///р_ге = = С_т//«р_ге, откуда Р„ = Р_р (w/ue).

Скорость движения твердых частиц и относительно потока легко оценить, так как при вертикальном пневмотранспорте она близка к скорости витания w₀, определяемой по формуле (1.43) или (1.43а). Следовательно, в вертикальном пневмотранс­порте и = w —w₀. При Пользовании формулой (1.43) принимают для сферических частиц £ = 24/Re₀ в случае ламинарного режима, £ = Ю/Reo'⁵ — в случае переходного и С = 0,44 —в случае турбулентного режима. Напомним, что формула (1.43а) приме­нима ко всем режимам течения. Формулы (1.43) и (1.43а) при­менимы также к частицам неправильной формы, если ввести коэффициент сферичности, или фактор формы.

Для устойчивого пневмотранспорта рекомендуется скорость газа w, превышающая в 1,5—2 раза скорость витания w₀ самой крупной частицы транспортируемого зернистого материала. При гидротранспорте допустимо отношение w/w₀ > 5.

Отличительной особенностью гидротранспорта является зна­чительно меньшее отношение плотностей транспортируемых твер­дых материалов и транспортирующей среды (около 2 вместо ~2000). Вследствие этого гидротранспорт требует значительно меньших скоростей потока, чем пневмотранспорт, допускает зна­чительно большее значение Р_р и используется для перемещения материалов на расстояния, измеряемые километрами и десятками километров. Заметим также, что в случае гидротранспорта жидкость и твердые частицы перемещаются с практически одина­ковой скоростью, близкой к скорости витания твердых частиц.

Потеря давления Ар в вертикальном трубопроводе высотой / для пневмо- и гидротранспорта складывается из статического давления столба твердых частиц и жидкости (Ар_ст), потерь на тре­ние потока транспортирующего агента о стенки (Ар_г), на трение между твердыми частицами и транспортирующим агентом (Ар_ч), создание ускорения частиц на разгонном участке (Ар_р): Ар =

= Л-Рст + кРч + Ар_ч+ АРр.

Обозначив через р_ж плотность жидкости, получим:

Д_Рст = /Ф-в>М + 1И*2& = , _[РтРт + (, _ ь, р_{ж] g}

В случае пневмотранспорта величина (1 —Р_т) p_rg очень мала и Ар_ст = /p\p_rg.

0,2 +

Rer_p⁰'(1 + ММ

Величина Ар_ч очень мала в случае гидротранспорта из-за близости скоростей твердых частиц и жидкости, но может ока­заться существенной при пневмотранспорте. Метод теоретиче­ского расчета величины Ар_ч пока отсутствует и в инженерных расчетах используют эмпирические формулы для определения суммы Ар_т -j- Ар_ч. Одна из таких формул для стабилизированного участка имеет следующий вид:

0,88[5р

Др_т + Др_ч = Ас -j— 2f ' ' Здесь /_с и d_TP —длина и диаметр стабилизированного участка трубопровода; G и G_T—массовые расходы несущей среды и твердого материала; /—площадь поперечного сечения трубы; w —скорость потока; причем критерий Рейнольдса, базирующийся на диаметре трубы, Re_Tp = wd_rp/v.

Для расчета потери давления на разгонном участке пользуются следующей эмпирической формулой: Ар_р = 3,lFr°'²

^с

²²P_p (ш²/2) р, где Fr = gd_rp/wl; w_B —скорость витания транспортируемых твер­дых частиц; р — плотность несущей среды.

При горизонтальном пневмо- и гидротранспорте перемещаемые твердые частицы имеют не только горизонтальную составляющую скорости ш,-_ор, но и вертикальную, обусловленную силой тяжести. Между величиною ш_гор и средней скоростью несущего потока ш существует следующая зависимость:

' «У_ор 1

_{■~"'+°*(*-'П£П' + *?к)}

где Fr и Fr₀ базируются на средней скорости потока и на скорости свободного осаждения частиц.

Потеря давления Ар в горизонтальном пневмо- или гидропро­воде длиной / и диаметром d_ip слагается из потери давления при движении одного лишь несущего потока (газа, жидкости) Ар_г

и потери давления, обусловленной движением транспортируемых твердых частиц Др_т: Ар = Ар_г -f Ар_т.

