2.2.2 Диференціальні рівняння 2–го порядку

Лінійним неоднорідним диференціальним рівнянням другого порядку з постійними коефіцієнтами називається рівняння виду :

, (2.2.9)

де і – дійсні числа, і відповідне йому однорідне рівняння має вид

. (2.2.10)

Розв'язок рівняння (2.2.15) знаходять у виді ( ). Оскільки і , тоді після підстановки їх в (2.2.10) отримаємо характеристичне рівняння

. (2.2.11)

Якщо рівняння (2.2.11) має різні дійсні корені і , тоді загальний розв'язок рівняння (2.2.10) має вигляд

. (2.2.12)

Якщо рівняння (2.2.11) має кратний корінь , тоді загальний розв'язок рівняння (2.2.10) має вигляд

. (2.2.13)

Якщо рівняння (2.2.11) має комплексні корені і , тоді загальний розв'язок рівняння (2.2.10) має вигляд

. (2.2.14)

Якщо корені чисто уявні і , тоді .

Зауваження. У усіх випадках якщо відомі початкові умови , можна знайти постійні .

○ Приклад 2.2.4. Знайти загальний (чи частинний) розв'язок диференціального рівняння другого порядку:

а) , що задовольняє початковим умовам і ; б) ; в) .

Розв'язання. а) Знайдемо характеристичне рівняння і його корені :

і .

Таким чином, загальний розв'язок рівняння – .

Оскільки , тоді з початкових умов знайдемо: . Тоді частинний розв'язок ;

б) Оскільки і , тоді загальний розв'язок рівняння – ;

в) Оскільки і , тоді загальний розв'язок рівняння – . ●

Загальний розв'язок неоднорідного рівняння (2.2.9) визначається формулою

, (2.2.15)

де – загальний розв'язок однорідного рівняння (2.2.10), а – частинний розв'язок рівняння (2.2.9).

Розглянемо розв'язок рівняння (2.2.9),наприклад, і спеціальними правими частинами :

1. Якщо не є коренем характеристичного рівняння (2.2.11), тоді частинний розв'язок рівняння (2.2.9) , де – многочлен –ої степені з невідомими коефіцієнтами, які знаходяться з (2.2.9) після підстановки в нього і прирівнюючи коефіцієнти при однакових степенях .

2. Якщо є коренем характеристичного рівняння (2.2.11) кратності ( ), тоді частинний розв'язок рівняння (2.2.9) , де , – многочлен –ої степені з невідомими коефіцієнтами, які знаходяться з (2.2.9) після підстановки в нього і прирівнюючи коефіцієнти при однакових степенях .

○ Приклад 2.2.5. Знайти загальний розв'язок диференціального рівняння другого порядку .

Розв'язання. Знайдемо загальний розв'язок однорідного рівняння . Оскільки і , тоді загальний розв'язок рівняння – .

Знайдемо частинний розв'язок неоднорідного рівняння . Оскільки , и , тоді частинний розв'язок , де – постійна.

Підставимо в рівняння. Оскільки і , то:

.

Частинний розв'язок неоднорідного рівняння має вигляд , а загальний розв'язок неоднорідного рівняння представимо за формулою (2.2.20): . ●

Література: [1, с. 220 ‑ 243], [2, с. 325 ‑ 350], [3, с. 410 – 431], [5].