Глава I

Элементы технической гидравлики

А. ПРЕДМЕТ И ЗАДАЧИ ТЕХНИЧЕСКОЙ ГИДРАВЛИКИ

Законы равновесия и движения материальной частицы, со­ставляющие предмет теоретической механики, одинаково Спра­ведливы для твердых, жидких и газообразных частиц. Однако в применении к совокупности частиц математическое описание этих законов существенно различно для разных агрегатных состоя­ний вещества. Это обусловило разделение механики на три от­дела: механику твердого тела, механику жидкого тела (гидроме­ханика), механику газообразного тела.

Общим для жидких (капельные жидкости) и газообразных тел является свойство текучести, т. е. неспособность самостоя­тельно удерживать свою форму. Первые, однако, трудно поддаются сжатию и имеют в гравитационном поле граничную поверхность, а вторые — сжимаемы и целиком заполняют сосуд, в котором по­мещены. Законы гидромеханики, которые относятся к явлениям, не связанным со сжимаемостью, одинаково применимы к капель­ным жидкостям и газам.

Для математического описания законов равновесия и движения в теоретической механике оперируют абсолютно твердым изо­тропным телом. С той же целью гидромеханика вводит понятие об идеальной жидкости. Последней приписывают свой­ство абсолютной текучести, т. е. полное отсутствие сил сцепления между частицами, имеющими, следовательно, возможность сво­бодно перемещаться друг относительно друга. Из этого определе­ния следует, что идеальная жидкость совершенно не сопротив­ляется растяжению и сдвигу. В то же время предполагается, что идеальная жидкость абсолютно несжимаема.

Заметим, что реальные жидкости, встречающиеся на практике, в противоположность идеальной в некоторой мере сопротивляются растяжению (свойство липкости) и сдвигу (свой­ство вязкости), будучи более или менее сжимаемыми. По этой причине уравнения гидромеханики, выведенные для идеальной жидкости, могут быть применены к реальным жидкостям лишь после введения поправочных коэффициентов и даже дополнитель­ных членов, проверенных опытом. Иногда приходится заменять строгие теоретические решения приближенными, но удовлетворяю­щими практическим требованиям. Вся эта совокупность теорети­ческих и практических сведений о равновесии и закономерностях движения реальных жидкостей составляет предмет технической гидравлики.

Вещества, подвергающиеся различным видам обработки в хи­мических производствах, находятся часто в жидком состоянии. Эти разнообразные жидкости приходится хранить и транспорти­ровать по трубопроводам, перемешивать и разделять, нагревать и охлаждать, испарять и диспергировать; они контактируют между собою, с газами, парами и твердыми веществами, исполь­зуются в качестве теплоносителей и хладоагентов, растворителей и химических реагентов. Рациональное аппаратурно-технологи-ческое оформление перечисленных и множества других процессов невозможно без учета законов равновесия и движения жидкостей. В связи с этим курс основных процессов и аппаратов химической технологии целесообразно начинать с изучения именно техниче­ской гидравлики.

Подобно механике твердого тела можно разделить гидромеха­нику на три части: статику, кинематику и динамику. Истори­чески, однако, сложилось так, что кинематику жидкости не выде­ляют отдельно, а присоединяют к динамике. Таким образом, гидро­механика, а также техническая гидравлика делятся на две части: гидростатику и гидродинамику. В первой части рассматриваются условия равновесия покоящейся жидкости, а во второй части — законы ее движения.

Б ОСНОВНЫЕ ФИЗИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА КАПЕЛЬНЫХ ЖИДКОСТЕЙ

Вес жидкости в единице ее объема будем называть удел ь-нымвесом(в Н/м³):

y = G/V

где G — вес жидкости; V — объем жидкости.

Массу жидкости в единице ее объема назовем плотностью (в кг/м³):

p = M/V

где М — масса.

Так как М = Gig, где g — ускорение свободного падения p = G/Vg = y/g или y = pg

Между удельным объемом жидкости v, т. е. объемом единицы массы, и ее плотностью существует простое соотношение:

v = V/M = 1/р или pv = 1

Коэффициент температурного расшире­ния жидкости р_т, выражающий изменение ее объема при повы­шении (или понижении) температуры на 1 °С, обычно очень мал. Так, в интервале 0—100 °С для воды р\ = 208-10^-6, для глице­рина р\_г = 500-10~⁶, для этанола р\ = 1100- Ю^-0, для этилового эфира р\ = 1660 10~⁶.

Коэффициент объемного сжатия жидкости р\,, выражающий уменьшение ее объема при повышении давления на 1 Па, обычно также очень мал, но становится заметным при очень высоких давлениях. Так, например, под давлением 10⁸ Па и при температуре 20 °С ртуть уменьшается в объеме на 4%, глицерин — на 13,4%, вода — на 20,9%, метанол — на 24,4%.

Сопротивление покоящейся жидкости растягивающим усилиям весьма велико, но проявляется только при всестороннем и равно­мерном растяжении,'когда невозможно возникновение касатель­ных напряжений: например, ртуть в этих условиях может выдер­жать растяжение с интенсивностью 10⁷ Па. В обычных условиях такое растяжение не реализуется, и жидкости практически не сопротивляются растягивающим усилиям.

Силы, действующие на массу жидкости, делятся на массовые (или объемные) и поверхностные. Массовые силы дей­ствуют на каждую частицу данного объема жидкости и пропорцио­нальны массе; к их числу относятся силы тяжести, инерции, центробежная. Поверхностные силы (давления, тре­ния) действуют на поверхностях, отделяющих данный объем жидкости от окружающей его среды; они пропорциональны раз­меру поверхности. Так как идеальная жидкость не сопротивляется растяжению и сдвигу, то под действием сил давления в жидкости возникает напряжение сжатия, которое будем называть гидро­механическим давлением. Напряжение, обуслов­ленное действием равномерно распределенной поверхностной силы Р на поверхность F и называемое гидростатиче­ским давлением р, можно выразить так [в Н/м² (Па)]:

_P = P/F

откуда сила гидростатического давленияР = = pF Н.

При неравномерном распределении силы Р по поверхности F гидростатическое давление в точке будет:

йР .. / АР »

dF ^н _AF^₀ \ AF J

Гидростатическое давлениев точке, будучи сжимающим, дей­ствует нормально к поверхности и поэтому не зависит от ориентации последней в пространстве. В самом деле, силу, дей­ствующую под любым углом к поверхности, можно разложить на две составляющие, из которых одна направлена вдоль этой по­верхности, а вторая — по нормали к ней. Первая составляющая однако, не реализуется, поскольку жидкость не сопротивляется растяжению, а вторая направлена внутрь объема жидкости, про­изводя сжатие.

Молекулярное давление, развиваемое тонким поверхностным слоем жидкости на ее границах с газом или паром, а также со стенкой сосуда, весьма велико; например, для воды оно состав-ляет около 11-10⁸ Па (силы взаимного притяжения молекул жид­кости в остальном объеме взаимно уравновешиваются). Частицы рассматриваемого слоя образуют как бы тонкую эластичную обо-

Рис. Isl. К характеристике вязкости капельных жидкостей:

а — профиль скоростей в поперечном сечеиии прямолинейного параллельио-струйча-того потока капельной жидкости; б — зависимость напряжения внутреннего трения от скорости сдвига; / — ньютоновские жидкости; 2 — бннгамовские жидкости; 3 — псев-допдастнческие жидкости; 4 — днлатантиые жидкости.