Величина Ар_г определяется ранее изложенными методами (см. разделы 10 и II данной главы), а величина Ар_т — по уравне­нию: Ар_т = [^_T(//d_Tp)] [(до²/2)р], причем для пневмотранспорта только газа при тех же скорости, температуре и давлении двух­фазного потока. Величины Ф_ж и Ф_г, называемые коэффи­циентами двухфазности, показывают, следовательно, во сколько раз гидравлическое сопротивление двухфазного потока больше сопротивления однофазного жидкостного потока (Ф_ж) или однофазного газового потока (Ф_г) при одинаковых скоростях.

Рис. 1-24. Структуры горизонтальных (а) и вертикальных (<Г) газожидкостных потоков! / _ пузырьковый; 2 — поршневой; 3 — слоистый; 4 — слоистый волнообразный; 5 -» губчатый; 6 — пробковый; 7 — кольцевой; 8 — дисперсный; 9 — мембранообразный} 10 — газ; 11 — жидкость.

Численные значения Ф_ж и Ф_г, установленные опытным путем, приведены на рис. 1-25 в зависимости от соотношения [(Ар//)_ж : : (Ар//)_г1⁰⁵, косвенно отражающего концентрации компонентов двухфазной смеси. Разумеется, в случае вертикального трубопро­вода для определения полного давления необходимо добавить к величине (Ар)₂ гидростатическое давление столба газожидкост­ной смеси высотой /.

На рис. 1-25 приведены четыре кривые для отсчета значений Ф_ж и Ф_г соответственно четырем возможным режимам течения:

a w_rop \ w ) ф

гор

а для гидротранспорта

^1/3 "_г-4/3

Достоинствами пневмо- и гидротранспорта зернистых мате­риалов являются простота устройства и высокая удельная произ­водительность, недостатками —эрозия трубопроводов и повы­шенный расход энергии (в сравнении с механическими транспор­терами), в случае пневмотранспорта —также еще возникновение электростатических зарядов.

Потоки газ—жидкость и жидкость—жидкость в трубопроводах. Потоки газожидкостные и гетерогенных жидких смесей очень разнообразны по структуре. В зависимости от физических свойств, объемных концентраций и режима движения обе фазы могут быть сплошными или одна из них —дисперсной (газовые пузырьки в потоке жидкости, жидкие капли в потоке другой несмешива-ющейся жидкости). Движение рассматриваемых двухфазных сме­сей в отличие от потока газ (жидкость) — твердые частицы ослож­няется деформацией частиц дисперсной фазы, а также возмож­ностью их коалесценции и повторного диспергирования.

На рис. 1-24 схематически показаны наблюдаемые структуры газожидкостных потоков в горизонтальных (рис. 1-24, а) и вер­тикальных (рис. 1-24, б) трубопроводах, расположенные в по­рядке нарастания объемной концентрации газовой фазы. Опытами установлено, что восходящие и нисходящие газожидкостные по­токи имеют при прочих равных условиях одинаковые структуры. Границы отдельных структур зависят не только от объемных кон­центраций обеих фаз, но также от их физических свойств, глав­ным образом от вязкости жидкости и межфазного поверхностного натяжения. Количественные параметры этих границ не поддаются теоретическому расчету.

Для определения потери напора в газожидкостном потоке пользуются эмпирическими зависимостями, полученными путем статистического обобщения экспериментальных данных. Наиболее простой и достаточно достоверной является следующая зависи­мость:

(Др/0₂ = Ф_ж (Ар//)_Ж = Ф? (Ар/0г

Здесь (Ар/7)_ж и (Ар//)_г — потери давления на I м трубопровода длиной I м в случае движения одной лишь жидкости и одного

1) обе фазы движутся турбулентно (Ф_тт); 2) жидкостный поток ламинарный, газовый —турбулентный (Ф_лт); 3) жидкостный — турбулентный, газовый —ламинарный (Ф_тл); 4) оба потока — ламинарные (Ф_лл)- Как видно из рис. 1-25, значения Ф_лт и Ф_тл практически совпадают.

