Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Донецкий национальный университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Latinin_S.M._Vishcha_matem._Navch.-metod._rek.2...doc

Скачиваний:

Добавлен:

14.11.2019

Размер:

9 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 198 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 > Следующая >>>

1.4.3 Диференціальне числення функцій декількох змінних

Частинною похідною за змінною функції називається границя відношення частинного приросту до приросту при прямуванні до нуля і позначається одним з символів

, . (1.4.16)

Таким чином, згідно з означенням

. (1.4.17)

Частинною похідною за змінною функції називається границя відношення частинного приросту до приросту при прямуванні до нуля і позначається одним з символів

, . (1.4.18)

. (1.4.19)

Зауваження. Обчислення частинних похідних функції двох незалежних змінних проводиться за тими ж правилами, за якими обчислюються похідні функції однієї незалежної змінної, тільки слід мати на увазі, що при визначенні частинної похідної треба вважати сталими всі незалежні змінні, окрім тієї, за якою обчислюється частинна похідна.

○ Приклад 1.4.10. Обчислити частинні похідні функції .

Розв'язання. При диференціюванні за змінною функція є степеневою, а при диференціюванні за змінною – показниковою. Знаходимо

, . ●

Правило диференціювання складної функції. Частинна похідна складної функції дорівнює сумі добутків частинних похідних заданої функції по проміжних аргументах ( і ) на частинні похідні цих аргументів ( і ) по відповідній незалежній змінній ( і ):

(1.4.20)

. (1.4.21)

○ Приклад 1.4.11. Знайти частинні похідні і , якщо

, де , .

Розв'язання. Обчислимо частинні похідні, за формулами (1.4.20)–(1.4.21):

, , ,

, , .

В результаті дістанемо

;

. ●

Неявна функція двох змінних визначається рівнянням

, (1.4.22)

яке зв'язує три змінні величини , і .

Частинні похідні неявної функції виражаються через похідні функції :

, . (1.4.23)

○ Приклад 1.4.14. Знайти частинні похідні і функції , заданої рівнянням .

Розв'язання. Знаходимо

, , ,

тому , . ●

Другими частинними похідними (або частинними похідними другого порядку) функції називаються величини:

, , , .

і називають мішаними частинними похідними. Мішані частинні похідні рівні між собою за умови їх неперервності в даній точці.

○ Приклад 1.4.15. Обчислити частинні похідні другого порядку функції .

Розв'язання. Обчислимо частинні похідні першого порядку

, .

Знаходимо частинні похідні другого порядку:

; ;

; .●

Література: [1, с. 140 ‑ 150], [2, с. 397 ‑ 417], [4, с. 341 – 363], [5]

Контрольна робота № 1.

Завдання 1.1. Помножити матриці:

1. ;	2. ;	3. ;
4. ;	5. ;	6. ;
7. ;	8. ;	9. ;
10. ;	11. ;	12. ;
13. ;	14. ;	15. ;
16. ;	17. ;	18. ;
19. ;	20. ;	21. ;
22. ;	23. ;	24. ;
25. ;	26. ;	27. ;
28. ;	29. ;	30. .

Завдання 1.2. Обчислити визначник третього порядку:

1. ;	2. ;	3. ;	4. ;	5. ;
6. ;	7. ;	8. ;	9. ;	10. ;
11. ;	12. ;	13. ;	14. ;	15. ;
16. ;	17. ;	18. ;	19. ;	20. ;
21. ;	22. ;	23. ;	24. ;	25. ;
26. ;	27. ;	28. ;	29. ;	30. .

Завдання 1.3. Задані точки , , , . Необхідно:

1) знайти вектори , , ;

2) знайти скалярний добуток векторів і ;

3) знайти векторний добуток векторів і ;

4) визначити кут між векторами і ;

5) написати рівняння прямих та ;

6) визначити взаємне розташування прямих і , якщо вони не паралельні, знайти точку їх перетину;

7) написати рівняння прямої , яка проходить через точку А перпендикулярно до прямої .

1. , , , ;	2. , , , ;
3. , , , ;	4. , , , ;
5. , , , ;	6. , , , ;
7. , , , ;	8. , , , ;
9. , , , ;	10. , , , ;
11. , , , ;	12. , , , ;
13. , , , ;	14. , , , ;
15. , , , ;	16. , , , ;
17. , , , ;	18. , , , ;
19. , , , ;	20. , , , ;
21. , , , ;	22. , , , ;
23. , , , ;	24. , , , ;
25. , , , ;	26. , , , ;
27. , , , ;	28. , , , ;
29. , , , ;	30. , , , .