лочку, стремящуюся заключить жидкость в объеме с минималь­ной поверхностью. Такое свойство жидкости называется п о -верхностным натяжением, а обусловливающая его сила — силой поверхностного натяжения. Зна­чение последней, приходящееся на единицу длины (/, м) линии раздела, называется коэффициентом поверхност­ного натяжения (о, Н/м). Следовательно, полная сила поверхностного натяжения N — at И.

Величина а зависит от природы жидкости и падает с ростом температуры. Она сравнительно велика для ртути, металлических и солевых расплавов, воды, но мала для органических жидкостей и очень мала для сжиженных газов.

Эпюра скоростей в поперечном сечении прямолинейного па­раллельно-струйчатого потока реальной жидкости имеет вид, по­казанный на рис. 1-1, где по осн ординат отложено расстояние от ограничивающей стенки по нормали к ней («), а по оси абс­цисс — скорость равноудаленных слоев жидкости (w). Частицы, соприкасающиеся с поверхностью ограничивающей стенки, «при­липают» к ней настолько, что скорость их равна нулю; по мере удаления от стенки скорость нарастает. Разность скоростей смеж­ных слоев жидкости (их скольжение) является следствием воз­никновения продольных касательных сил внутреннего трения, обусловленных вязкостью жидкости, т. е. ее способностью сопро­тивляться сдвигу. Опыт показывает, что неравномерный про­филь скоростей (рис. 1-1, а) наблюдается также при движении жидкости в трубах с чрезвычайно гладкими стенками. Следова­тельно, рассматриваемое явление вызвано не трением о поверх­ность стенки, а внутренним трением в жидкости.

Заметим, что при движении жидкости в связи с вращением ее частиц и их относительным взаимным смещением возникают касательные силы не только вдоль потока, но и в других направ­лениях, включая по нормали к поверхности стенки. В дальнейшем мы будем учитывать только продольные касательные силы тре­ния Р_т. По закону Ньютона (1686 г.) они пропорциональны гра­диенту скорости (или скорости сдвига) и поверхности сопри­косновения данных слоев жидкости F:

Рт

Коэффициент пропорциональности ц в выражении (1.1) за­висит от природы данной жидкости и внешних условий (темпера­туры, давления). Он называется коэффициентом вну­треннего трения, или абсолютной вязкости (иногда коэффициентом молекулярной, дина­мической вязкости или просто вязкостью). Если выразить Р_Т в Н, площадь поверхности F — в м², w — в м/с и п — в м, то, как видно из уравнения (1.1), величина р, будет выра­жена в Нс/м² (Па-с).

dm

F

dn

Сила внутреннего трения, приходящаяся на 1 м² площади контакта соприкасающихся слоев жидкости, или напряже­ние трения т_т выразится так (в Па):

(I.la)

Величины F_T и т_т могут быть положительны или отрицательны в зависимости от выбранного направления отсчета я; в форму­лах (1.1) и (1.1а) фигурирует абсолютное значение градиента dw

скорости -j—.

В инженерных расчетах часто пользуются кинематиче­ской вязкостью v, выражающей отношение коэффициента абсолютной вязкости к плотности жидкости: v = р/р м²/с.

Величина р. не поддается теоретическому расчету, а опреде­ляется опытным путем; таблицы значений р для множества жид­костей приведены в справочниках.

Зависимость вязкости жидкостей от температуры Т описы­вается приближенным уравнением: р — Ае^в/Т. Здесь Л и В — индивидуальные константы для каждой жидкости. Уменьшение fi с ростом Т объясняется увеличением межмолекулярного расстоя­ния и падением сопротивления деформации жидкости.

Соответственно очень малой сжимаемости жидкостей их вяз­кость значительно меньше зависит от давления, чем от темпера­туры; она возрастает в среднем на 1/300—1/500 при увеличении давления на 0,1 МПа. С некоторым приближением можно при­нять: |1 = р,₁е^кр, причем ц,_х — вязкость при нормальном давлении, а к — индивидуальная константа для каждой жидкости. Исклю­чение представляет лишь вода, вязкость которой при 10 °С сни­жается в интервале 0,1 — 100 МПа, обнаруживая, однако, рост с дальнейшим увеличением давления.

Вязкость водных растворов, как правило, превышает вязкость воды и растет с концентрацией растворенных веществ. Исключе­ние представляют водные растворы некоторых солей (особенно хло­ридов, бромидов, иодидов, нитратов калия, рубидия, аммония), которые в определенных областях концентраций оказываются менее вязкими, чем вода.

Вязкость жидкостных смесей ц,_см не подчиняется правилу аддитивности; она часто превосходит вязкость отдельных ком­понентов. Для неассоциированных жидких смесей часто поль­зуются формулой Кендалла:

Р-см ~ Hi f*2 f*3 •••Рл"

где Hi, Р-з, Р-л — вязкости отдельных компонентов; mi, m₂, m₃, т_п— их мольные доли в смеси.

В противоположность вязкости жидкостей вязкость газов ра­стет с повышением температуры Т. Согласно кинетической тео­рии газов ц = С VT, где С — постоянная для каждого газа. Однако для реальных газов наблюдается отклонение от приве­денной зависимости, которое учитывается формулой Сатерлэнда:

p = cVt [1/(1 + s/t)]

где S — постоянная величина для данного газа, значения которой даны в спра­вочной литературе.

Вязкость реальных газов в отличие от идеальных зависит также от давления (особенно в области высоких давлений). Вязкость га­зовых смесей, как и жидкостных, не подчиняется правилу адди­тивности; она может быть приближенно рассчитана по эмпири­ческим формулам, приведенным в справочниках.

Закон Ньютона (1.1) справедлив для жидкостей с небольшой молекулярной массой вязкость которых является функцией тем-

dw

пературы и давления, но не зависит от скорости сдвига У та­ких жидкостей, носящих название ньютоновских, зави­симость т_т от ^~ (кривая течения) является линейной (рис. 1-1, б, линия /). Жидкости, обнаруживающие зависимость вязкости от 20 скорости сдвига (коллоидные суспензии, высокомолекулярные со­единения), называются неньютоновским и; их кривая те­чения является нелинейной. Различают такие жидкости со сле­дующими свойствами: 1) скорость сдвига в данной точке зависит только от напряжения в этой точке (реологически стационарные жидкости); 2) скорость сдвига зависит от продолжительности дей­ствия напряжения (реологически нестационарные жидкости); 3) сочетание свойств твердого тела и жидкости, проявляющееся в виде упругого восстановления формы после снятия напряжения (вязкоупругие жидкости).

Жидкости первой группы подразделяются на три типа по ха­рактеру функциональной зависимости т_т = f (-^-)' 1) бингамов-

ские (линия 2 на рис. 1-1, б); 2) псевдопластические (линия 3 на рис. 1-1, б); 3) дилатантные (линия 4 на рис. 1-1, б).

Для бингамовских жидкостей, как видно из рис. 1-1, б, справедлива следующая зависимость:

Тт-Ty + fip-^

Величина х_у выражает предел напряжения, превышение ко­торого приводит к вязкому течению; угловой коэффициент р,_р называется пластической вязкостью. Отмеченное по­ведение бингамовских жидкостей (к их числу относятся, например, густые шламы, буровые растворы, масляные краски и т. п.) объ­ясняется их жесткой пространственной структурой. При т_г > х_у последняя разрушается и жидкость течет как ньютоновская с ка­сательным напряжением т_т—т_у.