Двухфазные потоки с дисперсной жидкой фазой (капли жид­кости в потоке газа) подобны газожидкостным потокам с дисперс-

Рис. 1-25. Вспомогательный график для расчета перепада давления в газожидкостиых потоках.

ной газообразной фазой. Разница состоит лишь в том, что в пер­вом случае дисперсная фаза имеет большую плотность, чем сплош­ная, поэтому сила сопротивления со стороны газа меньше инер­ционной силы. По этой причине поведение капель в газовом потоке сильно зависит от сообщенного им начального импульса. Устойчивость капли в газовом потоке определяется соотношением инерционных и поверхностных сил и характеризуется значением критерия Вебера We = p_rw²d/<y, где р_г плотность газа, w — относительная скорость капли, d —диаметр капли. При We > > 12 капля теряет устойчивость и дробится. Максимальный диаметр устойчивой капли при Re = (d_MaKCw/\) > 1000, по опыт­ным данным, составляет: d_MaKC = v/w l/4o/(g (р_ж — p_r) ]. Двух­фазные потоки с дисперсной жидкой фазой нестабильны; капли многократно коалесцируют и вновь дробятся, а также выпа­дают из газового потока.

Гидравлическое сопротивление при движении двух несмеши-В2ЮЩИХСЯ жидкостей (Ар//)₂ ^в отличие от газожидкостных смесей может быть меньше, чем в случае однофазного потока. Теорети­ческий расчет величины (Ар//)₂ пока невозможен и ее определяют при помощи опытного коэффициента Ф_в из соотношения (Ар/7)₂ = =Ф!(Ар//)_в, где (Ар//)_в — удельный перепад давления при движении наиболее вязкого компонента смеси с данным расходом. Величина Ф_в зависит от отношения Ар_в/Ар_н, где Ар_н — перепад давления при движении менее вязкого компонента с данным расхо­дом. Это отношение, естественно, отражает концентрации ком­понентов двухфазного жидкого потока. Значения Ф_в, найденные в результате многочисленных опытов, приведены в следующей таблице:

\ Ар„ )	0,02	0,04	0,06	0,08	0,1	0,2	0,4
	40	30	22	18	12	5,5	3,2
\ Арн )	0,8	1,0	2,0	4,0	10,0	20,0	100,0
Фв	1,8	1,6	1,3	1,1	1,0	1,0	1,0.

Встречное движение (противоток) свободно падающей жидкой пленки и газового потока. При противотоке двухфазных систем (например, нисходящий поток жидкости и восходящий поток газа) наблюдаются главным образом две структуры: пленоч­ная и дисперсная. В отличие от прямотока, допуска­ющего любое соотношение объемных расходов обеих фаз, при противотоке это соотношение ограничено. Легко представить себе, что при достаточно большой скорости"и плотности газового потока нисходящий внутренний поток жидкости может быть не только остановлен, но и обращен вверх (увлечен газом). Таким образом, В случае противотока двухфазной системы необходимо определить также предельно возможные объемные расходы обеих фаз. Обе искомые величины зависят не только от скоростей и физических свойств жидкости и газа, но и от геометрической формы ка­налов, в которых встречные фазы движутся.

Здесь мы ограничимся рассмотрением ламинарного движения свободно падающей пленки жидкости навстречу восходящему потоку газа, что нередко встречается в химических аппаратах различного назначения (рис. 1-26, а).

Для жидкой пленки толщиной dx, как и в разделе 12 данной главы, напишем уравнение динамического равновесия:

, d% . (а)

d%_T = -pg dx = ,u dx

■ откуда w — (— pg/2p) x² + C,x + C₂; p —плотность жидкости. Так как w = 0 при ^ = 0 и = - у- при х = б, где т_м —

напряжение трения на границе жидкость—газ, то уравнение (а) профиля скоростей в поперечном сечении пленки примет вид: pg6² / х 1 х² т_м х \ „.

где р — плотность жидкости.