Завдання 1.4. Задані точки . Необхідно:

1) знайти об’єм піраміди ;

2) написати рівняння прямої, що проходить через точки і , в канонічній і параметричній формі;

3) скласти рівняння площини, що проходить через точки , і , записати рівняння цієї площини у відрізках;

4) обчислити відстань від точки до площини, що проходить через точки , і .

1.	;
2.	;
3.	;
4.	;
5.	;
6.	;
7.	;
8	;
9.	;
10.	;
11.	;
12.	;
13.	;
14.	;
15.	;
16.	;
17.	;
18.	;
19.	;
20.	;
21.	;
22.	;
23.	;
24.	;
25.	;
26.	;
27.	;
28.	;
29.	;
30.	.

Завдання 1.5. Знайти границі:

1.	1) ;2) ; 3) ;
2.	1) ;2) ; 3) ;
3.	1) ;2) ; 3) ;
4.	1) ;2) ; 3) ;
5.	1) ;2) ; 3) ;
6.	1) ;2) ; 3) ;
7.	1) ;2) ; 3) ;
8	1) ;2) ; 3) ;
9.	1) ;2) ; 3) ;
10.	1) ;2) ; 3) ;
11.	1) ;2) ; 3) ;
12.	1) ;2) ; 3) ;
13.	1) ;2) ; 3) ;
14.	1) ;2) ; 3) ;
15.	1) ;2) ; 3) ;
16.	1) ;2) ; 3) ;
17.	1) ;2) ; 3) ;
18.	1) ;2) ; 3) ;
19.	1) ;2) ; 3) ;
20.	1) ;2) ; 3) ;
21.	1) ;2) ; 3) ;
22.	1) ;2) ; 3) ;
23.	1) ;2) ; 3) ;
24.	1) ;2) ; 3) ;
25.	1) ;2) ; 3) ;
26.	1) ;2) ; 3) ;
27.	1) ;2) ; 3) ;
28.	1) ;2) ; 3) ;
29.	1) ;2) ; 3) ;
30.	1) ;2) ; 3) .

Завдання 1.6. Знайти похідну функції :

1.	1) ; 2) ;3) ;
2.	1) ; 2) ;3) ;
3.	1) ;2) ;3) ;
4.	1) ; 2) ;3) ;
5.	1) ;2) ;3) ;
6.	1) ;2) ;3) ;
7.	1) ;2) ;3) ;
8	1) ;2) ;3) ;
9.	1) ;2) ;3) ;
10.	1) ;2) ;3) ;
11.	1) ;2) ;3) ;
12.	1) ;2) ;3) ;
13.	1) ;2) ;3) ;
14.	1) ;2) ;3) ;
15.	1) ;2) ;3) ;
16.	1) ;2) ;3) ;
17.	1) ;2) ;3) ;
18.	1) ;2) ;3) ;
19.	1) ;2) ;3) ;
20.	1) ;2) ;3) ;
21.	1) ;2) ;3) ;
22.	1) ;2) ;3) ;
23.	1) ;2) ; 3) ;
24.	1) ;2) ;3) ;
25.	1) ;2) ; 3) ;
26.	1) ;2) ; 3) ;
27.	1) ;2) ; 3) ;
28.	1) ;2) ;3) ;
29.	1) ;2) ; 3) ;
30.	1) ;2) ; 3) .

Завдання 1.7. Дослідити функцію та побудувати її графік:

1. ;	2. ;	3. ;	4. ;	5. ;
6. ;	7. ;	8. ;	9. ;	10. ;
11. ;	12. ;	13. ;	14. ;	15. ;
16. ;	17. ;	18. ;	19. ;	20. ;
21. ;	22. ;	23. ;	24. ;	25. ;
26. ;	27. ;	28. ;	29. ;	30. .

Завдання 1.8. Знайти диференціал другого порядку від функції :

1. ;	2. ;	3. ;
4. ;	5. ;	6. ;
7. ;	8. ;	9. ;
10. ;	11. ;	12. ;
13. ;	14. ;	15. ;
16. ;	17. ;	18. ;
19. ;	20. ;	21. ;
22. ;	23. ;	24. ;
25. ;	26. ;	27. ;
28. ;	29. ;	30. .

Завдання 1.9. Обчислити частинні похідні першого та другого порядку функції :

1. ;	2. ;	3. ;
4. ;	5. ;	6. ;
7. ;	8. ;	9. ;
10. ;	11. ;	12. ;
13. ;	14. ;	15. ;
16. ;	17. ;	18. ;
19. ;	20. ;	21. ;
22. ;	23. ;	24. ;
25. ;	26. ;	27. ;
28. ;	29. ;	30. .