Псевдопластические жидкости не имеют пре­дела текучести и отличаются падением кажущейся вязкости .(меры

» / dw \ °

консистенции) ц_к сростом скорости сдвига: т_т = р_к 1-^-) .при­чем а < 1 (а можно рассматривать как меру отклонения от нью­тоновской жидкости, для которой а=1). К псевдопластическим жидкостям относятся суспензии, содержащие асимметричные ча­стицы, и растворы высокополимеров, например производные цел­люлозы. С возрастанием скорости сдвига асимметричные частицы или молекулы постепенно ориентируются Своими большими осями вдоль направления потока и при этом их кажущаяся вязкость падает; по окончании этого процесса кривая течения становится линейной.

Дилатантные жидкости подобно псевдопласти­ческим не имеют предела текучести, но их кажущаяся вязкость растет с увеличением скорости сдвига (а > 1). Примером жидко­стей данного типа могут служить суспензии с большим содержа­нием твердой фазы.

Неньютоновские жидкости второй группы разделяются на два класса: 1) тиксотропные и 2) реопектические. У первых напряже-

«ие сдвига падает, а у вторых — растет со временем (в обоих случаях при постоянной скорости сдвига). Такое поведение тик-сотропных жидкостей объясняется постепенным раз­рушением их структуры при деформации в условиях постоянной скорости сдвига. Тиксотропия является обратимым свойством: после снятия напряжения структура жидкости постепенно вос­станавливается. В отличие от тиксотропных реопекти-ческим жидкостям свойственно постепенное структуро-образование при сдвиге. Например, 42%-ная смесь воды и гипса после встряхивания (разрушения структуры) затвердевает по исте­чении 40 мин, а при медленном перекатывании (способствующем образованию структуры) — по истечении 20 с.

Наконец, вязкоупругие жидкости проявляют од­новременно вязкое течение и упругое восстановление формы (на­пример, смолы, высоковязкие эмульсии и суспензии).

Заметим, что кроме приведенных выше, известны другие виды неньютоновских жидкостей, для которых предложены выражения

функциональной зависимости т_т = f (-^~-)> базирующиеся на

иных физических моделях; их рассмотрение выходит за пределы нашего курса.

Влияние температуры на вязкость неньютоновских жидкостей описывается уравнением Аррениуса:

где ц₀ — вязкость при Т= 273 К; Д£ — энергия активации (при 150—200 °С для полиэтилена ЛЯ = 50,3 — 23,8 кДж/моль, при 135 °С для ацетата целлю­лозы Д£ = 293 кДж/моль).

Зависимость вязкости неньютоновских жидкостей от давления выражается тем же уравнением, что и для ньютоновских жид­костей (для полиэтилена при 225 °С k = 12,7; для полистирола при той же температуре k = 22,5).

В. ОСНОВЫ ГИДРОСТАТИКИ

1. Основное уравнение гидростатики. Уравнение поверхности уровня

Гидростатическое давление р в точке объема жидкости не за­висит от пространственной ориентации площадки, на которую оно действует, но зависит от координат этой точки (х, у, г), т. е. р — = / (х, у, г). Для определения этой функциональной зависимости выделим из объема покоящейся жидкости прямоугольный парал­лелепипед (рис. 1-2, а) с ребрами dx, dy, dz, параллельными соот­ветствующим осям координат. На параллелепипед в состоянии равновесия действуют объемные н поверхностная силы, заменяю­щие окружавшую его массу отброшенной жидкости. В дальней­шем будем оперировать массовыми силами, отнесенными к еди­нице массы жидкости (иными словами, ускорениями); их проекции на оси координат обозначим через X, У,'Z.

Если гидростатическое давление в точке А параллелепипеда равно р, то с точностью до бесконечно малых высшего порядка сила давления на грань A BCD составит р dy dz; сила давления на противоположную грань EFGH соответственно приращению х

Рис. 1-2. К выводу основного уравнения гидростатики.

составит —(р + Ж^) dy dz. По направлению оси Ох на парал­лелепипед действует составляющая массовых сил рХ dx dy dz. В состоянии покоя параллелепипеда действующие на него силы уравновешены, поэтому суммы их проекций на оси координат должны быть равны нулю:

pdydz— (p-\-*q^ dx^J dy dz -f- pX dx dydz=Q

Аналогичные уравнения можно написать относительно осей Оу и Ог:

pdxdz— (^p-\-^dy^J dx dz -f- pY dx dy dz = 0

pdxdy— (^p -f~dz^ dx dy -f- pZ dx'dy dz = 0

После упрощения последние три уравнения принимают сле­дующий вид:

^{*-& <■*}

Помножив все члены уравнений (1.2), полученных Эйлером (1755 г.), соответственно на dx, dy, dz и складывая их по частям, находим:

^{^dx + fydy + ^dz = p(Xdx + Ydy + Zdz)}

Так как р » / (х, у, г), то левая часть последнего уравнения равна полному дифференциалу давления; поэтому

dp>=p(Xdx + Ydy + Zdz) (1.3)

Уравнение (1.3), выражающее закон распределения давления внутри покоящейся жидкости, называется основным уравнением гидростатики.

Легко видеть, что во всех точках поверхности раздела жид­кости и внешней газообразной среды (назовем ее свободной поверхностью уровня)р = const. Внутри объема жид­кости, очевидно, существует бесконечное множество поверхностей, находящихся под постоянным гидростатическим давлением (бу­дем называть их поверхностями уровня). Так как для всех поверхностей уровня dp = 0, то они описываются общим уравнением, называемым уравнением поверхности уровня:

Xdx + Y dy + Zdz = 0 (1.4)

2. Гидростатическое давление в точке покоящейся жидкости и форма поверхности уровня

Пусть жидкость заключена в неподвижном сосуде и подвер­жена действию одной лишь силы тяжести; Для произвольной точки М (рис. 1-2, б) мы имеем в данном случае: X = 0; Y — 0; Z — —g, где g — ускорение свободного падения.

Из уравнения (1.3) находим: dp — —pgdz. Интегрируя по­следнее уравнение в пределах от р₀ до р и от г₀ до г, находим:

Р = Ро + pg (г₀ — г) = р₀ + pgh (1.5)

где р — полное, или абсолютное гидростатическое, давление в точке, погру­женной на глубине h под свободной поверхностью уровня; р₀ — внешнее давление на свободную поверхность уровня; pgh — избыточное гидро­статическое давление на глубине h.

Заметим, что величина pgh выражает вес призматического столба жидкости высотой h м и с площадью основания 1 м². Следо­вательно, согласно уравнению (1.5) полное гидростатическое дав­ление в какой-либо точке внутри покоящейся жидкости равно давлению на свободную поверхность плюс вес призматического столба жидкости с основанием 1 м² и высотой, равной глубине погружения рассматриваемой точки под свободной поверхностью уровня. Очевидно, что для всех точек на глубине h величина pgh = const, поэтому испытываемое ими давление изменяется соот­ветственно внешнему давлению р_п (закон Паскаля).

Известно, что свободная поверхность жидкости в неподвижном сосуде представляет собой горизонтальную плоскость. Это согла­суется с уравнением (1.4), где в данном случае X = 0; Y = 0; Z = —g; поэтому Z dz = —g dz = 0 и г = const.

