1.2.2 Рівняння площини і прямої в просторі

Параметричне рівняннями прямої в просторі, що проходить через точку і має напрямний вектор :

(1.2.13)

де параметр змінюється від до .

Канонічне рівнянням прямої в просторі:

, (1.2.14)

Рівняння прямої, яка проходить через дві точки і :

. (1.2.15)

При цьому . Якщо, наприклад, для всіх точок прямої, то маємо пряму перпендикулярну осі , яка перетинає її в точці .

○ Приклад 1.2.4. Написати рівняння прямої, що проходить через точки і , в канонічній і параметричній формі.

Розв'язання. За формулою (1.2.15) отримаємо

.

Запишемо параметричні рівняння прямої. Нехай , тоді де параметр . ●

Загальне рівняння площини в просторі:

, (1.2.16)

де , якщо площина проходить через точку .

Рівняння площини, що проходить через три точки , і :

. (1.2.17)

Рівняння площини у відрізках, що перетинає осі координат в точках , і :

, (1.2.18)

де і - відрізки, які площина відсікає від координатних осей , і , відповідно.

○ Приклад 1.2.5. Знайти рівняння прямих – перетинів площини з координатною площиною і координати точок перетину площини з координатною осью .

Розв'язання. Перетин з координатною площиною : покладемо і підставимо в рівняння площини, тоді – рівняння прямої перетину координатної площини з площиною.

Перетин з координатною віссю : покладемо , і підставимо в рівняння площини, отримаємо . – точка перетину координатної осі з площиною. ●

○ Приклад 1.2.6. Укласти рівняння площини, що проходить через точки , і . Записати рівняння цієї площини у відрізках.

Розв'язання. За формулою (1.2.17) отримаємо

.

Запишемо рівняння цієї площини у відрізках. Розділимо рівняння на 16 і отримаємо: . Ця площина перетинає осі координат , , відповідно в точках: , , . ●

Кут між прямими і визначається за формулою

. (1.2.19)

Умова перпендикулярності прямих

. (1.2.20)

Умова паралельності прямих

. (1.2.21)

Якщо вектори , і некомпланарні, то їх змішаний добуток не дорівнює нулю, тобто

. (1.2.22)

Якщо прямі лежать в одній площині і при цьому не виконується умова (1.2.21), то прямі перетинаються. Якщо умова (1.2.21) виконується, то прямі є паралельними і (тоді у визначнику (1.2.22) два рядки пропорційні і він дорівнює нулю).

○ Приклад 1.2.7. Дослідити взаємне розташування двох прямих і визначити кут між ними:

а) і

б) і .

Розв'язання. а) За умовою задачі , , , .

Тоді . Перевіримо умову (1.2.22):

.

Так як змішаний добуток векторів не дорівнює нулю, то ці прямі – некомпланарні. Знайдемо кут між прямими за формулою (1.2.19):

,

.

б) Запишемо параметричні рівняння прямих. Нехай і .

Тоді 1) і 2)

Таким чином, , , , і . Перевіримо умову (1.2.22):

.

Так як змішаний добуток векторів дорівнює нулю, то прямі лежать в одній площині. Оскільки , то прямі перетинаються. Тоді . ●

Кут між площинами і обчислюється за формулою

. (1.2.23)

Умова перпендикулярності площин

. (1.2.24)

Умова паралельності площин

. (1.2.25)

Якщо площини не паралельні, то вони перетинаються, їх перетином буде пряма.

○ Приклад 1.2.8. Визначити взаємне розташування двох площин, знайшовши кут між ними: і . Якщо площини перетинаються, то знайти рівняння прямої їх перетину.

Розв'язання. За умовою задачі і , тоді за формулою (1.2.24): , тому площини перпендикулярні.

Знайдемо рівняння прямої – перетину цих площин:

Нехай , тоді

Таким чином, одна з точок прямої перетину площин має координати .

Знайдемо напрямний вектор прямої :

.

Тоді параметричні рівняння прямої мають вид:

, , . ●

Кут між прямою заданою параметрично і площиною визначається формулою

. (1.2.26)

Відстань від довільної точки до площини :

, (1.2.27)

○ Приклад 1.2.9. Знайти кут між прямою і площиною: і . Якщо вони перетинаються, то знайти координати точки перетину.

Розв'язання. Запишемо параметричне рівняння прямої. Нехай , тоді

Маємо і . Оскільки , то пряма і площина перетинаються. За формулою (1.2.26) знайдемо кут між прямою і площиною:

і .

Знайдемо координати точки перетину прямої і площини:

.

Підставимо значення параметра в рівняння прямої і отримаємо

Точка перетину прямої і площини має такі координати .●

○ Приклад 1.2.10. Обчислити відстань від точки до площини .

Розв'язання. За формулою (1.2.27) отримаємо

. ●

Література: [1, с. 48 – 53, 64-68], [2, с. 95‑ 121], [3, с. 161 – 175, 212 ‑ 226], [4], [5].