IV.2.5. Измерение, шкалы

Измерение — установление взаимооднозначного соответствия* (изоморфизма*) между множествами объектов и символов (чисел) (см. [Стивенс, 1960, с. 49-51]). Различные способы установления таких соответствий приводят к построению различных шкал, по-разному упорядочивающих объекты, поэтому термины “измерение” и “шкалирование” употребляются как синонимы. “Идея шкалирования состоит в замещении интересующих нас эмпирических объектов другими, более доступными в обращении” [Логвиненко, 1993, с. 199]. Измерения и шкалы являются инструментами формализации и обобщения эмпирических наблюдений. Возможности приемов измерения не безграничны: не для всех свойств объектов могут быть установлены отношения изоморфизма с числовыми системами [Стивенс, 1960, с. 51]

Свойства шкал определяются отношениями, заданными на множестве шкалируемых объектов. Определенным типам шкал (шкала наименований, шкала порядка, шкала интервалов, шкала отношений) соответствуют различные правила, ограничивающие возможные операции с объектами, способы обработки результатов измерения и их интерпретации. Формальное обоснование и анализ свойств шкал различных типов приведены в работе [Логвиненко, 1993].

Важно, что в ряду шкал - наименований, порядка, интервалов, отношений - увеличивается мощность шкал: качественные измерения сменяются количественными, возрастают возможности оценки свойств объектов, различий и отношений их свойств, применения арифметичеких операций, статистических мер и критериев, расширяются пределы инвариантности измерений. Более мощные шкалы обладают всеми возможностями шкал менее мощных, что связывает все шкалы в единую систему измерений.

IV.2.5.1. Шкала наименований (номинальная шкала) упорядочивает объекты на основе отношения эквивалентности: для любых двух объектов a и b истинно одно из двух утверждений: или a = b или a  b. Отношение эквивалентности обозначают символом "-", оно обладает свойствами рефлексивности (a-a), симметричности (если a-b, то b-a) и транзитивности (если a-b, а b-c, то a-c).

Объекты одного класса эквивалентности принадлежат одному и тому же подмножеству, а различных классов эквивалентности - непересекающимся подмножествам. Совокупность классов эквивалентности, которым приписаны определенные символы - "имена" образуют номинальную шкалу. Роль имен классов могут выполнять любые символы: слова, буквы, знаки. Важно, что цифры, обозначающие классы, не являются числами, утрачивают численные значения. Само по себе приписывание объектам цифр-знаков не образует числовых данных. Объекты, отнесенные к одному и тому же классу, эквивалентны, а один и тот же объект не может одновременно принадлежать к разным классам. Шкала наименований - не количественная, строго качественная, она не приписывает объектам числовых значений. В номинальных шкалах оценивают качественные переменные, например, состояния или условия независимых переменных (см. подразд. ПЕРЕМЕНН). Очевидно, что шкалы наименований не могут иметь нулевого значения.

Если приписывание объектам имен, осуществляется произвольно, шкала наименований называется неупорядоченной. Если между классами могут быть установлены отношения субординации (соподчинения), иерархии, генерации и т.п., то номинальная шкала может быть представлена как упорядоченная классификация: таксономия (от греч. ????? - расположение, порядок, упорядоченность; на основании выделения групп и их соподчинения - иерархических отношений), кладистика (от греч. ?????? - ветвь; по признакам, унаследованным от предковых форм объекта), типология (по индивидуальным признакам объектов, но без учета их отношения к истории развития). Поэтому упорядоченные номинальные шкалы называют также классификационными. Важно, что упорядочение номинальной шкалы не делает ее шкалой порядка, т.к. в этом случае объектам не ставятся в соответствие ординальные числа, номинальные классы не связаны отношением порядка и не обладают свойством транзитивности (см. подразд. Порядк. шкала).

Объекты, не отнесенные ни к одному из выделяемых шкалой классов, “невидимы” для классификации, иначе возникает парадоксальный класс объектов, “не включенных в данную классификацию”. Номинальные шкалы дискретны, промежутки между классами не содержат объектов. Отнесение объектов к определенному классу, их эквивалентность основывается на равенстве их характеристик, но номинальная шкала не дает оснований для сопоставления классов по значениям отдельных параметров, поэтому понятие свойств* объектов как отношений классов вырождено, не может быть измерено.