Уравнения (1.3)—(1.5) выведены применительно к идеальной жидкости, поэтому они, строго говоря, недостаточны для реальных жидкостей, в которых может проявляться действие сил сжатия, растяжения, поверхностного натя­жения и др. Так, например, капля жидкости может оставаться в равновесии на наклонной твердой поверхности благодаря силам сцепления частиц, хотя по уравнению (1.3) такое равновесие невозможно; свободная поверхность жидкости в узкой трубке может быть вследствие поверхностного натяжения выпуклой или вогнутой, а в случае идеальной жидкости горизонтальной плоскостью и т. д. Однако силы растяжения и поверхностного натяжения могут изменить описан­ные выше законы равновесия только в случае очень малых объемов жидкости, когда силы давления сравнительно малы. На практике мы обычно имеем дело с большими объемами жидкости, когда действием упомянутых сил можно пре­небречь, поэтому уравнения гидростатики идеальной жидкости с достаточной степенью точности применимы также к реальным жидкостям.

3. Гидростатическое давление и поверхность уровня в случаях относительного покоя жидкости

Жидкость может оставаться неподвижной (в состоянии равно­весия) относительно стенок не только неподвижного сосуда, но также движущегося равномерно или с постоянным ускорением. В этом случае принято говорить об относительном по­кое жидкости. Рассмотрим несколько типичных примеров.

а) На жидкость в сосуде, скользящем без трения по наклон­ной плоскости (угол наклона к горизонту а) с постоянным ускоре­нием а м/с² от извне приложенной силы, действуют две массовые силы: тяжести и инерции переносного движения (рис. 1-3, а). Для отыскания распределения давления в объеме жидкости и формы поверхности уровня воспользуемся уравнениями (1.3) и (1.4), найдя предварительно значения массовых сил: X = a cos а; Y = 0; Z = —g -f a sin а. По уравнению (1.4)

a cos a dx -f- (а sin а — §) dz = 0

откуда

г = [a cos a/(g — a sin а)] х -f С = х tg р" -f С

т. е. искомая поверхность уровня представляет собою плоскость наклоненную к горизонту под углом В, причем

tg Р = [a cos a/(g — а sin а)] (a)

dz

Для определения давления в произвольной точке М (х, z) вос­пользуемся уравнением (1.3):

^{j dp = р a cos a J dx — (g — а sin а) J}

Ро L о г..

откуда

P = Po + P(£-«sin а)[х _g^^C_a°^S_s*_a +(г_е-_г)]~

= Ро + Р (g — a si" «) tg Р + г₀ — г) (б)

Для сосуда, движущегося по горизонтальной плоскости (а = = 0) с ускорением о, из выражений (а) и (б) получаем: tgp* = a/g; р = р₀ -f- pg[a(a/g+z₀—г]. Если сосуд по рассматриваемой наклон­ной плоскости движется только под действием собственного веса, то а = g sin а, поэтому из выражений (а) и (б) находим:

tgP = tga; P = a; p = /?₀-f.pgrcos²a(*tga-f-2₀ —г)

Наконец, в случае свободного падения сосуда (а = 90°) имеем! р* = 0; р = ро-

ном случае на жидкость действуют две массовые силы: тяжести и центробежная. Следовательно, X = «²х; Y = <а²у; Z = —g. Подставляя значения массовых сил в уравнение (1.4), получаем:

<Л dx + ы²у dy — gdz = Q

или

(х у \ г

j xdx+ J </&/) — gj dz = Q о о / z„

Отсюда, поскольку х² + у² = г², находим: г — г₀ -f a² r²/2g. Из последнего уравнения видно, что поверхность уровня в рас­сматриваемом случае представляет собою параболоид вращения, причем вершина свободной поверхности уровня расположена на высоте г₀ от дна сосуда. Полагая г = R, определяем высоту подъ­ема жидкости у стенок сосуда: Н — z₀ -f- a>²R42g.

Если до начала вращения сосуда слой жидкости имел высоту h, то должно удовлетворяться равенство

nR*h = itR% -f (л/2) fl² (Н — г₀)

откуда г₀ = 2h — Н.

Таким образом, Н = h -f- e>²RV4g, и уравнение искомой по­верхности уровня принимает следующий окончательный вид: z = h + (a>²j2g) (л^а-Л^а/2) По уравнению (1.3) имеем:

dp = p (ш*х dx -f- w²y dy — g dz)

J dp = p ч>²П xdx+j ydy\ — gj Po L \o о / z₀

dz

или

Отсюда, учитывая x² -f у² = r-_f находим выражение для дав­ления в любой точке объема жидкости:

р « р₀ + р [ш²/2 (I* - R²/2) + (А - г) g)

в) На жидкость внутри горизонтального цилиндрического со­суда (рис. 1-3, в), вращающегося с постоянной угловой сж> ростью со вокруг его оси х, действуют следующие массовые силы: X = 0; Y = (и²у; Z = a²z —g. По уравнению (1.4)

(0²у dy + (0*z dz — gdz = Q откуда после интегрирования получаем:

^{(ю2/2) у2 + (щг/2) z2 — gz = C или jf» + (2 — g/w2)2 = const}

Последнее уравнение показывает, что поверхности уровня в рассматриваемом случае представляют собою семейство соосных круглых цилиндров, ось которых параллельна и расположена выше оси вращения на расстоянии glut²-. Очевидно, только при со = оо оси цилиндрических поверхностей уровня совпадут с осью цилиндра.

в

Рис. 1-3. Примеры относительного покоя жидкости:

с — скольжение сосуда с жидкостью по наклонной плоскости; б — жидкость внутри вертикального вращающегося цилиндра; в — жидкость внутри горизонтального вращаю­щегося сосуда.

б) Если жидкость находится в вертикальном цилиндрическом сосуде, вращающемся с постоянной угловой скоростью со около оси 2 (рис. 1-3, б), то она через очень короткое время начинает вращаться с той же угловой скоростью, приходя в состояние покоя относительно стенок сосуда. Следовательно, для отыскания рас­пределения давления в объеме жидкости и формы поверхности уровня можно воспользоваться уравнениями (1.3) и (1.4). В дан-

По уравнению (1.3)

^{dp = p (а>гу dy-\- ш2г dz — g dz)}

откуда

^{P = Ро + Рё t(«»2/2g) (</2 - у% - г* - г») + г0 _ г]}

где у₀ и Zq — координаты точки на свободной поверхности уровня.

Легко видеть, что неподвижным относительно стенок вращаю­щегося сосуда остается лишь тот слой жидкости, который удер­живается в самой верхней точке цилиндра.

4. Сила гидростатического давления на стенки сосуда

Полное гидростатическое давление в точке М на наклонной плоской стенке сосуда (рис. 1-4, а) равно:

Р = Ро + Рё^п — Ро + pgl ^sin «

Следовательно, искомая сила полного давления dP на элемен­тарную площадку dF выразится так:

dP=pdF — (р₀ + pgh) dF = (р_в + pgl sin a) dF

откуда

P = p₀F + pgjhdF = p_BF + pg sin a j / dF

Величины \h dF и sin a J / dF выражают статический момент площади стенки F относительно оси, лежащей в плоскости сво­бодной поверхности уровня. Этот момент равен произведению площади F на расстояние ее центра тяжести до той же плоскости (л_ц или /_ц sin а), поэтому

Р = (Ро + Pg К) ^F = (Pa + Pg'i ^{sin a}) ^F (I -6)

Уравнение (1.6) показывает, что сила полного гидростатиче­ского давления на плоскую стенку равна гидростатическому давлг-нию в центре тяжести этой стенки, помноженному на ее площадь.

