Модуль 3 Числові і функціональні ряди. Ряди Фур’є. Комплексні числа та аналітичність функцій комплексної змінної

3.1 Числові ряди

3.1.1 Необхідна і достатня ознаки збіжності рядів

Числовим рядом називається нескінченна послідовність чисел зв’язаних знаком складання:

. (3.1.1)

Числа називаються членами ряду, а –й член – загальним членом ряду. Якщо члени ряду – функції, тоді ряд називається функціональним.

Сума перших членів ряду називається – й частковою сумою ряду. Залишком ряду називається сума .

Ряд називається збіжним, якщо існує кінцева границя послідовності його часткових сум , тобто

, а залишок . (3.1.2)

називається сумою ряду :

. (3.1.3)

Ряд, що має кінцеву суму, називається збіжним. Якщо границя послідовності часткових сум нескінченна або не існує, тоді ряд називається розбіжним.

Критерій Коши збіжності числового ряду. Для того, щоб ряд збігався, необхідно і достатньо, щоб для будь–кого знайшовся номер , такий, що для будь–кого і будь–якого цілого виконувалася умова .

Необхідна умова збіжності числового ряду. Якщо ряд збігається, тоді границя загального члена при дорівнює нулю, тобто

. (3.1.4)

Якщо , тоді ряд розбігається.

○ Приклад 3.1.1. Дослідити ряди на збіжність:

а) ; б) .

Розв’язання. а) Оскільки , тоді необхідна ознака не виконується, ряд розбігається.

б) Оскільки , тоді ряд може збігатись, а може і розбігатись. ●

Перша ознака порівняння рядів. Нехай маємо ряди:

; (3.1.5)

. (3.1.6)

Причому члени першого ряду (3.1.5) не більше членів другого ряду (3.1.6) при будь–кому , тобто . Тоді із збіжності ряду (3.1.6) виходить збіжність ряду (3.1.5), а з розбіжності ряду (3.1.5) виходить розбіжність ряду (3.1.6).

Зауваження. Оскільки збіжність ряду не змінюється при відкиданні кінцевого числа членів ряду, тоді умова не обов'язково повинна виконуватися з перших членів рядів і тільки для членів з однаковими номерами . Достатнє виконання умови з деякого номера.

Загальна ознака порівняння. Якщо ряд (3.1.5) додатний, а ряд (3.1.6) строго додатний і існує границя , де – постійна, тоді ряди одночасно збігаються або розбігаються.

Еталонні ряди порівняння :

1. Гармонійний ряд розбігається

2. Узагальнений гармонійний ряд збігається при і розбігається при ;

3. Геометричний ряд збігається при і розбігається при .

Щоб порівняти ряд з еталонним його треба перетворити.

○ Приклад 3.1.2. Дослідити ряд на збіжність .

Розв’язання. Збіжність цього ряду можна довести за узагальненою ознакою порівняння.

Розглянемо узагальнений гармонійний ряд, що збігається .

Оскільки і , і , тоді ряд збігається, оскільки збігається еталонний ряд порівняння. ●

Ознака д′Аламбера. Якщо – загальний член ряду і , тоді при ряд збігається, при ряд розбігається. При ряд може бути як збіжним, так і розбіжним (для аналізу треба використовувати іншу ознаку).

Ознака Коши. Якщо ряд додатний і , тоді при цей ряд збігається, а при розбігається. При про збіжність ряду нічого сказати не можна (для аналізу треба використовувати іншу ознаку).

○ Приклад 3.1.3. Дослідити ряд на збіжність :

а) ; б) ; в) .

Розв’язання. а) Оскільки і , тоді за ознакою д′Аламбера ряд розбігається.

б) Оскільки і ,то за ознакою д′Аламбера ряд збігається.

в) Оскільки , тоді за ознакою Коши ряд збігається. ●