Построение номинальных шкал - наименее связанная регламентом измерительная процедура, но их использование накладывает существенные ограничения на применение статистики. Номинальная шкала не допускает никаких арифметических операций со значениями. Возможно применение некоторых статистических непараметрических критериев, оценок и сравнений распределений частот представителей различных классов в выборках, характеристик этих распределений (моды, медианы), энтропийные оценки разнообразия выборки, сопряженности показателей (например, критерий ²) (см. руководство [Толстова, 2000]). Для величин, оцененных в номинальной шкале неприменимы любые параметрические меры, такие как среднее, дисперсия, коэффициенты корреляции и даже некоторые непараметрические статистики (например, коэффициент ранговой корреляции Спирмена R_s).

IV.2.5.2. Порядковая (ординальная) шкала строится на основе отношений эквивалентности (см. подраздел НОМИНАЛЬНАЯ шкала) и порядка (если a  b, то либо a < b либо a > b; если a < b или a > b , то a  b). Отношение порядка обозначают символом "?", оно обладает свойствами транзитивности (если a ? b и b ? c, то a ? c) и антисимметричности (если a ? b и b ? a, то a = b). Если отношение порядка - бинарное, соотносящее два объекта, то транзитивность - тернарное свойство (как отношение “быть между”), оно определяет отношение трех объектов. По определению ординальная шкала не может содержать менее трех классов объектов.

Единица измерения в шкале порядка - различие в 1 класс или в 1 ранг (см. [Маслак, 1998, с. 28]). Ординальные шкалы упорядочивают объекты по определенному признаку, они обеспечивают возможность измерения свойств* объектов, не определенных для номинальных шкал. В отличие от номинальных шкал между любыми двумя величинами порядковой шкалы могут быть локализованы новые значения, при этом значения или ранги более высоких классов сдвигаются на соответствующие количество единиц.

Шкалы порядка приписывают объектам значения ординальных чисел (от лат. ordinalis - порядковый), которые представляют качество объектов, например, положение в последовательности, степень (первый, второй,.. пятый), но не являются количественными, как кардинальные числа, представляющие собственно количество (один, два,.. пять). Ординальные числа фиксируют именно порядок классов, но не расстояния между ними. Так, различие в величине IQ между 40 и 80 не эквивалентно различию между 100 и 140. Эквивалентность различий (расстояний) для пар значений при любых их смещениях по шкале может быть установлена лишь для более высоких шкал - интервалов и отношений, поскольку на них определена функция расстояния.

Характерная черта шкал порядка - неопределенность нулевого значения. Так, нулевое значение IQ не имеет смысла, как и нулевой порядок в последовательности. С величинами, оцененными в значениях шкалы порядка, можно оперировать любыми монотонными функциями (возводить в степень, логарифмировать и т.п.), поскольку эти операции не меняют порядка значений. Напротив, арифметические операции (сложение, вычитание, умножение, деление) не определены на этой шкале (суммирование величин IQ, например, 80 + 80 = 160 — абсурдная операция).

При работе с величинами порядковых шкал можно применять непараметрические меры и критерии (порядковые статистики). Для оценки центральных моментов выборки, рассеяния данных можно использовать моду, медиану, размах, квантили (значения, делящие выборку на n равных частей (квартили делят на 4 части, квинтили - на 5, децили - на 10 и т.д.) но не параметрические меры - такие как средние, дисперсии и т.п. Для оценки сопряженности величин, измеренных в порядковой шкале применяют специальные порядковые статистики, например, коэффициент ранговой корреляции Спирмена R_s, а также любые критерии, пригодные для работы с номинальной шкалой.

Большинство психологических измерений (например, оценки выраженности черт личности) используют порядковые шкалы.

IV.2.5.3. Интервальная шкала приписывает объектам значения кардинальных чисел, она является собстенно количественной шкалой. Свойства шкалы интервалов определяются введением метрики. Метрика — функция, вводящая понятие расстояния между двумя элементами, a, b, множества А. Расстояние — числовая функция (a, b), удовлетворяющая следующим условиям:

(1) (a, b)  0, причем (a, b) = 0 тогда и только тогда, когда a = b, то есть (a, a) = 0;

(2) (a, b) = (b, a);

(3) (a, b) + (b, c)  (a, c), (“правило треугольника”).