Сила избыточного давления Р_я на рассматриваемую стенку

Р» = pghu.F = pgl_a sin aF (1.6а)

т. е. она равна весу столба жидкости с основанием, равным пло­щади стенки, и высотой, равной глубине погружения центра тя­жести стенки.

Выражения (1.6) и (1.6а) справедливы также для вертикаль­ной стенки (а = 90°, п_ч = у и для горизонтальной. В послед­нем случае величина А_ц равна высоте столба жидкости, опираю* щегося на стенку (например, на дно сосуда).

28

Точка приложения сил давления (Р, Р_и) на стенку называется центром давления. Координата этой точки (п_Л или 1_Д sin а) может быть найдена при помощи теоремы Вариньона, согласно которой момент равнодействующей силы равен сумме мо­ментов составляющих сил относительно одной и той же оси. При­няв за ось линию пересечения плоской стенки со свободной по-

Рис. 1-4. К определению силы гидростатического давления на стенки сосуда.

верхностью жидкости (х—х на рис. 1-4, б), получим: Р„/_д = = J / dP„. Однако

Puk = Pg^hn^{F 1}я = PgPlnk ^sin И

dP_s = pgh dF = pgl sin a dF

Поэтому

* pg^Vu sin a = pg sin a j/^a

² dF = pg^ sin a (1-66)

где I_x — момент инерции смоченной площади стенки относительно оси х—х.

Как известно из теоретической механики, I_x= 1ц+FU, где /_ц—момент инерции смоченной площади стенки относительно оси, проходящей через ее центр тяжести и параллельной оси х—х. Подставив значение 1_Х в выражение (1.66), найдем искомую коор­динату центра давления:

l_B=li» + W (1-7)

Таким образом, 1_Л > 1_Ц, т. е. центр давления плоской стенки лежит глубже ее центра тяжести.

Для определения силы гидростатического давления на криво­линейную стенку разобьем последнюю на элементарные участки dF. Силу полного давления на каждый такой участок dP разложим по направлениям осей координат на составляющие dP_x, dP_y, dP,. Если площадка dF образует с осями координат углы а, (5 и б, а среднее давление на площадку равно р, то

dP = pdF; dP_x = dP cos a = p dF cos a; dP_y = pdFcos$; dP₂ = p dF cos 6

Проекции площадки dF иа плоскости, перпендикулярные к осям координат, обозначим следующим образом: dF_x — dF cos a; dF_y = dF cos {$; dF₂ — dF cos 6

Тогда

P_x = \ pdF_x; P_y=\ pdF_y; P_z=Jpdf,

0 0 0

т. е. каждая составляющая силы гидростатического давления на криволинейную стенку равна силе давления на проекцию этой стенки на плоскость, перпендикулярную к данной оси координат. Так как р — р₀ -J- pgh, то

Рх = (Po + PgAi) ^ ^ - (Po + ?gh₂) F_y; Р_г = (р₀ + pgA,,) Z⁷,

где A_x, А₂, А₃— глубины погружения центров тяжести проекций криволинейной стенки на плоскости YOZ, X0Z и YOX; F_x, F_y, F_t — площади этих проекций.

Равнодействующая сила полного гидростатического давления будет:

^yp'i + Py + Pl

Так, например, для цилиндрического сосуда со сферическим дном, наполненного жидкостью с удельным весом pg, силы избы­точного давления на боковую поверхность полуцилиндра (Р'_у) и на дно (Р'_г) выразятся так:

Р'_у = pgD (tf«/2); Р'_г = pg (nD*HjA + К_д)

где D — диаметр цилиндра; Н — высота цилиндрической части сосуда; V_n — емкость сферического днища.

Для вертикального прямого кругового конуса (диаметр осно­вания D, высота Н) имеем:

Р'х = Р'у = PSD (НЩ; Р_г = (я/12) p_SD²H

Г. ОСНОВЫ ГИДРОДИНАМИКИ

1. Общие понятия и определения

Кроме сил, действующих на покоящуюся жидкость, при дви­жении последней возникают дополнительно еще силы инерции и трения. В отличие от гидростатического давления, не зависящего от пространственной ориентации площадки, на которую оно дей­ствует, гидродинамическое давление р благо­даря касательным силам различно в направлениях х, у, г. Вязкость жидкости, как уже отмечалось выше, является причиной неравенства скоростей w в различных точках одного и того же поперечного сечення движущейся массы жидкости. Установление связи между давлением и скоростью в любой точке движущейся жидкости и в любой момент времени относится к числу основных задач гидродинамики.

Движение жидкости может быть установившееся (стационарное) и неустановившееся. В первом случае давление р и скорость w в каждой точке пространства, за­нимаемого движущимся объемом жидкости, постоянны во вре­мени и являются функциями координат этой точки: р = /х (х, у, г), w = Фх (л:, у, г). Во втором случае значения р и w в любой

Рис. 1-5. К выводу дифференциальных уравнений гидродинамики.

точке пространства могут изменяться во времени х как по вели­чине, так и по направлению: р = /_х (х, у, г, т); w = ф_х (*, у, г, т).

Для наглядного представления общей картины течения жид­кости в каждый данный момент нужно мысленно провести так на­зываемую линию тока (кривая 1—2—3 на рис. 1-5, а), т. е. линию, в каждой точке которой вектор скорости частицы совпа­дает с направлением касательной. Для неустановившегося дви­жения характерны мгновенные линии тока, соответствую­щие каждому моменту времени, поскольку скорость изменяется во времени по величине и направлению. Заметим, что траектория частицы в данном случае не совпадает с мгновенной линией тока. Такое совпадение возможно в том случае, когда скорость частицы изменяется лишь по величине, но сохраняет направление, в част­ности, при установившемся течении.

В дальнейшем мы будем рассматривать исключительно уста­новившееся течение жидкости, чаще всего встречающееся в про­цессах химической технологии.

При установившемся течении скорость любой частицы жидкости при переходе из точки / в точку 2 (см. рис. 1-5, а) вдоль линии тока может иметь другое значение, но в каждой из этих точек она остается неизменной с течением времени. Возьмем в точке / весьма малую площадку f_lt перпендикулярную к линии тока, и проведем в пределах ее контура ряд линий тока, образующих трубку. Пучок линий тока, проходящих через эту трубку, назовем элементарной струйкой. ^Совокупность струек обра­зует п о т <У к. Такое представление о структуре потока упрощает его теоретическую, интерпретацию, но не является вполне стро-

гим, так как в потоке имеются поперечные движения частиц, благодаря которым последние проникают из одного слоя жидкости в другой.

Поперечное сечение элементарной струйки плоскостью, нор­мальной к линиям тока, назовем живым сечением струйки. Произведение V — да/, которое представляет собой объем жидкости, протекающей в единицу времени через живое сечение элементарной струйки, называется объемным расхо­дом (величину да в пределах очень малой площадки / можно считать постоянной). В дальнейшем будем рассматривать движе­ние жидкости, характеризующееся условием непрерыв­ности, т. е. непрерывным заполнением трубки и отсутствием в ней пустот. Это означает, что в каждом сечении струйки расход жидкости остается постоянным: V = да/ = const. Следовательно, для двух сечений струйки

V = wJi = wj₂ = wf = const

т. е. скорости обратно пропорциональны площадям живых сече­ний струйки.