Поверхностная скорость жидкости на межфазной границе, где х = б, выразится так:

pg<5² / . , т

Легко видеть, что при т_м = 0 выражение (в) переходит в ранее выведенное выражение для свободно падающей пленки^ жидкости

при отсутствии встречного потока газа (раздел 12 данной главы); профиль скоростей — параболи­ческий (рис. 1-26, б). При ^тм/р£б = 0,5 поверхностная ско­рость пленки w_M = 0, но ее про­межуточные слои, как следует из уравнения (б), сохраняют движение вниз (рис. 1-26, б).

Рис.

1-26. Противоток жидкой пленки и газа: схема противотока; 6 — профиль скоро-

стей в сеченин пленки.

С увеличением xjpgb все большее количество жидкости увлека­ется вверх газовым потоком и меньшее ее количество продолжает двигаться вниз. Так, при т_м/р£б = 19/20 только ¹/₁₀ толщины пленки сохраняет незначительную скорость течения вниз (д.76 = = 0,1), а при T_M/pg6 = 4 вся пленка'увлекается газом вверх со значительной скоростью (рис. 1-26, б).

При помощи уравнения (б) найдем среднюю скорость движения пленки

в в

If, pg6 f / X 1 X² X_M X\. pgO^a / 1 Тм \

о о

Следовательно, расход жидкости, приходящийся на 1 м ши­рины пленки, выразится так:

".-*^(т-&)

Величина т_м может быть рассчитана по потере давления газа Ар, так как т_м = d Ар/41, причем Ар = IX (lid) (w_rl2) р_г].

Для потока газа.внутри трубы диаметром d навстречу стека­ющей пленке жидкости толщиной б по данным многочисленных экспериментов можно принять: X — 358/ф² -f- 0,205/ф^0,5, где

причем Re_r = [ш_гр_г (d — 26) ]/p_r; Re = 4V/ndv; V — объемный расход жидкости в трубке, м³/с. В последней формуле С = 4,76 и /г = 0,6 при Re Ss 40; С = 1,31 и п = 0,25 при Re < 40.

Полагая т„ = 0, получим ранее выведенное выражение для стекающей пленки при отсутствии встречного потока газа (раз­дел 12 данной главы).

Условия, соответствующие переходу противотока в восходящий прямоток обеих фаз (жидкая пленка увлекается газовым потоком вверх), могут быть тео­ретически рассчитаны по уравнению (б). Результаты расчета, однако, часто рас­ходятся с опытом, так как из-за волнообразной поверхиостя пленки срыв капель жидкости начинается при скоростях ниже рассчитанных. В инженерной прак­тике условия перехода противотока в восходящий прямоток жидкости и газа определяются по следующей эмпирической формуле, построенной на основании результатов обширных экспериментов:

_{^^(?)М(ЭТ«В(4),ЛЧ}

где Re_r — число Рейнольдса для газового потока при его искомой скорости; Re — число Рейнольдса для стекающей жидкой пленки; R — радиус цилиндра (трубы), по внутренней поверхности которого течет пленка толщиной 6; т = = 1/3 и к = 58,2 при Re < 400; т= 0,5 и к = 157,7 при Re> 400.

19. Структура потоков и распределение времени пребывания жидкости в аппаратах

Движение жидкости в трубопроводах, как было показано выше, характеризуется неравномерным профилем скоростей в живом сечении потока. Так как частицы вдоль оси потока движутся быстрее, чем вблизи стенок, то время пребывания их в трубопроводе соответственно меньше. Характер распределе­ния частиц потока по времени их пребывания усложняется в слу­чае турбулентного течения из-за хаотического движения частиц, сложной формы их траекторий и пульсации скоростей. Структура потока особенно усложняется при движении жидкости в аппара­тах, где она встречает на своем пути различные препятствия в виде слоев зернистых материалов (например, катализаторов), насадок, распределительных устройств и т. п. Очевидно, слишком корот­кое время пребывания одних и чрезмерно продолжительное пребывание других частиц жидкости в рабочем объеме аппарата приводит к понижению степени химического превращения, про­теканию нежелательных побочных реакций, к незавершенности осуществления физических процессов и уменьшению производи­тельности аппаратов. Заметим, что при прочих равных условиях на структуру потока в аппаратах оказывают большое влияние геометрические размеры последних; без учета этого обстоятель­ства невозможен переход от лабораторных моделей к производ­ственным агрегатам.