Чтобы проиллюстрировать возможность нарушения этих условий, рассмотрим “парадокс адюльтера”, рассмотренный в работе [Петровский, 1998]. Испытуемый (A) оценивает свою близость к двум различным людям (B и C) в длине отрезка, так что отрезок AB - оценка близости A к B, а BC - к C. При этом с точки зрения A удаленность между B и C такова, что правило треугольника не выполняется: AB + AC < BC. Авторские результаты можно дополнить. Поскольку для оценок отношений между субъектами характерна асимметрия, то есть с точки зрения субъекта A оценка его отношения к B отличается от оценки отношения B к A, условие (2) также нарушено: (A, B)  (B, A). Если учесть собственно психологическую суть отношений, то можно полагать, что субъект A не тождествен себе, вступая в отношения с B и C. В этом случае “исходные точки” в оценках отношений A к B и A к C оказываются различными, нарушается и условие (1): (A, A) > 0. Таким образом, сам “парадокс адюльтера” возникает потому, что отношения этого рода не могут быть описаны в шкале интервалов. Достаточно нарушения одного из приведенных условий, чтобы принять решение о снижении мощности шкалы - до шкалы порядка или даже шкалы отношений, иначе артефактность выводов неизбежна.

Введение метрики делит шкалы на неметрические шкалы (номинальную и порядковую) и метрические (шкалы интевалов и отношений).

Основанная на метрике интервальная шкала позволяет не только констатировать различие объектов, как шкала порядка, но дает возможность выделять свойства объектов и сопоставлять их выраженность в терминах различия на определенное количество единиц, но не в терминах отношений величин. То есть можно утверждать, что “объекты a и b отличаются по выраженности свойства на n единиц”, но нельзя, что “выраженность свойств различается в n раз”. Интервальная шкала позволяет дать количественную оценку интервала между точками, представляющими величины объектов, что собственно и зафиксировано в названии шкалы. Если для шкалы порядка эквивалентность различий между парами точек не может быть установлена, то на шкале интервалов такая эквивалентность соблюдается на всех диапазонах шкалы. Самое мощное ограничение этой шкалы - невозможность оценить отношение величин. Отличительной чертой интервальной шкалы является произвольное положение нуля.

Пример интервальной шкалы — температурная шкала Цельсия. Нулевое значение температуры в этой шкале - условное, т.к. не означает отсутствия измеряемого свойства - теплового движения молекул. В градусах Цельсия можно оценивать любые различия температур любых объектов, но утверждение, что 1°C во столько же раз меньше 2°C, во сколько 100°C меньше 200°C бессмысленно. Невозможно определить во сколько раз +30°C больше -10°C. Таким образом, для пар значений на шкале интервалов запрещены операции умножения (деления) и определены операции сложения и вычитания; правомерно изменение масштаба шкалы (умножение и деление значений шкалы на константу), смещение нуля на константную величину - значения интервальной шкалы инвариантны относительно линейных преобразований вида

y = kx + b.

К величинам, измеренным в интервальных шкалах, приложимы все виды статистических процедур (с учетом ограничений на операции умножения/деления), включая параметрическую статистику для оценки параметров распределения - среднего арифметического, дисперсии, асимметрии, эксцесса. Для оценки связи между переменными расчитывают коэффициент линейной корреляции Пирсона, применяют регрессионный анализ.

IV.2.5.4. Шкала отношений отличается от интервальной шкалы введением “естественного”, или абсолютного нуля, которому соответствует полное отсутствие измеряемого свойства. Если область определения значений шкалы отношений положительна, то ее называют положительной шкалой отношений. Все допустимые преобразования для шкалы отношений исчерпываются функциями вида

f(x) = kx; (k > 0),

что указывает на высочайшие возможности шкалы отношений как инструмента обобщения [Логвиненко, 1993, с. 207].

Шкала отношений, как наиболее мощная, суммирует все возможности, которыми обладают менее мощные шкалы наименований, порядка и интервалов. На ней определены отношения эквивалентности, равенства, порядка, функции метрики и расстояния. На шкале отношений можно определить равенство и ранговый порядок величин, равенство интервалов и отношений между величинами. Возможность оценки отношения величин - наиболее важная отличительная черта этой шкалы, определившая ее название.

Известные примеры шкалы отношений: массы, длины; температурная шкала Кельвина. Они представляют образцы положительных шкал отношений. В практике психологических измерений трудно привести пример применения шкалы отношений (кроме шкал абсолютных порогов чувствительности [Стивенс, 1960] и оценок, основанных на модели Раша — см. [Дружинин, 1997, с. 206—220; Клайн, 1994, с. 261-268]). В первую очередь это связано с неопределенностью “нулевого” значения шкал, применямых в психологических исследованиях. Например, оценки времени реакции не могут быть описаны в шкале интервалов. В этой ситуации могут быть зарегистрированы не только времена, попадающие в “стандартные границы” (80 - 600 мс), но и далеко выходящие за эти пределы - “нулевые” значения (ответы, совпадающие с предъявлением сигнала), оветы, опережающие сигнал, и ответы с аномально длятельными латентными периодами. Эти группы ответов составляют особые категории, и должны включаться в особые классы “нулевых времен”, “опережающих действий” и т.п., а это скорее признак даже номинальной шкалы, чем шкалы интервалов.