Приведенное уравнение называется уравнением постоянства расхода, или неразрывности потока.

Движение жидкости с постоянной скоростью вдоль струйки называется равномерны м;в этом случае струйка представ­ляет собою цилиндрическую трубку.

В реальном потоке частицы жидкости, кроме поступательного движения, совершают также поперечные и притом беспорядочные движения. По этой причине в каждой точке внутри потока реаль­ной жидкости наблюдаются колебания вектора скорости (пуль­сации) около некоторого среднего значения да_ср. Этот пульси­рующий (мгновенный) вектор скорости имеет в каждый момент времени определенные значение и направление, причем его можно разложить по трем направлениям. Средний же расход жидкости за время т определяется только продольной составляющей мгно-

^{венной скорости и равен V = 1 да/ d%. В силу этого в каждой}

о

точке потока пульсирующий мгновенный вектор скорости можно заменить вектором местной осредненной скорости за промежуток времени %. Таким образом, реальный поток жидкости можно рас­сматривать «установившимся» только статистически, наблюдая местные осредненные скорости за достаточный промежуток вре­мени.

В общем случае элементарные струйки не параллельны, по­этому живое сечение целого потока представляет собой поверхность, у которой нормали во всех точках совпадают с касательными к линиям тока, пронизывающим эту поверхность в тех же точках. В связи с этим вводят понятие о плавно изменяю­щемся движении жидкости, характеризующемся

32

малым углом расхождения его струек (линий тока) и очень незначи­тельной их кривизной. Очевидно, в этом случае за живое сечение потока может быть принята плоскость, нормальная к направле­нию движения. Тогда средней скоростью потока да_ср в данном живом сечении будет скорость, с которой должны были бы двигаться все частицы жидкости через рассматриваемое плоское сечение (площадью F), чтобы расход всего потока V был равен расходу, соответствующему действительным скоростям этих ча­стиц:

V = Fw_ep.

2. Дифференциальные уравнения гидродинамики

В отличие от состояния покоя на реальную жидкость при ее движении действуют дополнительно силы инерции / и трения (вязкости) N. Чтобы составить уравнение равновесия для потока жидкости, можно на основании принципа д'Аламбера восполь­зоваться уравнениями (1.2), введя в них силы / и N, отнесенные к единице массы жидкости. Применительно к элементарному пря­моугольному параллелепипеду, выделенному из установившегося потока реальной жидкости (рис. 1-5, б), получим:

²~Т'Ж^{_/г + л}'^{г = 0 (Ь7а}>

где 1_Х, 1_У, 1_г — компоненты сил инерции, a N_x, N _у, N_z — компоненты сил вяз­кости по направлениям осей координат х, у, г.

Обозначив через w_x, w_y, да₂ компоненты скорости параллелепи­педа по направлениям осей координат, получим:

__ dw_x , _ dw_e d_Wz

^lx~~dT' ^ly-~dT' ^L~~dT

Для определения значений N_x, N_y и N_z обратимся к выделен­ному параллелепипеду, движущемуся по направлению, не совпа­дающему с направлением ни одной из осей координат. На каждую из шести граней параллелепипеда действует сила трения, равная, как^было показано ранее, произведению коэффициента динамиче­ской вязкости на площадь грани и градиент скорости по нормали. Так, сила трения, действующая на грань abed равна %_х dx dy =

= —р dx dy -~, а на грань efgh она равна (х_х -j- dz} dx dy =

j , (dw_x d²w_K , \ _ — p их ay -j—g~2~ dz j. Заметим, что различные знаки рас­смотренных сил вызваны их действием на параллельные грани параллелепипеда в разные стороны (отставание одной грани от другой). Следовательно, равнодействующая сила трения вдоль

2 Н. И. Гельперин 33

оси ОХ для обеих описываемых граней равна \idxdy dz-~. Аиа

логично находим равнодействующие силы треиия для двух осталь­ных пар граней: ц dx dy dz и \idxdy dz^^-. Суммарная же

сила трения (вязкости) для всех шести граней параллелепипеда вдоль оси ОХ выразится так:

, , , /d²w_x , d*w_x , d%,\

и dx dy dz ( —4- —4 i)

* ^J \dx² ^ dy^{2 T} dz² I

Отнеся найденную суммарную силу к единице массы жидкости, получим:

&*Wy lyд²

²Ы);

) = vv²w_y; _dz2 )=w%>₂

<3г² д²^

u /d²w_K , d²w_x , d²w_x\ Аналогично найдем:

р \дхд²

²ш_г

d²Wy

N.

ду+

р \

dt

После подстановки в уравнения (1.7а) найденных значений 1_Х

dx dw.

l_y, 1₂ и Л^, N_y, М_г с учетом, что для одномерного потока

dx

Wjdw* dw²

²_x

~dx~ ~2dx' ^полУ^{чаем в} окончательном виде

dp	-pX + p	dw\		1 Pwx	d»wx	d*wx
дх		2dx		К dx2	1 dy2	1 dz2
dp	-pK+p-	dw2y	-a	fd2wy	d2wy	, ^Ч'
Jy		2dy		< dx*	dy2 1	dz2 .
dp	-pZ + p	dm\	и t	f б2Шг	д2шг
dz		2dz	и \	k dx2	1 dy2	1 dz2

искомые дифференциальные уравнения гидродинамики реальной {вязкой) жидкости:

(1.8)

)"•

Уравнения (1.8) были выведены различными путями Навье (1822 г.) и Стоксом (1845 г.); оии получили название уравнений Навье—Стокса. Решение этих уравнений встречает непреодоли­мые трудности и их непосредственное использование для решения большинства практических задач пока невозможно. По этой при­чине в технической гидравлике предпочитают базироваться на уравнениях движения идеальной жидкости, внося в них попра­вочные коэффициенты и дополнительные члены, учитывающие фи­зические особенности реальных жидкостей.

Идеальные жидкости, как ранее было установлено, совершенно не сопротивляются сдвигу, т. е. для иих р. = 0. Следовательно, дифференциальные уравнения гидродинамики идеальной жидкости будут иметь следующий вид:

до dwi q_d dxa? dw\

|L_pX _{+ P}_JL = o,- ll-pK + p^O; ^-pz ₊ p^ = 0

(1.9)

Уравнения (1.9), выведенные впервые Эйлером (1755 г), на­зывают уравнениями Эйлера.

3. Уравнение Бернулли

Для большого числа частных случаев уравнения Эйлера (1.9) могут быть проинтегрированы и приведены к важным и удобным расчетным формулам. В частности, с помощью этих уравнений легко иайти связь между скоростью, давлением и плотностью в живом сечении установившегося потока идеальной жидкости, находящегося под действием одной лишь силы тяжести (рис. 1-6).