Теоретическое описание поля скоростей в производственных аппаратах встречает пока непреодолимые затруднения, а его не­посредственное измерение большей частью практически невоз­можно. Для решения рассматриваемой задачи прибегают к опыт­ному нахождению распределения частиц потока жидкости по времени их пребывания в аппарате. С этой целью в поступающий

S6

4 Н И, Гельперии

97

поток жидкости вводят единовременно (импульсный метод) или равномерно в течение некоторого времени (ступенчатый метод) индикатор (соли, красители, радиоактивные вещества)* и фиксируют во времени т его концентрацию с в выходящем потоке. Получаемые при этом выходные кривые (или кри­вые отклика), характеризующие распределение частиц

Рис. 1-27. Модели структуры потоков:

а — модели идеальною вытеснения (/) и пе­ремешивания (2); б — общий вид реальной выходной кривой; в — ячейковая модель; г — диффузионная модель

а

со
II
с
	л=20

жидкости по времени их пребывания в аппарате, оказываются часто достаточными для технологических расчетов. Анализ и сопоставление выходных кривых с некоторыми физическими моделями дают также приближенное представление о структуре потока. Рассмотрим некоторые из этих моделей, простейшими из которых являются модели идеального вытеснения и идеального перемешивания.

Модель идеального вытеснения предпола­гает, что частицы жидкости во всех точках каждого живого сече­ния и во всех сечениях потока движутся параллельно друг другу с одинаковой скоростью w, не перемешиваясь, подобно твердому поршню В этом случае время т пребывания всех частиц жидкости в аппарате одинаково и постоянно. Легко видеть при этом, что индикатор, введенный в начальное сечение потока, по истечении времени т целиком окажется в выходном сечении, сохранив свою начальную концентрацию с_я; выходная кривая представится прямой, параллельной оси с (рис. 1-27, а). Если в аппарате с пло­щадью поперечного сечения / и высотой (длиной) h жидкость перемещается с постоянной скоростью w, то т = h/w = hf/wf = — Va/V-x, т. е. время пребывания всех частиц жидкости в аппа­рате равно отношению его рабочего объема V_a к объемному рас­ходу жидкости У_ж.

К рассматриваемой модели приближается структура потока в аппаратах, выполненных из длинных труб небольшого диаметра, заполненных какой-либо зернистой насадкой (катализатором, сорбентом и т. п.).

Модель идеального перемешивания пред­полагает постоянство состава жидкости во всех точках рабочего объема аппарата; следовательно, такой же состав будет иметь жидкость на выходе из аппарата. Допустим, что в рабочем объеме аппарата V_a путем импульсного ввода была создана концентрация индикатора с. В дальнейшем поток жидкости К_ж будет уносить (вымывать) за время dx количество индикатора V_Mc dx, равное уменьшению его количества в рабочем объеме аппарата —V_adc, т. е.

]/_жс dx = —V_a dc; dc/c ~ — (V_KIV_a) dx — —dx/x_c где V_a/V_x — T_cp — среднее время пребывания жидкости в аппарате.

Интегрируя последнее уравнение в пределах от с_н до кон­центрации Ст в произвольный момент времени т и от нуля до т, получаем:

с_х = с„ ехр (—т/т_ср) (а)

Уравнение (а) удобно записать в безразмерных координатах с%/с_н = Сх и т/т_Ср = 0т:

С_х = ехр (-вт) (б)

Уравнения (а) и (б) позволяют найти концентрацию индикатора С% по истечении любого отрезка времени т, а следовательно, относительное количество индикатора, вынесенное из аппарата потоком жидкости за время т. Эти уравнения показывают также, что полное вымывание индикатора из рабочего объема аппарата практически невозможно, поскольку х — со при Сх = 0. Таким образом, при идеальном перемешивании одна часть индикатора остается в аппарате больше, а вторая меньше среднего времени пребывания (т_ор, 0_ор). Выходная кривая для рассматриваемой модели показана на рис. 1-27, а.