На шкале отношений определены все арифметические операции, и к ее значениям применимы любые статистические процедуры.

IV.2.5.5. Некоторые особенности применения шкал. В идеале следует стремиться использовать шкалы отношений. По мнению П.Клайна, желательно, чтобы применялись шкалы не ниже интервальных [Клайн, 1994, с. 23], однако в реальном исследовании эти требования смягчаются: следует оказывать предпочтение наиболее мощным шкалам из тех, которые приложимы к конкретным данным. Выбор шкалы должен соответствовать как измеряемым показателям, так и целям и задачам исследования. Так, хотя номинальные шкалы обладают наименьшей мощностью, но они позволяют решить задачи классификации, наиболее характерные для доэкспериментальных исследований.

Шкалы, применяемые в психологических измерениях, в основном являются комбинированными, то есть обладают свойствами шкал нескольких типов, например порядковой и интервальной. Многие используемые шкалы - с размытыми, недостаточно обоснованными нулевыми значениями и максимумами, нелинейностью интервалов, иногда — с недостаточно изученной метрикой.

В исследовании различные переменные могут быть измерены в различных шкалах, особенно это характерно для независимых и зависимых переменных (см. подразд. Переменные). В зависимости от того, в каких шкалах они измерены, выбирают конкретные статистические приемы обработки данных. Так, если и независимые и зависимые переменные оценены в номинальной шкале, применяют анализ таблиц сопряженности, если в шкалах выше порядковой, можно применить регрессионный анализ. Если же независимая переменная задается в номинальной шкале, а зависимая(ые) - в шкале интервалов или отношений, можно использовать дисперсионный анализ.

Наиболее распространены (и наиболее опасны) ошибки в выборе статистических приемов обработки данных, измеренных в определенных шкалах. Например, применяют оценки выборочных средних и их сравнение (t-критерий Стьюдента) для порядковых шкал; факторный, регрессионный или дисперсионный анализ для матриц, содержащих номинальные переменные.

Уточнение знаний об изучаемом объекте часто связано с понижением мощности шкалы. Например, с данными, измеренными в шкале интервалов, приходится работать как с порядковыми статистиками, если не доказано выполнение “правила треугольника” (см. подразд. IV.2.5.3). Снижать мощность шкал позволяет то обстоятельсво, что все статистические процедуры, которые допустимо применять к менее мощной шкале, можно приложить и к более мощной. Например, снижение с шкалы интервалов к порядковой требует замены расчета средних величин на оценку медианы, а медиана применима к данным, оцененным в шкалах порядка, интервалов и отношений. Гораздо реже возникает сложно решаемая проблема повышения мощности шкалы. Решение этой задачи становится возможным при выявлении новых свойств у объекта изучения. Например, выработка обобщенного принципа классификации позволяет перейти от номинальной шкалы к шкале порядка, хотя это решение является не измерительным, а исследовательским. Как пример решения, основанного на обработке данных приведем процедуру неметрического многомерного шкалирования, которая позволяет трансформировать данные, измеренные в шкале порядка в шкалы интервалов и даже отношений [Корнилова, 1997, с. 122]. Следует строго избегать повышения мощности шкалы при конструировании переменных из показателей (см. подразд. Переменные).

Проблемы, с которыми сталкивается исследователь при использовании измерительных процедур, рассмотрены в [Корнилова, 1997; Гусев, Измайлов, Михалевская, 1997].

Развитие измерительных шкал. Изменение мощности шкал соответствует развитию представлений о предмете изучения. В XII-XIV вв. температура объектов характеризовалась в терминах размытой номинальной шкалы “холодное” — “теплое” — “горячее”. Тепло и холод рассматривали как особые самостоятельные сущности или атрибуты “первоэлементов”. В этот период (позднее Средневековье) вырабатывалась сама идея количества, начался переход от качественных оценок объектов (в терминах усиления и ослабления качеств) к количественным [Кирсанов, 1987].