Помножим все члены уравнений (1.9) соответственно на dx, dy, dz и сложим их по частям:

$L_dx + -^-dy + -^-dz-p(Xdx + Ydy+Zdz) +

+ -Y(du>l + ^dwl + ^dwl)=° <^а)

При установившемся движении р = / (х, у, г), поэтому

dx ¹ ду dz

2 2 9 2 2

Учитывая, кроме того, что dw_x -f- dw_v -f- dw'_z =■ d (w_x -\-w_y -f

4, w\) = dw, перепишем уравнение (a):

dp — p(Xdx+Ydy+Zdz) + (p/2) <to² = 0 (6)

Для выяснения физического смысла уравнения (б) рассмотрим движение элементарной струйки установившегося потока идеаль­ной жидкости (см. рис. 1-6). Так как движение струйки проис­ходит под действием одной лишь силы тяжести, то X — 0, Y = 0, Z = —g и уравнение (б) принимает вид:

dp dw² I р w² \ Pg ²8 \ PS 2g /

(1.10) 35

откуда

* -f- P/pg + w²/2g = И = const

В уравнении (1.10), известном как уравнение Бернулли (1738 г.), все три члена имеют линейную размерность. Первый член г выражает высоту расположения выбранного живого сече­ния элементарной струйки над плоскостью отсчета 0—0 ^назы­вается нивелирной высотой. Второй член plpg выра­жает высоту столба жидкости, уравновешивающего гидростати­ческое давление в рассматриваемом живом сечении струйки, и называ­ется пьезометр ической высотой. Наконец, третий член w²/2g выражает высоту, на которую может подняться жидкость, имея скорость w, и называется скоро­стной высотой или скоро­стным, или динамическим напором.

Рис. 1-6. К выводу уравнения Бернулли.

Таким образом, из уравнения Бернулли следует, что при уста­новившемся движении элементарной струйки идеальной жидкости сумма

нивелирной, пьезометрической и скоростной высот является величиной постоянной для всех живых сечений струйки. Так, на­пример, если струйка (см. рис. 1-6) ограничена сечениями 1—/ 2—2 (их нивелирные высоты г_х и z₂), где гидростатические давле­ния и скорости соответственно равны р_1у р₂ и до_ь до₂, то справед­ливо следующее равенство:

h + Р\/Рё + ^WV²§ = h + Pi/Рё + ^Wl/²S (^в)

С другой стороны, легко видеть, что сумма z -f- plpg выражает запас удельной потенциальной энергии еди­ницы массы жидкости, обусловленный высотою расположения и гидростатическим давлением, а величина до²/2 — запас удельной кинетической энергии. Таким образом, по уравне­нию Бернулли, суммарная удельная тергия элементарной струйки идеальной жидкости при установившемся движении остается не­изменной. Уравнение Бернулли описывает, следовательно, част­ный случай общего закона сохранения энергии.

Уравнение Бернулли, выведенное для элементарной струйки, можно использовать для практических расчетов, если распростра­нить его на целый поток, рассматривая последний как совокуп­ность элементарных струек, движущихся с различными скоро­стями. Заметим, что при плавно изменяющемся движении сумма г -J- plpg в любой точке данного живого сечения потока постоянна.

Скорости же отдельных элементарных струек (до_ь до₂, Доз, ... w_n) различны и по значению отличаются от средней скорости, поэтому

среднее значение удельной кинетической энергии потока — ^

будет отличаться от удельной кинетической энергии, вычислен­ной по средней скорости потока до. При равномерном движении жидкости в трубах и каналах это отличие, однако, очень мало, поэтому с допустимой для практики точностью можно пользо­ваться уравнением (1.10) также для потока жидкости, оперируя его средней скоростью.

На рис. 1-6 дана геометрическая интерпретация уравне­ния (1.10). Отдельные слагаемые суммарного полного напора Н изменяются от сечения к сечению, но величина И остается постоянной, что соответствует прямой Л—Л, параллель­ной горизонтальному следу плоскости отсчета 0—0.

При движении реальной жидкости часть энергии потока (на­пора) тратится на преодоление гидравлического со­противления (трения), поэтому полная удельная энергия потока в каждом последующем его сечении будет меньше, чем в предыдущем. Линия полного напора представится уже не гори­зонтальной прямой А—Л, а спадающей кривой Л—Л^в направле­нии движения (см. рис. 1-6). Легко видеть, что для потоков иде­альной и реальной жидкостей, характеризующихся тождествен­ным состоянием в сечении /—/, в уравнении (в) останутся одина­ковыми нивелирная высота г₂ и скоростная w(/2g (расходы, сече­ния и скорости одинаковы). Следовательно, потерянный напор п_П компенсируется соответственным уменьшением пьезо­метрической высоты. Если для идеального потока пьезометриче­ская высота в сечении 2—2 равна p-Jpg, то в случае реального по­тока она составит pi/pg, причем pi/pg < p₂/pg и p₂/pg = p'Jpg + h_a.

Таким образом, для реального потока жидкости уравнение Бер­нулли будет иметь следующий вид:

^{«i4WPe + »?/2* = *2 + ^/w + »f/2* + ftn (Ml)}

Здесь h_a — дополнительный член, учитывающий потерю энер­гии (напора) на участке потока между сечениями /—1 и 2—2.

4. Уравнение равномерного движения реальной жидкости в прямолинейном канале

Для определения потерянного напора п,„ вызванного сопро­тивлением равномерному потоку жидкости в прямом канале (на­пример, в трубопроводе), выделим участок последнего длиной I (рис. 1-7) Площадь живого сечения и периметр канала обозначим соответственно через F и U. Если гидростатические давления в сечениях / и 2 равны р^ и р₂, то на поток жидкости в рассматри­

рис. 1-7. К выводу уравнения равномерного движения реальной жидкости в орямолинейном канале.

ваемом участке канала (трубопровода) действует вдоль оси сила давления F (pi — p_t), направленная в сторону движения. В про­тивоположном направлении действуют составляющая силы веса Flpg sin а = Fpg(z_t — г,) и сила трения х_тШ, где т_т — напряже­ние трения. Таким образом, условие динамического равновесия можно описать уравнением: (р_х —р*) F = PgF (г_г—г_л)+ от­куда

^zi + Pi/PS = Ч + PilPe + * - Ul/Fpg (а)

Так как канал имеет постоянное сечение по всей длине (F = const), то средние скорости в сечениях / и 2

(б)

одинаковы, w'\l2g = wy2g, и уравнение (а) является частным случаем уравнения Бернулли (1.11) для прямолинейного и рав­номерного потока реальной жидкости. Сопоставляя уравнения (1.11) и (а), находим:

h„ = l—fr • —— ^п F pg

I

(в)

"мГ

Обозначив F/U = R_r {величину R_r называют гидравли­ческим радиусом живого сечения потока), получим!

h„ = ■

(г)

Для цилиндрической трубы диаметром d имеем R_r = nd²/4 : : nd = d/4, т. е. гидравлический радиус живого сечения потока в два раза меньше геометрического радиуса этого сечения. В об­щем случае, для канала произвольной формы поперечного сече­ния с площадью F и периметром U получим значение гидрав­лического, или эквивалентного, диаметра d = 4/?_r = 4F/U, т. е. диаметра круглой трубы, для которой по­терянный напор к_а тот же, что и для канала любой другой формы сечения. Таким образом

_{h =}_L. iii

^п d pg

В последнем выражении величину 4x_x/pg, имеющую линейную размерность, удобно выразить при помощи множителя пропор­циональности X через скоростную высоту, имеющую ту же раз­мерность, т. е. 4x_T/pg = X (w²/2g). В этом случае уравнение равно­мерного движения жидкости в прямом канале (трубе) принимает следующий вид:

Из уравнения (1.12) видно, что потерянный напор при равно­мерном движении жидкости в прямом канале (трубе) пропор­ционален длине канала и квадрату средней скорости потока, но обратно пропорционален эквивалентному диаметру живого сечения. Безразмерный множитель X называется коэффициентом внешнего трения, или гидравлического со­противления. Методы определения коэффициента X будут рассмотрены ниже в связи с характером или режимом движения жидкости.