Структура потока в реальных аппаратах редко соответствует рассмотренным моделям, так как поступательное движение жидкости обычно сопровождается ее частичным перемешиванием в поперечном и продольном направлениях. Выходная кривая имеет в общем случае вид, показанный на рис. 1-27, б. Индикатор, импульсно введенный при входе потока, появляется на выходе из аппарата лишь по истечении некоторого времени <с₀ (или f)₀). В дальнейшем выходная концентрация индикатора возрастает до некоторой максимальной величины С_макс, после чего падает, асимптотически приближаясь к нулю при т—>в. Заметим, что площадка под кривой С — f (в), ограниченная двумя какими-либо ординатами | С dQ (см. рис. 1-27, б), выражает относительное

количество индикатора, вынесенное из аппарата потоком жидкости на протяжении времени 0₂ — 6₁₍ а вся площадь под кривой

00

J CdQ = 1. о

Для математического описания реальных выходных кривых прибегают к другим физическим моделям, проверяя экспери­ментальным путем их адекватность действительному распределе­нию времени пребывания жидкости в аппарате. Одной из таких моделей, применимой к каскаду последовательно соединенных аппаратов с мешалками, а также к секционированным аппаратам, является ячеечная модель. Последняя рассматривает весь аппарат состоящим из ряда (п) последовательно соединенных ячеек одинакового объема, в каждой из которых жидкость иде­ально перемешана, но отсутствует перемешивание между ячей­ками. Так как среднее время пребывания жидкости в каждой ячейке одинаково и равно r_cJn, то для произвольной t-й ячейки

1 dC_{t п} справедливо уравнение: — • —^g- = ^-г-

Для аппарата с числом ячеек п можно написать систему из п аналогичных уравнений, имеющую следующее решение:

Уравнение (в), позволяющее определить концентрацию инди­катора (при импульсном вводе его) на выходе из п-ячеечного аппарата в любой момент времени, содержит один параметр п. Последний зависит от конструкции и размеров аппарата и условий его работы; он определяется опытным путем. Легко видеть, что при п = 1 ячеечная модель переходит в модель идеального пере­мешивания, а при п — оо—в модель идеального вытеснения. Вид выходных кривых при разных значениях п показан на рис. 1-27, в.

Применительно к несекционированным аппаратам часто оправ­дывается диффузионная модель. Последняя пред­полагает, что отклонение распределения времени пребывания частиц потока жидкости от распределения при идеальном вытес­нении обусловлено обратным перемешиванием, т. е. частичным перемещением жидкости навстречу потоку. Исходя из аналогии с явлением диффузии в гомогенном потоке жидкости, процесс продольного перемешивания жидкости описывают урав­нением диффузии, принимая в качестве меры интенсивности ко­эффициент продольного перемешивания D„, аналогичный коэф­фициенту молекулярной диффузии D. Уравнение диффузии в по­токе жидкости будет рассмотрено в главе IX.

Применительно к импульсному вводу индикатора это уравне­ние имеет следующее решение:

_ т/Тёц" Г Ре_п (9—1)2-1

^{С=К1л¥ехР[ Г—^-в^Ч <г>}

где Ре_п = wH/D_a — критерий Пекле для продольного перемешивания, являю­щийся аналогом одноименного критерия для процессов массообмена (глава IX); w — средняя скорость потока; Н — высота (длина) аппарата.

Величина Ре_п, зависящая от конструкции и размеров аппа­рата, определяется по опытным данным. Зная эту величину, можно по уравнению (г) рассчитать распределение времени пре­бывания жидкости в аппарате. Очевидно, что для модели идеаль­ного вытеснения D_a = О и Ре_п = оо, а для модели идеального перемешивания D_a = со и Ре_п = 0. Вид выходной кривой для диффузионной модели показан на рис. 1-27, г.

В практике нередки случаи, когда ни одна из приведенных моделей не адекватна реальным условиям. В связи с этим предло­жен ряд других, более сложных моделей, сущность и математиче­ское описание которых приведено в специальной литературе (см., например, Кафаров В. В. Методы кибернетики в химии и химической технологии. М., Химия, 1976).