В 1592 г. Г.Галилей сконструировал стеклянный “термоскоп” с жидкостным наполнением, с помощью которого он измерял тепло в “градусах” (лат. gradus – шаг, степень), однако неизвестно, какой тип шкалы он предложил. В XVII ст. были сформированы разнообразные шкалы порядкового типа с одной фиксированной точкой, а, скорее областью, в силу ее неопределенности. Проблему установления такой точки решали различными способами. Так, Гюйгенс предложил две точки - “замерзание воды” и “летнюю жару”(!). О.Рёмер (1644—1710) построил шкалу с двумя фиксированными точками, ограничив ими относительно воспроизводимый интервал температур. Нижней фиксированной точкой шкалы Рёмера была температура таяния льда, смешанного с поваренной солью или хлористым аммонием, которая принималась за 0°. Эта точка также была неопределенной, т.к. температура таяния льда зависит от концентрации соли в растворе, эта зависимость была открыта лишь в конце XVIII в., когда была разработана шкала температур и надежный термометр. Температура кипения воды была принята Рёмером за 60°. Эта шкала была прообразом интервальной шкалы температур.

Делались попытки выработать более воспроизводимые варианты фиксированных точек шкалы. Д.Г.Фаренгейт (1686—1736, сконструировал термометр, заполненный ртутью) для определения фиксированной промежуточной точки требовал, чтобы термометр был “помещен в рот или подмышку здорового человека на время, достаточное для получения тепла от тела”; он предлагал также использовать в этом качестве температуру человеческой крови. Анализ текстов Фаренгейта позволяет предполагать, что в качестве стандарта он использовал температуру мужского тела. Стандартная шкала Фаренгейта приписывала значение 32° точке плавления льда, 96° нормальной температуре тела, единицу шкалы – градус, составляющий 1/180 диапазона между точками замерзания (32°) и кипения воды (212°), возможно, по аналогии с угловыми градусами.

В 1742 г. А. Цельсий ввел стоградусную шкалу, в которой за 100° принималась температура плавления чистого льда, а за 0° — точка кипения воды (подробно см. [Ромер, 1984]). К.Линней предложил стоградусную шкалу независимо от Цельсия, причем в его варианте значения шкалы были ревертированы: температуру плавления льда он обозначил 0°, а точку кипения воды — 100° (примерно в это же время это изменение ввел физик из Лиона Христин). Именно по проекту Линнея в Швеции было организовано производство термометров с этой шкалой [Воронцов, 1999; с. 185]. Данная шкала, как и другие, принявшие стандартизованные фиксированные точки, являлась развитой интервальной шкалой. Значения развитых интервальных шкал легко сопоставимы (см. подразд. IV.2.5.3).

Принцип построения температурной шкалы отношений, основанный на втором начале термодинамики, был предложен У.Томсоном (лорд Кельвин) в 1848 г. Введенная в этой шкале точка отсчета (0 K° = -273.16 С°) является экстраполяцией, т.е. обобщением установленной экспериментальным путем закономерности, описывающей “цикл Карно”, и не требует реализации абсолютного нуля [Астров, Шаревская, 1996]. Все значения температурной шкалы Кельвина положительны. Заметим, что установление термодинамических закономерностей обеспечивалось термометрами с интервальными шкалами, а к 1848 году была достигнута температура только - 78 С° (~195 K°), а попытки получить жидкий кислород, азот, водород и др. не достигали успеха.

Значения температуры, оцененные в каждой из шкал, могут быть переведены в значения любой другой шкалы, например, для перевода шкалы Цельсия в шкалу Кельвина используют соотношение K° = C° + 273.16 С°, шкалы Цельсия в шкалу Фаренгейта: F° = (9/5 C°) + 32.

Развитие температурной шкалы продолжается более трехсот лет, из которых около двухсот потребовалось для формирования наиболее мощной шкалы — шкалы отношений, причем практика применения термодинамической теории требует ее постоянного совершенствования.

Развитие знаний об исследуемых объектах может приводить не только к повышению, но и к снижению мощности шкал. Так, считалось несомненным, что длина описывается шкалой отношений, обладающей абсолютным нулем. Однако в квантовой теории поля введено представление о фундаментальной минимальной длине как одной из универсальных физических постоянных. Введение этого предположения вызвано абсурдными результатами применения операции деления для величин, приближающихся к минимальным [Ефимов, 1995]. Фактически это означает, что мощность шкалы длины снижена; она является комбинированной шкалой — шкалой отношений в макродиапазоне, но лишь интервальной шкалой в диапазоне планковских, квантовых величин, и это является результатом разработки представлений о структуре пространства-времени.

Приведенные примеры показывают, что построение шкал - длительный, многоэтапный процесс исследований, в котором формируются и трансформируются теоретические конструкты, разрабатывается аппаратура, развиваются представления о природе измеряемого явления. Типы шкал сменяются в достаточно строгом порядке: от номинальных - к шкалам отношений. Особые трудности представляют проблемы “фиксированных точек” и, особенно, “нуля”, из-за тесной зависимости надежной разрешимости этих проблем от степени развития измерительных процедур, инструментов и теоретических конструктов.