5. Режимы движения реальной жидкости

Существование двух принципиально различных режимов дви­жения жидкости было обнаружено Гагеном и Д. И. Менделеевым (1880 г.). Наиболее полно исследовал это явление Рейнольде (1893 г.) при помощи прибора, состоящего из резервуара /, в ниж­ней части которого выведена горизонтальная прозрачная труба 2 (рис. 1-8, а). Левый конец трубы имеет плавный вход, а правый — снабжен краном 3. Над резервуаром /, наполненным жидкостью, расположен бачок 4 с темной краской, подводимой открыванием краника 5 по тонкой трубке 6 во входное сечение трубы 2. Под­держивая в резервуаре / постоянный уровень жидкости, можно изменять расход последней (и, следовательно, скорость) в трубе 2, варьируя степень открытия крана 3.

Проведенные опыты показали, что при скоростях жидкостиw в трубе 2 ниже некоторой «критической» величины w_K струйки красителя проходят по всей длине трубы, не размываясь и не сме­шиваясь с потоком жидкости, идущим из резервуара /. При ско­ростях же w > w_K струйка красителя, попадая в трубу 2, размы­вается, окрашивая весь поток. Очевидно, в первом случае (w << < w_K) частицы жидкости движутся по траекториям, параллель­ным стенке трубы 2, не перемешиваясь; такой режим параллельно-струйчатого, или слоистого, движения жидкости называется л а -м и н а р н ы м. Во втором случае (w > w_K), несмотря на посту­пательное движение потока слева направо, отдельные его частицы перемещаются по самым разнообразным траекториям (хаотически), вызывая перемешивание всей жидкости; такой режим течения на­зывается турбулентным.

Используя гладкие трубы различного диаметра и изменяя тем­пературу воды (с целью изменения ее вязкости), Рейнольде уста­новил, что критическая скорость жидкости w_Kp, выше которой ла­минарный режим течения невозможен, во всех случаях зависит только от отношения кинематической вязкости жидкости к диа-

за

метру трубы w_Kp — С (v/d). Безразмерный коэффициент С был в дальнейшем назван критическим числом Рейнольдса и обозначен Re, т. е. Re_Kp = w_Kpd'v = w_Kpdp'\i.

О пытами было установлено, что для потоков жидкостей в ци­линдрических трубах Re_Kp = 2320. Однако в случае сходящихся потоков, а также длинных цилиндрических труб с плавным вхо­проникают турбулентные возмущения, а зарождающиеся здесь вихри отрываются и попадают в турбулентное ядро. Вследствие такого обмена средняя скорость частиц плавно изменяется в се­чении потока; ламинарное течение сохраняется лишь в части по­граничного слоя (в подслое), непосредственно прилегающей к стенке, а между подслоем и турбулентным ядром создается пере­ходная область.

Выше было указано, что истинные скорости частиц в каждой точке турбулентного потока, т. е. истинные местные скорости ко­леблются (пульсируют) около усредненной во времени скорости w на величину ±Aw. В общем случае пульсационные составляющие скорости различны по направлениям осей координат и их абсолют­ные значения отличаются от w соответственно на Aw_x, Aw_y, Aw^ Отношение

дом жидкости при отсутствии ее возмущения в расходном резер­вуаре существование ламинарного режима течения возможно и при Re_Kp > 2320.

Безразмерный комплекс Re = wdfa — wdp/u, называемый чис­лом, или критерием, Рейнольдса, как будет показано ниже, яв­ляется динамической характеристикой потока реальной жидкости.

В отличие от ламинарного потока, характеризующегося, как уже отмечалось, параллельно-струйчатым, или слоистым, движе­нием жидкости, при турбулентном режиме частицы последней дви­жутся по сложным и разнообразным траекториям, соударяясь друг с другом и со стенками трубы или канала. В каждой точке турбулентного потока происходит беспорядочное изменение ско­рости во времени (колебание, пульсация), но ее среднее значение в данной точке при установившемся движении постоянно. Струк­туру турбулентного потока представляют схематически так (рис. 1-8, б). Непосредственно у омываемой стенки располагается тонкий пограничный слой (толщиной б), который дви­жется ламинарно. Вся остальная масса жидкости образует тур­булентное ядро потока. В каждой из этих зон средние скорости частиц возрастают по мере удаления от стенки, но в раз­личной степени. На это указывает то обстоятельство, что гидрав­лическое сопротивление (потерянный напор h_u), как показали опыты Рейнольдса, растет при ламинарном режиме пропорцио­нально средней скорости потока до, а при турбулентном — про­порционально и»¹-⁷⁵ (в шероховатых трубах ~до²).

В действительности между пограничным слоем и турбулент­ным ядром не существует резкой границы. В ламинарный слой является одной из характеристик турбулентного потока и назы­вается интенсивностью турбулентности.

В частном случае, когда Aw_x — Aw_y = Ддо₂, турбулентность называется изотропной.

Благодаря перемешиванию жидкости в турбулентном потоке происходит интенсивный перенос ее частиц в поперечном направ­лении, сопровождающийся переносом количества движения. В этом переносе участвуют совокупности частиц («комки», вихри) жидкости, которые проходят некоторый путь длиной /, после чего разрушаются. Путь I, проходимый совокупностью частиц в по­перечном направлении к оси потока от момента ее возникновения до момента разрушения, является средней характеристикой ам­плитуды турбулентных пульсаций (масштаба турбу­лентности) и называется путем смешения. Энер­гия, затрачиваемая на поддержание рассматриваемого состояния, непрерывно переходит от пульсаций крупного масштаба (в тур­булентном ядре) к пульсациям малого масштаба (в пограничном слое). Так как энергия при колебательном движении равна произ­ведению амплитуды колебаний на их частоту, то крупномасштаб­ные пульсации происходят с низкими, а мелкомасштабные —с вы­сокими частотами.

Поперечное перемещение жидкости в турбулентном потоке создает дополнительное касательное напряжение т_т, которое можно определить следующим образом. Обозначив скорость по­перечного перемещения w_y, а разность скоростей совокупности частиц в направлении потока на пути / через Aw_x, можно при­равнять т_т изменению количества движения (импульс силы в единицу времени равен изменению количества движения): т_т = pWg Aw_x. Вследствие небольшой длины пути смешения / можно принять Ддо* — Приняв далее w_u ~ Дш„ получим:

/ , dw_x V dw_x

где fi_T = pi² коэффициент турбулентной вязкости,

или турбулентная вязкость.

Суммарное касательное напряжение складывается из турбу­лентного и вязкого:

Т_Т = (|Х + |Х_Т) -щ-

Заметим, что в отличие от динамической вязкости р, являю­щейся свойством каждой жидкости, величина р_х зависит от ско­рости жидкости, расстояния от стенки, интенсивности и масштаба турбулентности; она изменяется от нуля у стенок трубы до срав­нительно больших значений на оси потока.