1.4 Диференціальне числення функцій однієї та декількох змінних

1.4.1 Похідна функції. Формули та правила диференціювання

Похідною функції в точці називається границя відношення приросту цієї функції до приросту її аргументу , коли останнє прямує до нуля довільним способом, тобто

. (1.4.1)

Якщо в точці існує похідна, то існує тільки одна похідна.

Рівняння дотичної в точці має вигляд

. (1.4.2)

Основні правила диференціювання функцій: якщо існують похідні функцій і , а - постійна, то:

. (1.4.3)

. (1.4.4)

; (1.4.5)

. (1.4.6)

, (1.4.7)

де .

Таблиця 1.1. Таблиця похідних основних елементарних функцій

№	Похідна функції	№	Похідна функції
1.		8.
2.		9.
3.		10.
4.		11.
5.		12.
6.		13.
7.		14.

○ Приклад 1.4.1. Знайти похідні функцій: а) ; б) .

Розв'язання. а)

;

б) . ●

Диференціювання складних функцій. Якщо і – функції, що диференціюються, у відповідних точках, то похідна складної функції існує і дорівнює добутку похідної цієї функції за проміжним аргументом на його похідну за аргументом , тобто

. (1.4.8)

○ Приклад 1.4.2. Знайти похідні функцій: а) ; б) .

Розв'язання. а) Складну функцію можна представити у виді , . Тоді , . За формулою (1.4.8) отримаємо .

Зауваження. Обчислення похідних від складних функцій можна проводити по такій схемі. Ранжируємо дії у функції за порядком їх обчислення: остання дія – це , йому передує возведення в степінь . Спочатку беремо похідну від функції (тобто ) і множимо на похідну від степені .

б)

.●

Диференціювання параметрично заданих функцій. Якщо функція задана параметрично де і функції, що диференціюються по , а має обернену функцію, тоді

. (1.4.9)

○ Приклад 1.4.3. Знайти похідні функції, заданої параметрично: .

Розв'язання. Знайдемо похідні: і .

За формулою (1.4.9) отримаємо . ●

Диференціювання неявно заданих функцій. Якщо функція задана неявно у вигляді , де , тоді необхідно диференціювати по обидві частини рівності, розглядаючи як складну функцію від : , звідки знайдемо .

○ Приклад 1.4.4. Знайти похідні функцій, заданих неявно: .

Розв'язання. Диференціюємо обидві частини рівності і враховуємо, що : . Звідси . ●

Для знаходження похідних деяких функцій, наприклад, показниково-степеневого виду (де ), необхідно спочатку прологарифмувати функцію, а потім продиференціювати як складну функцію. Така процедура називається логарифмічним диференціюванням.

Застосуємо логарифмічне диференціювання до функції :

.

Звідки отримаємо

. (1.4.10)

○ Приклад 1.4.5. Знайти похідну функції .

Розв'язання. ;

.●

Похідні вищих порядків. Якщо функція диференціюється в області її визначення, то називається першою похідною цієї функції (або похідною першого порядку).

Похідна від похідної функції називається другою похідною цієї функції (або похідною другого порядку). Аналогічно визначаються похідні інших порядків. Таким чином, похідна -го порядку і -го зв'язані співвідношенням:

. (1.4.11)

○ Приклад 1.4.6. Знайти похідну функції до третього порядку включно в точці .

Розв'язання. Знайдемо, , і :

, , . Тоді , і . ●

Перший диференціал (або диференціал першого порядку) функції є

. (1.4.12)

Звідси .

Диференціал другого порядку визначається як диференціал від першого диференціала за умови, що не залежить від :

. (1.4.13)

Звідси .

При умові, що функція має не тільки першу похідну, але і послідовних похідних визначимо диференціал -го порядку:

. (1.4.14)

Звідси .

○ Приклад 1.4.7. Знайти диференціал другого порядку функції .

Розв'язання. Оскільки , то

і

.

Тоді . ●